Sommes de variables aléatoires

On sait que $E(X)=4$ et $E(Y)=-3$. Calculer chaque espérance.

1. $E(X+Y)=$
   Par linéarité : $E(X+Y)=E(X)+E(Y)=4+(-3)=1$.
2. $E(2X-5)=$
   $E(2X-5)=2E(X)-5=2\times 4-5=3$.
3. $E(3X+4Y)=$
   $E(3X+4Y)=3\times 4+4\times (-3)=12-12=0$.
4. $E(-X+2Y+1)=$
   $E(-X+2Y+1)=-4+2\times (-3)+1=-4-6+1=-9$.

$X$ prend les valeurs $-2$, $1$ et $4$ avec les probabilités respectives $0,25$ ; $0,5$ et $0,25$. Écris les résultats en écriture décimale.

1. $E(X)=$
   $E(X)=0,25\times (-2)+0,5\times 1+0,25\times 4=-0,5+0,5+1=1$.
2. $E(3X+2)=$
   Par linéarité : $E(3X+2)=3E(X)+2=3\times 1+2=5$.
3. $E(X^2)=$
   $E(X^2)=0,25\times 4+0,5\times 1+0,25\times 16=1+0,5+4=5,5$. Ce n’est pas $E(X{)}^2=1$ : la linéarité ne s’applique pas aux carrés.

À la fin d’une soirée, les $10$ invités récupèrent leur manteau, rendu au hasard par le vestiaire (chaque répartition des $10$ manteaux a la même probabilité). On note $N$ le nombre d’invités qui récupèrent leur propre manteau, et $X_i=1$ si l’invité $i$ récupère le sien, $X_i=0$ sinon.

1. $P(X_1=1)=$ (fraction ou décimal)
   L’invité $1$ reçoit l’un des $10$ manteaux, chacun avec la même probabilité : $P(X_1=1)={\displaystyle \frac{1}{10}}$. De même, $P(X_i=1)={\displaystyle \frac{1}{10}}$ pour chaque invité.
2. Démontrer que $E(N)$ vaut
   Rédaction attendue. On a $N=X_1+X_2+\cdots +X_{10}$. Chaque $X_i$ suit une loi de Bernoulli, donc $E(X_i)=P(X_i=1)={\displaystyle \frac{1}{10}}$. Par linéarité de l’espérance (valable sans indépendance) : $E(N)=10\times {\displaystyle \frac{1}{10}}=1$. En moyenne, un seul invité récupère son propre manteau.
3. Probabilité que les invités $1$ et $2$ récupèrent tous deux leur manteau : (fraction)
   Si l’invité $1$ a le sien, il reste $9$ manteaux pour l’invité $2$ : $P(X_1=1\text{ et }{X}_2=1)={\displaystyle \frac{1}{10}}\times {\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{1}{90}}$. C’est différent de ${\displaystyle \frac{1}{10}}\times {\displaystyle \frac{1}{10}}={\displaystyle \frac{1}{100}}$ : les $X_i$ ne sont pas indépendantes, et le calcul de $E(N)$ reste juste.

Une roue de loterie fait gagner $0$ €, $1$ € ou $5$ € avec les probabilités respectives $0,5$ ; $0,4$ et $0,1$. Un joueur paie une entrée unique de $4$ € puis tourne la roue $n$ fois, les parties étant indépendantes. On note $G_k$ le gain de la $k$-ième partie et $B=G_1+\cdots +G_n-4$ son bénéfice. Écris les résultats en écriture décimale.

1. Espérance du gain d’une partie : $E(G_1)=$ €
   $E(G_1)=0,5\times 0+0,4\times 1+0,1\times 5=0,4+0,5=0,9$ €.
2. Pour $n=3$ parties : $E(B)=$ €
   Par linéarité : $E(B)=E(G_1)+E(G_2)+E(G_3)-4=3\times 0,9-4=2,7-4=-1,3$ €.
3. Plus petit nombre de parties $n$ pour lequel $E(B)>0$ : $n=$
   Pour $n$ parties, $E(B)=0,9n-4$. Or $0,9n-4>0⟺n>{\displaystyle \frac{4}{0,9}}\approx 4,44$. Le plus petit entier est $n=5$ : $E(B)=4,5-4=0,5$ €, alors que pour $n=4$, $E(B)=3,6-4=-0,4$ €.

