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Sommes de variables aléatoires

Espérance et variance d'une somme, échantillon de variables indépendantes, application à la loi binomiale (programme de Terminale spécialité maths)

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Sommes de variables aléatoires » en terminale permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de terminale et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel : espérance et variance d'une somme, Variables aléatoires indépendantes, Échantillon de taille n : somme et moyenne, Application : la loi binomiale comme somme de Bernoulli. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser spécialité mathématiques en terminale.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Transformations affines

Facile

Une variable aléatoire $X$ vérifie $E (X) = 7$ et $V (X) = 3$ .

a) Calculer $E (5 X - 2)$ et $V (5 X - 2)$ .
b) Calculer $E (- X + 11)$ et $V (- X + 11)$ .
c) Calculer l'écart type de $\frac{X}{2} + 8$ .
d) Déterminer le réel $a > 0$ tel que $V (a X) = 48$ .

a) Par linéarité de l'espérance, $E (5 X - 2) = 5 E (X) - 2 = 5 \times 7 - 2 = 33$ . Pour la variance, le coefficient passe au carré et la constante disparaît : $V (5 X - 2) = 5^{2} V (X) = 25 \times 3 = 75$ .

b) $E (- X + 11) = - E (X) + 11 = - 7 + 11 = 4$ . Le coefficient $- 1$ s'élève au carré : $V (- X + 11) = (- 1)^{2} \times 3 = 3$ . Changer $X$ en $- X$ ne modifie pas la dispersion.

c) $V (\frac{X}{2} + 8) = {(\frac{1}{2})}^{2} V (X) = \frac{3}{4} = 0, 75$ , donc $σ = \sqrt{0, 75} \approx 0, 87$ . On pouvait aussi écrire directement $σ = | \frac{1}{2} | σ (X) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

d) $V (a X) = a^{2} V (X) = 3 a^{2}$ . L'équation $3 a^{2} = 48$ donne $a^{2} = 16$ , donc $a = 4$ puisque $a > 0$ : $a = 4$ .

Exercice 2 — Somme de deux variables indépendantes

Facile

Deux variables aléatoires indépendantes $A$ et $B$ vérifient $E (A) = 1, 8$ , $V (A) = 0, 64$ , $E (B) = 2, 4$ et $V (B) = 1, 21$ .

a) Calculer $E (A + B)$ et $V (A + B)$ .
b) En déduire l'écart type de $A + B$ , arrondi au centième.
c) Comparer $σ (A + B)$ à $σ (A) + σ (B)$ .
d) Calculer $E (3 A + 2 B)$ et $V (3 A + 2 B)$ .

a) Par linéarité, $E (A + B) = 1, 8 + 2, 4 = 4, 2$ . Les variables étant indépendantes, les variances s'ajoutent : $V (A + B) = 0, 64 + 1, 21 = 1, 85$ .

b) $σ (A + B) = \sqrt{1, 85} \approx 1, 36$ .

c) $σ (A) = \sqrt{0, 64} = 0, 8$ et $σ (B) = \sqrt{1, 21} = 1, 1$ , donc $σ (A) + σ (B) = 1, 9$ . Or $σ (A + B) \approx 1, 36 < 1, 9$ : les écarts types ne s'additionnent pas, seules les variances le font.

d) $E (3 A + 2 B) = 3 \times 1, 8 + 2 \times 2, 4 = 5, 4 + 4, 8 = 10, 2$ . Par indépendance et avec les coefficients au carré : $V (3 A + 2 B) = 9 \times 0, 64 + 4 \times 1, 21 = 5, 76 + 4, 84 = 10, 6$ .

