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Spécialité Mathématiques Terminale

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Sommes de variables aléatoires

Linéarité de l’espérance, variance d’une transformation affine, variance d’une somme de variables indépendantes, somme et moyenne d’un échantillon de taille n, espérance et variance de la loi binomiale par décomposition.

À propos de cette page
Un QCM sur les sommes de variables aléatoires en trois niveaux de douze questions : formules de linéarité et de variance, échantillon et moyenne, calculs avec la loi binomiale, puis pièges sur l’indépendance, les écarts types et la fréquence. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Pour deux variables aléatoires X et Y définies sur le même univers, E(X + Y) vaut :

    • A. E(X) + E(Y), dans tous les cas
    • B. E(X) × E(Y), dans tous les cas
    • C. E(X) + E(Y), seulement si X et Y sont indépendantes
    • D. on ne peut pas la calculer sans la loi de X + Y
    Réponse

    A. E(X) + E(Y), dans tous les cas — L’espérance est linéaire : E(X + Y) = E(X) + E(Y), sans aucune hypothèse d’indépendance.

  2. Pour tous réels a et b, la variance V(aX + b) vaut :

    • A. a V(X) + b
    • B. a² V(X)
    • C. a V(X)
    • D. a² V(X) + b
    Réponse

    B. a² V(X) — La constante disparaît et le coefficient passe au carré : V(aX + b) = a² V(X).

  3. X et Y sont indépendantes, V(X) = 36 et V(Y) = 64. Alors σ(X + Y) vaut :

    • A. 100
    • B. 14
    • C. 10
    • D. 50
    Réponse

    C. 10 — V(X + Y) = 36 + 64 = 100, donc σ(X + Y) = √100 = 10. On additionne les variances, jamais les écarts types (6 + 8 = 14 est faux).

  4. Pour un échantillon de taille n d’une loi d’espérance μ, l’espérance de la somme Sₙ vaut :

    • A. μ
    • B. μ/n
    • C. μ√n
    • D. nμ
    Réponse

    D. nμ — Par linéarité, E(Sₙ) = E(X₁) + … + E(Xₙ) = nμ.

  5. Pour un échantillon de taille n d’une loi de variance σ², la variance de la moyenne Mₙ vaut :

    • A. σ²/n
    • B. nσ²
    • C. σ/n
    • D. σ/√n
    Réponse

    A. σ²/n — Mₙ = Sₙ/n, donc V(Mₙ) = (1/n²) × nσ² = σ²/n. La valeur σ/√n est l’écart type de Mₙ, pas sa variance.

  6. Si S suit la loi binomiale B(n ; p), sa variance vaut :

    • A. np
    • B. np(1 − p)
    • C. p(1 − p)
    • D. √(np(1 − p))
    Réponse

    B. np(1 − p) — S est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes de variance p(1 − p), donc V(S) = np(1 − p). La racine carrée est l’écart type.

  7. On sait que V(X) = 3,5. La variance de X + 7 vaut :

    • A. 10,5
    • B. 0
    • C. 3,5
    • D. 7
    Réponse

    C. 3,5 — Ajouter une constante décale la loi sans la disperser : V(X + 7) = V(X) = 3,5.

  8. Une variable de Bernoulli de paramètre p a pour espérance :

    • A. p(1 − p)
    • B. 1 − p
    • C. p²
    • D. p
    Réponse

    D. p — E(X) = 1 × p + 0 × (1 − p) = p ; p(1 − p) est sa variance.

  9. On sait que E(X) = 5. L’espérance de −2X + 3 vaut :

    • A. −7
    • B. 13
    • C. −10
    • D. 7
    Réponse

    A. −7 — Par linéarité : E(−2X + 3) = −2 × 5 + 3 = −10 + 3 = −7.

  10. Un échantillon de taille n de la loi de X est une liste de n variables aléatoires :

    • A. de même espérance, sans être indépendantes
    • B. indépendantes et de même loi que X
    • C. toutes égales à la même variable X
    • D. indépendantes, de lois quelconques
    Réponse

    B. indépendantes et de même loi que X — Un échantillon répète n fois la même expérience de façon indépendante : variables indépendantes, toutes de la loi de X.