On sait que $V(X)=0,64$. Écris les résultats en écriture décimale.

1. $V(3X)=$
   $V(3X)=3^2\times 0,64=9\times 0,64=5,76$.
2. $V(X-8)=$
   Retrancher une constante ne change pas la dispersion : $V(X-8)=V(X)=0,64$.
3. $V(-5X+2)=$
   $V(-5X+2)=(-5{)}^2\times 0,64=25\times 0,64=16$.
4. $\sigma (-4X+1)=$
   $\sigma (X)=\sqrt{0,64}=0,8$, donc $\sigma (-4X+1)=|-4|\times 0,8=3,2$.

$X$ prend les valeurs $0$, $1$ et $4$ avec les probabilités respectives $0,2$ ; $0,5$ et $0,3$. Écris les résultats en écriture décimale.

1. $E(X)=$
   $E(X)=0,2\times 0+0,5\times 1+0,3\times 4=0,5+1,2=1,7$.
2. $V(X)=$
   $E(X^2)=0,5\times 1+0,3\times 16=0,5+4,8=5,3$, donc $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=5,3-2,89=2,41$.
3. $V(10X-3)=$
   $V(10X-3)={10}^2\times 2,41=241$ : la constante $-3$ disparaît.

Un chauffeur facture une course $P=1,5D+4$ euros, où $D$ est la distance en kilomètres. On sait que $E(D)=12$ et $\sigma (D)=5$. Écris les résultats en écriture décimale.

1. $E(P)=$ €
   Par linéarité : $E(P)=1,5\times 12+4=18+4=22$ €.
2. Démontrer que l’écart type du prix vaut $\sigma (P)=$ €
   Rédaction attendue. $P=1,5D+4$ est une transformation affine de $D$. Donc $V(P)=1,5^2\times V(D)=2,25\times 5^2=56,25$, et $\sigma (P)=\sqrt{56,25}=7,5$ €. On retrouve $\sigma (P)=|1,5|\times \sigma (D)=7,5$ € : le forfait de $4$ € ne change pas l’écart type.
3. Le tarif passe à $1,8$ € par kilomètre, forfait inchangé. Nouvel écart type : €
   $\sigma (1,8D+4)=1,8\times 5=9$ € : seul le coefficient de $D$ agit sur la dispersion.

Les notes brutes $X$ d’un concours vérifient $E(X)=50$ et $\sigma (X)=10$. On veut les transformer en notes $Y=aX+b$, avec $a>0$, telles que $E(Y)=12$ et $\sigma (Y)=3$. Écris les résultats en écriture décimale.

1. $a=$
   $\sigma (Y)=|a|\sigma (X)=10a$ car $a>0$. Donc $10a=3$ et $a=0,3$.
2. $b=$
   $E(Y)=aE(X)+b=0,3\times 50+b=15+b$. Donc $15+b=12$ et $b=-3$.
3. Un candidat a obtenu la note brute $70$ : sa note transformée vaut
   $Y=0,3\times 70-3=21-3=18$.

$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $V(X)=5$ et $V(Y)=4$.

1. $V(X+Y)=$
   Par indépendance : $V(X+Y)=V(X)+V(Y)=5+4=9$.
2. $\sigma (X+Y)=$
   $\sigma (X+Y)=\sqrt{V(X+Y)}=\sqrt{9}=3$ (et non $\sqrt{5}+2$).
3. $V(X-2Y)=$
   $V(X-2Y)=1^2\times 5+(-2{)}^2\times 4=5+16=21$.
4. $V(3X+Y-4)=$
   $V(3X+Y-4)=3^2\times 5+1^2\times 4=45+4=49$ : la constante disparaît.

$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $\sigma (X)=8$ et $\sigma (Y)=15$.

1. $V(X+Y)=$
   On passe par les variances : $V(X)=64$ et $V(Y)=225$. Par indépendance, $V(X+Y)=64+225=289$.
2. $\sigma (X+Y)=$
   $\sigma (X+Y)=\sqrt{289}=17$, et non $8+15=23$.
3. $\sigma (2X+Y)=$ (au centième)
   $V(2X+Y)=2^2\times 64+225=256+225=481$, donc $\sigma (2X+Y)=\sqrt{481}\approx 21,93$.

$X$ prend les valeurs $0$ et $2$ avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ chacune, et $Y=2-X$.