Exercice 3 — Premier échantillon

Facile

Une variable aléatoire $X$ vérifie $E (X) = 15$ et $σ (X) = 2, 4$ . On considère un échantillon $(X_{1}, \dots, X_{9})$ de taille 9 de la loi de $X$ , de somme $S_{9}$ et de moyenne $M_{9}$ .

a) Donner $E (S_{9})$ et $V (S_{9})$ .
b) Donner $σ (S_{9})$ , arrondi au dixième.
c) Donner $E (M_{9})$ et $σ (M_{9})$ .
d) De quel facteur l'écart type de la moyenne a-t-il été réduit par rapport à celui de $X$ ?

a) Les $X_{i}$ sont indépendantes et de même loi que $X$ . D'abord $V (X) = σ (X)^{2} = 2, 4^{2} = 5, 76$ . Alors $E (S_{9}) = 9 \times 15 = 135$ et $V (S_{9}) = 9 \times 5, 76 = 51, 84$ .

b) $σ (S_{9}) = \sqrt{51, 84} = 7, 2$ , soit $σ (S_{9}) = 7, 2$ ; on retrouve $σ \sqrt{n} = 2, 4 \times 3$ .

c) $E (M_{9}) = E (X) = 15$ et $σ (M_{9}) = \frac{2, 4}{\sqrt{9}} = \frac{2, 4}{3} = 0, 8$ .

d) $\frac{2, 4}{0, 8} = 3 = \sqrt{9}$ : l'écart type de la moyenne est 3 fois plus petit que celui de $X$ , conformément à la division par $\sqrt{n}$ .

Exercice 4 — D'une loi donnée à son échantillon

Moyen

Le nombre $X$ de pannes quotidiennes d'un automate suit la loi suivante.

$k$	0	1	2	3
$P (X = k)$	0,55	0,30	0,12	0,03

Les journées sont indépendantes.

a) Calculer $E (X)$ et montrer que $V (X) = 0, 6531$ .
b) Sur 30 jours, calculer l'espérance et l'écart type du nombre total de pannes $S_{30}$ .
c) Calculer l'espérance et l'écart type du nombre moyen de pannes par jour $M_{30}$ .
d) L'automate est jugé conforme si le total mensuel ne dépasse pas $E (S_{30}) + 2 σ (S_{30})$ . Donner ce seuil, arrondi à l'unité.

a) $E (X) = 0 \times 0, 55 + 1 \times 0, 30 + 2 \times 0, 12 + 3 \times 0, 03 = 0, 30 + 0, 24 + 0, 09 = 0, 63$ .
Puis $E (X^{2}) = 0^{2} \times 0, 55 + 1^{2} \times 0, 30 + 2^{2} \times 0, 12 + 3^{2} \times 0, 03 = 0, 30 + 0, 48 + 0, 27 = 1, 05$ .
D'où $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = 1, 05 - 0, 63^{2} = 1, 05 - 0, 3969 = 0, 6531$ , ce qu'il fallait montrer.

b) Les 30 journées forment un échantillon de taille 30 de la loi de $X$ . Donc $E (S_{30}) = 30 \times 0, 63 = 18, 9$ pannes et $V (S_{30}) = 30 \times 0, 6531 = 19, 593$ , soit $σ (S_{30}) = \sqrt{19, 593} \approx 4, 43$ .

c) $E (M_{30}) = E (X) = 0, 63$ panne par jour et $σ (M_{30}) = \frac{\sqrt{0, 6531}}{\sqrt{30}} = \frac{0, 8081}{5, 477} \approx 0, 148$ .

d) Le seuil vaut $18, 9 + 2 \times 4, 4264 = 18, 9 + 8, 853 = 27, 75$ , soit 28 pannes après arrondi à l'unité.