  11. On sait que σ(X) = 4. L’écart type de −3X + 1 vaut :

    • A. −12
    • B. 13
    • C. 12
    • D. 144
    Réponse

    C. 12 — σ(aX + b) = |a| σ(X) = 3 × 4 = 12. Un écart type n’est jamais négatif, et 144 est la variance.

  12. Deux variables X et Y sont indépendantes lorsque, pour toutes valeurs x et y :

    • A. P(X = x et Y = y) = P(X = x) + P(Y = y)
    • B. P(X = x) = P(Y = y)
    • C. P(X = x ou Y = y) = P(X = x) × P(Y = y)
    • D. P(X = x et Y = y) = P(X = x) × P(Y = y)
    Réponse

    D. P(X = x et Y = y) = P(X = x) × P(Y = y) — C’est la définition : la probabilité de « X = x et Y = y » est le produit des probabilités.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. E(X) = 12 et E(Y) = −5. Alors E(3X + 2Y + 1) vaut :

    • A. 25
    • B. 27
    • C. 31
    • D. 23
    Réponse

    B. 27 — Par linéarité : 3 × 12 + 2 × (−5) + 1 = 36 − 10 + 1 = 27.

  2. X et Y sont indépendantes avec V(X) = 7 et V(Y) = 11. Alors V(2X − Y) vaut :

    • A. 25
    • B. 32
    • C. 46
    • D. 39
    Réponse

    D. 39 — V(2X − Y) = 2² × 7 + (−1)² × 11 = 28 + 11 = 39 : les coefficients passent au carré.

  3. Échantillon de taille 169 d’une loi telle que σ(X) = 5,2. L’écart type de la moyenne vaut :

    • A. 0,4
    • B. 5,2
    • C. 67,6
    • D. 0,03
    Réponse

    A. 0,4 — σ(M₁₆₉) = 5,2/√169 = 5,2/13 = 0,4.

  4. Échantillon de taille 121 avec E(X) = 6 et σ(X) = 2. L’écart type de la somme vaut :

    • A. 2
    • B. 11
    • C. 22
    • D. 242
    Réponse

    C. 22 — σ(Sₙ) = σ√n = 2 × 11 = 22 ; la variance, elle, vaut 121 × 4 = 484.

  5. Si S suit B(150 ; 0,2), alors σ(S) vaut environ :

    • A. 30
    • B. 24
    • C. 5,5
    • D. 4,9
    Réponse

    D. 4,9 — V(S) = 150 × 0,2 × 0,8 = 24, donc σ(S) = √24 ≈ 4,9 ; 30 est l’espérance.

  6. Échantillon de taille 100 d’une loi telle que E(X) = 1,5 et V(X) = 0,09. L’écart type de la somme vaut :

    • A. 0,3
    • B. 3
    • C. 9
    • D. 0,9
    Réponse

    B. 3 — V(S₁₀₀) = 100 × 0,09 = 9, donc σ(S₁₀₀) = 3.

  7. Avec σ(X) = 8,1, la plus petite taille n telle que σ(Mₙ) ≤ 0,9 est :

    • A. 9
    • B. 27
    • C. 81
    • D. 90
    Réponse

    C. 81 — 8,1/√n ≤ 0,9 donne √n ≥ 9, donc n ≥ 81.

  8. X suit B(20 ; 0,3) et Y suit B(30 ; 0,3), indépendantes. La loi de X + Y est :

    • A. B(50 ; 0,6)
    • B. B(50 ; 0,3)
    • C. B(600 ; 0,09)
    • D. B(50 ; 0,15)
    Réponse

    B. B(50 ; 0,3) — Même paramètre et indépendance : X + Y compte les succès de 50 épreuves indépendantes de paramètre 0,3, donc X + Y suit B(50 ; 0,3).

  9. Une variable X vérifie E(X) = 3 et E(X²) = 13. Sa variance vaut :

    • A. 10
    • B. 4
    • C. 22
    • D. 2
    Réponse

    B. 4 — V(X) = E(X²) − E(X)² = 13 − 9 = 4 ; 2 serait l’écart type.

  10. X₁, X₂, X₃ sont indépendantes, de même loi, de variance 2. La variance de X₁ + X₂ + X₃ vaut :

    • A. 6
    • B. 18
    • C. 2
    • D. 12
    Réponse

    A. 6 — Par indépendance : V(X₁ + X₂ + X₃) = 2 + 2 + 2 = 6. La valeur 18 serait V(3X₁), qui n’est pas une somme de variables indépendantes.

  11. La moyenne d’un échantillon de taille 100 a pour écart type 0,6. L’écart type de la loi de départ vaut :

    • A. 60
    • B. 0,06
    • C. 0,6
    • D. 6
    Réponse

    D. 6 — σ(M₁₀₀) = σ/√100 = σ/10 = 0,6, donc σ = 6.

  12. Un camion transporte 25 colis aux masses indépendantes, d’écart type 3 kg chacun. L’écart type de la masse totale vaut :

    • A. 75 kg
    • B. 3 kg
    • C. 15 kg
    • D. 0,6 kg
    Réponse

    C. 15 kg — σ(S₂₅) = 3√25 = 15 kg ; 75 kg serait la somme fautive des écarts types.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. L’égalité V(X + Y) = V(X) + V(Y) est valable :

    • A. pour toutes variables X et Y
    • B. si X et Y ont la même loi
    • C. si X et Y sont indépendantes
    • D. si E(X) = E(Y)
    Réponse

    C. si X et Y sont indépendantes — Au programme, l’indépendance est l’hypothèse qui permet d’écrire cette égalité ; sans elle, l’égalité peut être fausse (avec Y = X, V(2X) = 4V(X)). Même loi ou même espérance ne suffisent pas.