1. $V(X)=$
   $E(X)=1$ et $E(X^2)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 4=2$, donc $V(X)=2-1^2=1$. De même $V(Y)=(-1{)}^{2}V(X)=1$.
2. $V(X+Y)=$
   $X+Y=2$ quelle que soit l’issue : c’est une constante, donc $V(X+Y)=0$, alors que $V(X)+V(Y)=2$.
3. Ici $Y$ est entièrement déterminée par $X$. $P(X=0\text{ et }Y=0)=$
   Si $X=0$, alors $Y=2$ : l’événement « $X=0$ et $Y=0$ » est impossible, donc $P(X=0\text{ et }Y=0)=0$. Or $P(Y=0)=P(X=2)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $P(X=0)\times P(Y=0)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\ne 0$. La définition de l’indépendance n’est pas vérifiée : $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes, c’est pourquoi $V(X+Y)\ne V(X)+V(Y)$.

Deux jeux indépendants. Au premier, le gain $X$ vaut $-1$ avec la probabilité $0,75$ et $3$ avec la probabilité $0,25$. Au second, le gain $Y$ vaut $0$ avec la probabilité $0,9$ et $10$ avec la probabilité $0,1$.

1. $V(X)=$
   $E(X)=-0,75+0,75=0$ et $E(X^2)=0,75\times 1+0,25\times 9=3$, donc $V(X)=3-0=3$.
2. $V(Y)=$
   $E(Y)=0,1\times 10=1$ et $E(Y^2)=0,1\times 100=10$, donc $V(Y)=10-1=9$.
3. Démontrer que l’écart type du gain total $X+Y$ vaut environ (au centième)
   Rédaction attendue. Les deux jeux sont indépendants, donc $X$ et $Y$ sont indépendantes et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)=3+9=12$. Ainsi $\sigma (X+Y)=\sqrt{12}\approx 3,46$. (Additionner les écarts types donnerait $\sqrt{3}+3\approx 4,73$ : c’est faux.)
4. $V(X-3Y)=$
   Par indépendance : $V(X-3Y)=V(X)+(-3{)}^{2}V(Y)=3+9\times 9=84$.

$(X_1,\dots ,X_{36})$ est un échantillon de taille $36$ d’une loi d’espérance $\mu =4$ et d’écart type $\sigma =3$. Écris les résultats en écriture décimale.

1. $E(S_{36})=$
   $E(S_{36})=36\times 4=144$.
2. $\sigma (S_{36})=$
   $V(S_{36})=36\times 3^2=324$, donc $\sigma (S_{36})=18$, soit $3\sqrt{36}$.
3. $\sigma (M_{36})=$
   $\sigma (M_{36})={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{36}}}={\displaystyle \frac{3}{6}}=0,5$.

Échantillon de taille $50$ d’une loi telle que $E(X)=2$ et $V(X)=0,8$. Écris les résultats en écriture décimale.

1. $E(S_{50})=$
   $E(S_{50})=50\times 2=100$.
2. $V(S_{50})=$
   $V(S_{50})=50\times 0,8=40$ : ici la variance est donnée, on la multiplie directement par $n$.
3. $V(M_{50})=$
   $V(M_{50})={\displaystyle \frac{0,8}{50}}=0,016$.

Le nombre $X$ de buts marqués par une équipe lors d’un match vaut $0$, $1$ ou $2$ avec les probabilités respectives $0,5$ ; $0,3$ et $0,2$. On étudie $10$ matchs, supposés indépendants, de nombres de buts $X_1,\dots ,X_{10}$. Écris les résultats en écriture décimale.

1. $V(X)=$
   $E(X)=0,3+0,4=0,7$ et $E(X^2)=0,3+0,2\times 4=1,1$, donc $V(X)=1,1-0,49=0,61$.
2. Démontrer que la variance du nombre moyen de buts par match vaut $V(M_{10})=$
   Rédaction attendue. Les $10$ matchs étant indépendants et de même loi que $X$, $(X_1,\dots ,X_{10})$ est un échantillon de taille $10$ de la loi de $X$. Par indépendance, $V(S_{10})=V(X_1)+\cdots +V(X_{10})=10\times 0,61=6,1$. Comme $M_{10}={\displaystyle \frac{1}{10}}{S}_{10}$, $V(M_{10})={\displaystyle \frac{1}{{10}^2}}\times 6,1=0,061$.
3. Écart type du nombre total de buts sur les $10$ matchs : (au centième)
   $V(S_{10})=10\times 0,61=6,1$, donc $\sigma (S_{10})=\sqrt{6,1}\approx 2,47$.