Exercice 5 — Loi binomiale reconstruite

Moyen

Un capteur détecte correctement un passage avec la probabilité $0, 45$ , indépendamment des autres passages. On observe 80 passages et on note $S$ le nombre de détections correctes.

a) Pour $i$ entre 1 et 80, on pose $X_{i} = 1$ si le $i$ -ième passage est détecté et $X_{i} = 0$ sinon. Donner $E (X_{i})$ et $V (X_{i})$ .
b) Exprimer $S$ en fonction des $X_{i}$ et préciser la loi de $S$ .
c) En déduire $E (S)$ , $V (S)$ et $σ (S)$ , arrondi au centième.
d) On note $F = \frac{S}{80}$ la fréquence de détection. Calculer $E (F)$ et $σ (F)$ , arrondi au millième.

a) $X_{i}$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p = 0, 45$ : $E (X_{i}) = p = 0, 45$ et $V (X_{i}) = p (1 - p) = 0, 45 \times 0, 55 = 0, 2475$ .

b) Chaque détection ajoute 1 au compteur, donc $S = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{80}$ . Les passages étant indépendants et de même probabilité de succès, $S$ est la somme de 80 variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $0, 45$ : $S$ suit la loi binomiale $B (80; 0, 45)$ .

c) Par linéarité, $E (S) = 80 \times 0, 45 = 36$ détections. Par indépendance, $V (S) = 80 \times 0, 2475 = 19, 8$ , donc $σ (S) = \sqrt{19, 8} \approx 4, 45$ .

d) $F = \frac{1}{80} S$ donc $E (F) = \frac{36}{80} = 0, 45$ : la fréquence observée a pour espérance la probabilité de détection. Et $V (F) = \frac{19, 8}{80^{2}} = \frac{19, 8}{6400} = 0, 00309375$ , donc $σ (F) \approx 0, 056$ .

Exercice 6 — Choisir la taille de l'échantillon

Moyen

Le temps de cuisson $T$ d'une pièce, en secondes, vérifie $E (T) = 68$ et $σ (T) = 4, 5$ . Les pièces sont cuites indépendamment les unes des autres. On prélève un échantillon de taille $n$ et on note $M_{n}$ le temps moyen de cuisson.

a) Exprimer $σ (M_{n})$ en fonction de $n$ .
b) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $σ (M_{n}) ⩽ 0, 3$ s.
c) Le laboratoire dispose de 100 pièces au maximum. La contrainte de la question b) est-elle atteignable ? Donner la valeur de $σ (M_{100})$ .
d) On souhaite diviser par 5 l'écart type de la moyenne obtenu avec 16 pièces. Quelle taille d'échantillon faut-il ?

a) Les $T_{i}$ forment un échantillon de taille $n$ de la loi de $T$ , donc $σ (M_{n}) = \frac{σ (T)}{\sqrt{n}} = \frac{4, 5}{\sqrt{n}}$ seconde.

b) $\frac{4, 5}{\sqrt{n}} ⩽ 0, 3 ⟺ \sqrt{n} ⩾ \frac{4, 5}{0, 3} = 15 ⟺ n ⩾ 225$ . Le plus petit entier convenable est $n = 225$ . Vérification : $\frac{4, 5}{15} = 0, 3$ s, la contrainte est bien satisfaite.

c) Avec $n = 100$ , $σ (M_{100}) = \frac{4, 5}{10} = 0, 45$ s $> 0, 3$ s : la contrainte n'est pas atteignable avec au plus 100 pièces, puisqu'il en faudrait 225.

d) Avec 16 pièces, $σ (M_{16}) = \frac{4, 5}{4} = 1, 125$ s. Diviser $σ (M_{n})$ par 5 impose de multiplier $\sqrt{n}$ par 5, donc de multiplier $n$ par $5^{2} = 25$ . Il faut $n = 16 \times 25 = 400$ pièces. Vérification : $\frac{4, 5}{\sqrt{400}} = \frac{4, 5}{20} = 0, 225 = \frac{1, 125}{5}$ .