  2. X et Y sont indépendantes, σ(X) = 3 et σ(Y) = 4. Alors σ(2X − Y) vaut environ :

    • A. 5,83
    • B. 10
    • C. 7,21
    • D. 4,47
    Réponse

    C. 7,21 — V(2X − Y) = 2² × 9 + (−1)² × 16 = 52, donc σ(2X − Y) = √52 ≈ 7,21. Pièges : 5,83 = √34 oublie le carré sur 2 (2 × 9 au lieu de 4 × 9), 4,47 = √20 soustrait les variances, 10 = 2 × 3 + 4 combine à tort les écarts types.

  3. Une variable X vérifie V(X) = 30. La variance de X − X vaut :

    • A. 60
    • B. 30
    • C. −30
    • D. 0
    Réponse

    D. 0 — X − X est la variable constante nulle, donc sa variance est nulle : X n’est pas indépendante d’elle-même, la formule des variances ne s’applique pas.

  4. A suit B(n ; p₁) et B suit B(m ; p₂), indépendantes, avec p₁ ≠ p₂. La loi de A + B :

    • A. est B(n + m ; p₁ + p₂), car les espérances s’ajoutent
    • B. n’est pas binomiale en général
    • C. est B(n + m ; (p₁ + p₂)/2)
    • D. est B(nm ; p₁p₂)
    Réponse

    B. n’est pas binomiale en général — La somme n’est binomiale que si les deux probabilités de succès sont égales ; sinon seules l’espérance et la variance se calculent.

  5. Pour diviser par 3 l’écart type de la moyenne d’un échantillon, il faut multiplier la taille n par :

    • A. 3
    • B. 9
    • C. √3
    • D. 6
    Réponse

    B. 9 — σ(Mₙ) = σ/√n : diviser par 3 impose de multiplier √n par 3, donc n par 3² = 9.

  6. X et Y sont indépendantes et V(X) = V(Y) = 5. Alors V(X − Y) vaut :

    • A. 0
    • B. 25
    • C. 10
    • D. 5
    Réponse

    C. 10 — V(X − Y) = V(X) + (−1)² V(Y) = 5 + 5 = 10 : une différence de variables indépendantes ne fait pas disparaître la dispersion.

  7. On tire successivement sans remise 3 boules dans une urne de 10 boules dont 4 rouges ; N est le nombre de boules rouges tirées. E(N) vaut :

    • A. 1,6
    • B. on ne peut pas la calculer, car les tirages ne sont pas indépendants
    • C. 1,2
    • D. 0,4
    Réponse

    C. 1,2 — N = X₁ + X₂ + X₃ avec P(Xᵢ = 1) = 4/10 pour chaque tirage ; par linéarité, sans indépendance : E(N) = 3 × 0,4 = 1,2.

  8. Pour un échantillon de taille n, le quotient σ(Sₙ)/σ(Mₙ) vaut :

    • A. √n
    • B. 1/n
    • C. 1
    • D. n
    Réponse

    D. n — σ(Sₙ)/σ(Mₙ) = (σ√n)/(σ/√n) = √n × √n = n : la somme est n fois plus dispersée que la moyenne.

  9. V(X) = 4 et Y = 2X. Alors V(X + Y) vaut :

    • A. 36
    • B. 12
    • C. 20
    • D. 16
    Réponse

    A. 36 — X + Y = 3X, donc V(X + Y) = 3² × 4 = 36. X et Y ne sont pas indépendantes : V(X) + V(Y) = 4 + 16 = 20 est faux.

  10. La fréquence F de succès sur n épreuves indépendantes de probabilité p a pour écart type :

    • A. √(p(1 − p)/n)
    • B. √(np(1 − p))
    • C. p(1 − p)/n
    • D. √(p(1 − p))/n
    Réponse

    A. √(p(1 − p)/n) — F = Sₙ/n avec V(Sₙ) = np(1 − p), donc V(F) = p(1 − p)/n et σ(F) = √(p(1 − p)/n).

  11. X vérifie E(X) = 10 et σ(X) = 2. La variable Z = (X − 10)/2 a pour espérance et variance :

    • A. 0 et 0,5
    • B. 0 et 1
    • C. 5 et 1
    • D. 0 et 2
    Réponse

    B. 0 et 1 — E(Z) = (10 − 10)/2 = 0 et V(Z) = (1/2)² × 4 = 1.

  12. N suit B(400 ; 0,5). L’écart type de la fréquence N/400 vaut :

    • A. 0,25
    • B. 10
    • C. 0,025
    • D. 0,5
    Réponse

    C. 0,025 — V(N) = 400 × 0,5 × 0,5 = 100, σ(N) = 10, donc σ(N/400) = 10/400 = 0,025.

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