Une variable $X$ a pour écart type $\sigma =12$. On note $M_n$ la moyenne d’un échantillon de taille $n$ de sa loi.

1. Plus petit $n$ tel que $\sigma (M_n)⩽1,5$ : $n=$
   ${\displaystyle \frac{12}{\sqrt{n}}}⩽1,5⟺\sqrt{n}⩾{\displaystyle \frac{12}{1,5}}=8⟺n⩾64$. Vérification : ${\displaystyle \frac{12}{\sqrt{64}}}=1,5$.
2. Pour cette taille, l’écart type de la somme vaut $\sigma (S_{64})=$
   $\sigma (S_{64})=12\sqrt{64}=12\times 8=96$.
3. Plus petit $n$ tel que $\sigma (M_n)⩽0,5$ : $n=$
   ${\displaystyle \frac{12}{\sqrt{n}}}⩽0,5⟺\sqrt{n}⩾24⟺n⩾576$. Diviser l’écart type par $3$ (de $1,5$ à $0,5$) oblige à multiplier $n$ par $9$ : $64\times 9=576$.

$S$ suit la loi binomiale $ℬ(40;0,35)$. Écris les résultats en écriture décimale.

1. $E(S)=$
   $E(S)=np=40\times 0,35=14$.
2. $V(S)=$
   $V(S)=np(1-p)=40\times 0,35\times 0,65=9,1$.
3. $\sigma (S)=$ (au centième)
   $\sigma (S)=\sqrt{9,1}\approx 3,02$.

$X_1$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0,6$, et $S=X_1+\cdots +X_{75}$ est la somme d’un échantillon de taille $75$ de cette loi. Écris les résultats en écriture décimale.

1. $V(X_1)=$
   $E(X_1)=0,6$ et $E(X_1^2)=1^2\times 0,6=0,6$, donc $V(X_1)=0,6-0,36=0,24$.
2. $E(S)=$
   Par linéarité : $E(S)=75\times 0,6=45$.
3. $V(S)=$
   Par indépendance : $V(S)=75\times 0,24=18$.

Un téléconseiller passe $200$ appels ; chacun aboutit à une vente avec la probabilité $0,12$, indépendamment des autres. On note $N$ le nombre de ventes. Écris les résultats en écriture décimale.

1. En écrivant $N$ comme une somme de variables de Bernoulli, démontrer que $E(N)=$
   Rédaction attendue. Pour $i$ de $1$ à $200$, on pose $X_i=1$ si le $i$-ième appel aboutit à une vente, $0$ sinon. Chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0,12$, donc $E(X_i)=0,12$. Alors $N=X_1+\cdots +X_{200}$ et, par linéarité de l’espérance, $E(N)=200\times 0,12=24$.
2. $V(N)=$
   Les $X_i$ sont indépendantes et $V(X_i)=0,12\times 0,88=0,1056$, donc $V(N)=200\times 0,1056=21,12$.
3. Écart type de la fréquence de vente $F={\displaystyle \frac{N}{200}}$ : (au millième)
   $\sigma (F)={\displaystyle \frac{\sigma (N)}{200}}={\displaystyle \frac{\sqrt{21,12}}{200}}\approx {\displaystyle \frac{4,596}{200}}\approx 0,023$.

$X$ suit une loi binomiale $ℬ(n;p)$ avec $E(X)=36$ et $V(X)=9$. Écris les résultats en écriture décimale.

1. $p=$
   ${\displaystyle \frac{V(X)}{E(X)}}={\displaystyle \frac{np(1-p)}{np}}=1-p$, donc $1-p={\displaystyle \frac{9}{36}}=0,25$ et $p=0,75$.
2. $n=$
   $np=36$, donc $n={\displaystyle \frac{36}{0,75}}=48$.
3. $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $52$ et $p$ (le même $p$ que $X$), indépendante de $X$. Alors $V(X+Y)=$
   Même paramètre $p=0,75$ et indépendance : $X+Y$ suit $ℬ(100;0,75)$, donc $V(X+Y)=100\times 0,75\times 0,25=18,75$. On retrouve $V(X)+V(Y)=9+52\times 0,1875=9+9,75=18,75$.