Exercice 7 — Variance d'une différence

Moyen

$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes telles que $E (X) = 22$ , $V (X) = 5, 4$ , $E (Y) = 19$ et $V (Y) = 2, 6$ . On pose $D = X - Y$ .

a) Calculer $E (D)$ .
b) Montrer que $V (D) = V (X) + V (Y)$ et donner sa valeur.
c) Calculer $σ (D)$ , arrondi au centième, et comparer à $σ (X + Y)$ .
d) On pose $W = 0, 5 X - 0, 5 Y + 40$ . Calculer $E (W)$ et $V (W)$ .

a) Par linéarité de l'espérance, $E (D) = E (X) - E (Y) = 22 - 19 = 3$ .

b) On écrit $D = X + (- 1) \times Y$ . Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, $X$ et $- Y$ le sont aussi, donc les variances s'ajoutent : $V (D) = V (X) + V (- Y)$ . Or $V (- Y) = (- 1)^{2} V (Y) = V (Y)$ . Ainsi $V (D) = V (X) + V (Y)$ , ce qu'il fallait montrer, et $V (D) = 5, 4 + 2, 6 = 8$ .

c) $σ (D) = \sqrt{8} \approx 2, 83$ . Comme $V (X + Y) = 5, 4 + 2, 6 = 8$ également, $σ (X + Y) = σ (D)$ : soustraire deux variables indépendantes disperse autant que les additionner.

d) $E (W) = 0, 5 \times 22 - 0, 5 \times 19 + 40 = 11 - 9, 5 + 40 = 41, 5$ . Pour la variance, la constante 40 disparaît et les coefficients sont élevés au carré : $V (W) = 0, 25 \times 5, 4 + 0, 25 \times 2, 6 = 0, 25 \times 8 = 2$ .

Exercice 8 — Expliquer l'erreur

Difficile

Une variable aléatoire $Z$ vérifie $E (Z) = 9$ et $V (Z) = 12$ . Un élève écrit : « Comme $2 Z = Z + Z$ , on a $V (2 Z) = V (Z) + V (Z) = 24$ . »

a) Calculer $V (2 Z)$ à l'aide de la propriété $V (a Z) = a^{2} V (Z)$ .
b) Expliquer précisément l'erreur commise par l'élève.
c) Une variable $U$ indépendante de $Z$ a la même loi que $Z$ . Calculer $E (Z + U)$ , $V (Z + U)$ et comparer $V (Z + U)$ à $V (2 Z)$ .
d) Déterminer $V (Z - U)$ puis $V (Z - Z)$ , et commenter.

a) $V (2 Z) = 2^{2} V (Z) = 4 \times 12 = 48$ , et non 24.

b) La formule $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ exige que $X$ et $Y$ soient indépendantes. Ici l'élève l'applique à $X = Z$ et $Y = Z$ : une variable n'est jamais indépendante d'elle-même (connaître $Z$ détermine entièrement la seconde copie). L'hypothèse n'est pas vérifiée, la conclusion est fausse.

c) $U$ a la même loi que $Z$ , donc $E (U) = 9$ et $V (U) = 12$ . Par linéarité, $E (Z + U) = 9 + 9 = 18$ , qui est aussi $E (2 Z)$ . Par indépendance, $V (Z + U) = 12 + 12 = 24$ . On a donc $V (Z + U) = 24$ alors que $V (2 Z) = 48$ : additionner deux copies indépendantes n'est pas la même chose que doubler une seule variable, même si les espérances coïncident.

d) $Z$ et $U$ étant indépendantes, $V (Z - U) = V (Z) + V (U) = 24$ . En revanche $Z - Z$ est la variable constante nulle, donc $V (Z - Z) = 0$ . L'écart est maximal : la formule appliquée sans indépendance donnerait encore 24, alors que la vraie variance est nulle.

Exercice 9 — Retrouver les paramètres d'une loi binomiale

Difficile

Une variable aléatoire $S$ suit une loi binomiale $B (n; p)$ avec $E (S) = 48$ et $V (S) = 28, 8$ .

a) Déterminer $p$ .
b) En déduire $n$ .
c) Calculer $σ (S)$ puis l'écart type de la fréquence de succès $\frac{S}{n}$ , arrondi au millième.
d) On double le nombre d'épreuves sans changer $p$ . De quel facteur l'écart type de la fréquence de succès est-il multiplié ?

a) Pour une loi binomiale, $E (S) = n p$ et $V (S) = n p (1 - p)$ . En divisant : $\frac{V (S)}{E (S)} = \frac{n p (1 - p)}{n p} = 1 - p$ . Donc $1 - p = \frac{28, 8}{48} = 0, 6$ , d'où $p = 0, 4$ .

b) De $n p = 48$ on tire $n = \frac{48}{0, 4} = 120$ . Vérification : $120 \times 0, 4 \times 0, 6 = 28, 8$ , conforme à l'énoncé.

c) $σ (S) = \sqrt{28, 8} \approx 5, 37$ . La fréquence $F = \frac{S}{120}$ vérifie $σ (F) = \frac{σ (S)}{120} = \frac{5, 3666}{120} \approx 0, 045$ .

d) Avec $2 n$ épreuves, $σ (\frac{S^{'}}{2 n}) = \frac{\sqrt{2 n p (1 - p)}}{2 n} = \sqrt{\frac{p (1 - p)}{2 n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}}$ . L'écart type de la fréquence est donc multiplié par $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0, 707$ , c'est-à-dire divisé par $\sqrt{2}$ : il faudrait quadrupler le nombre d'épreuves pour le diviser par 2.

Exercice 10 — Somme de deux binomiales de paramètres différents

Difficile

Deux ateliers produisent indépendamment des pièces défectueuses. Le nombre de pièces défectueuses de l'atelier A suit $B (20; 0, 15)$ et celui de l'atelier B suit $B (44; 0, 6)$ . On note $N$ le nombre total de pièces défectueuses.

a) Calculer $E (N)$ .
b) Calculer $V (N)$ et $σ (N)$ , arrondi au centième.
c) Un élève affirme que $N$ suit la loi $B (64; p)$ . Déterminer le $p$ qu'imposerait l'espérance, puis la variance correspondante, et conclure.
d) Si l'atelier B avait la même probabilité de défaut que l'atelier A, quelle serait la loi de $N$ ? Donner alors $E (N)$ et $V (N)$ .

a) Notons $A ~ B (20; 0, 15)$ et $B ~ B (44; 0, 6)$ , avec $N = A + B$ . Alors $E (A) = 20 \times 0, 15 = 3$ et $E (B) = 44 \times 0, 6 = 26, 4$ . Par linéarité, $E (N) = 3 + 26, 4 = 29, 4$ pièces.

b) $V (A) = 20 \times 0, 15 \times 0, 85 = 2, 55$ et $V (B) = 44 \times 0, 6 \times 0, 4 = 10, 56$ . Les ateliers produisant indépendamment, $V (N) = 2, 55 + 10, 56 = 13, 11$ , donc $σ (N) = \sqrt{13, 11} \approx 3, 62$ .

c) Si $N$ suivait $B (64; p)$ , l'espérance imposerait $64 p = 29, 4$ , soit $p = \frac{29, 4}{64} \approx 0, 4594$ . La variance vaudrait alors $64 \times 0, 4594 \times 0, 5406 \approx 15, 89$ , très différente des $13, 11$ obtenus en b). $N$ ne suit donc pas de loi binomiale : les épreuves des deux ateliers n'ont pas la même probabilité de succès. L'espérance et la variance restent calculables, mais la loi n'est pas binomiale.

d) Si les deux ateliers avaient la probabilité de défaut $0, 15$ , $N$ serait la somme de $20 + 44 = 64$ épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre $0, 15$ : $N$ suivrait $B (64; 0, 15)$ , avec $E (N) = 64 \times 0, 15 = 9, 6$ et $V (N) = 64 \times 0, 15 \times 0, 85 = 8, 16$ .

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