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Sommes de variables aléatoires

Espérance et variance d'une somme, échantillon de variables indépendantes, application à la loi binomiale (programme de Terminale spécialité maths)

À propos de cette page

Ce QCM sur « Sommes de variables aléatoires » en terminale teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : L'essentiel : espérance et variance d'une somme, Variables aléatoires indépendantes, Échantillon de taille n : somme et moyenne, Application : la loi binomiale comme somme de Bernoulli. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Pour deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur le même univers, $E (X + Y)$ vaut :
- A. $E (X) + E (Y)$ dans tous les cas
- B. $E (X) \times E (Y)$ dans tous les cas
- C. $E (X) + E (Y)$ seulement si elles sont indépendantes
- D. une quantité impossible à calculer
Réponse
A. $E (X) + E (Y)$ dans tous les cas — L'espérance est linéaire : $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ sans aucune hypothèse d'indépendance.
Pour tous réels $a$ et $b$ , la variance $V (a X + b)$ vaut :
- A. $a V (X) + b$
- B. $a^{2} V (X)$
- C. $a V (X)$
- D. $a^{2} V (X) + b^{2}$
Réponse
B. $a^{2} V (X)$ — Le coefficient est élevé au carré et la constante disparaît : $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ .
$X$ et $Y$ sont indépendantes, $V (X) = 16$ et $V (Y) = 9$ . Alors $σ (X + Y)$ vaut :
- A. $25$
- B. $7$
- C. $5$
- D. $12, 5$
Réponse
C. $5$ — $V (X + Y) = 16 + 9 = 25$ , donc $σ (X + Y) = \sqrt{25} = 5$ : on additionne les variances, jamais les écarts types.
Pour un échantillon de taille $n$ de la loi de $X$ avec $E (X) = μ$ , l'espérance de la somme $S_{n}$ vaut :
- A. $μ$
- B. $\frac{μ}{n}$
- C. $μ \sqrt{n}$
- D. $n μ$
Réponse
D. $n μ$ — Par linéarité, $E (S_{n}) = E (X_{1}) + \dots + E (X_{n}) = n μ$ .
Pour un échantillon de taille $n$ avec $V (X) = σ^{2}$ , la variance de la moyenne $M_{n}$ vaut :
- A. $\frac{σ^{2}}{n}$
- B. $n σ^{2}$
- C. $\frac{σ}{n}$
- D. $\frac{σ}{\sqrt{n}}$
Réponse
A. $\frac{σ^{2}}{n}$ — $M_{n} = \frac{1}{n} S_{n}$ donc $V (M_{n}) = \frac{1}{n^{2}} \times n σ^{2} = \frac{σ^{2}}{n}$ ; $\frac{σ}{\sqrt{n}}$ est l'écart type.
Si $S$ suit la loi binomiale $B (n; p)$ , sa variance vaut :
- A. $n p$
- B. $n p (1 - p)$
- C. $p (1 - p)$
- D. $\sqrt{n p}$
Réponse
B. $n p (1 - p)$ — $S$ est la somme de $n$ Bernoulli indépendantes de variance $p (1 - p)$ , d'où $V (S) = n p (1 - p)$ .
On sait que $V (X) = 2, 5$ . La variance de $X + 7$ vaut :
- A. $9, 5$
- B. $0$
- C. $2, 5$
- D. $7$
Réponse
C. $2, 5$ — Ajouter une constante translate la loi sans la disperser : $V (X + 7) = V (X) = 2, 5$ .
Une variable de Bernoulli de paramètre $p$ a pour espérance :
- A. $p (1 - p)$
- B. $1 - p$
- C. $p^{2}$
- D. $p$
Réponse
D. $p$ — $E (X) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p$ ; $p (1 - p)$ est sa variance.

Niveau moyen — 8 questions

$E (X) = 12$ et $E (Y) = - 5$ . Alors $E (3 X + 2 Y + 1)$ vaut :
- A. $25$
- B. $27$
- C. $31$
- D. $23$
Réponse
B. $27$ — $3 \times 12 + 2 \times (- 5) + 1 = 36 - 10 + 1 = 27$ , par linéarité de l'espérance.
$X$ et $Y$ sont indépendantes avec $V (X) = 7$ et $V (Y) = 11$ . Alors $V (2 X - Y)$ vaut :
- A. $25$
- B. $32$
- C. $46$
- D. $39$
Réponse
D. $39$ — $V (2 X - Y) = 2^{2} \times 7 + (- 1)^{2} \times 11 = 28 + 11 = 39$ : les coefficients passent au carré.
Échantillon de taille 169 d'une loi telle que $σ (X) = 5, 2$ : l'écart type de la moyenne vaut :
- A. $0, 4$
- B. $5, 2$
- C. $67, 6$
- D. $0, 03$
Réponse
A. $0, 4$ — $σ (M_{n}) = \frac{5, 2}{\sqrt{169}} = \frac{5, 2}{13} = 0, 4$ .
Échantillon de taille 121 avec $E (X) = 6$ et $σ (X) = 2$ : l'écart type de la somme vaut :
- A. $2$
- B. $11$
- C. $22$
- D. $242$
Réponse
C. $22$ — $σ (S_{n}) = σ \sqrt{n} = 2 \times 11 = 22$ ; la variance, elle, vaut $V (S_{n}) = 121 \times 4 = 484$ .
Si $S$ suit $B (150; 0, 2)$ , alors $σ (S)$ vaut environ :
- A. $30$
- B. $24$
- C. $5, 5$
- D. $4, 9$
Réponse
D. $4, 9$ — $V (S) = 150 \times 0, 2 \times 0, 8 = 24$ donc $σ (S) = \sqrt{24} \approx 4, 9$ ; $30$ est l'espérance.
Échantillon de taille 100 d'une loi telle que $E (X) = 1, 5$ et $V (X) = 0, 09$ : l'écart type de la somme vaut :
- A. $0, 3$
- B. $3$
- C. $9$
- D. $0, 9$
Réponse
B. $3$ — $V (S_{100}) = 100 \times 0, 09 = 9$ , donc $σ (S_{100}) = 3$ .
Avec $σ (X) = 8, 1$ , la plus petite taille $n$ telle que $σ (M_{n}) ⩽ 0, 9$ est :
- A. $9$
- B. $27$
- C. $81$
- D. $90$
Réponse
C. $81$ — $\frac{8, 1}{\sqrt{n}} ⩽ 0, 9$ donne $\sqrt{n} ⩾ 9$ , donc $n ⩾ 81$ .
$S$ suit $B (n; p)$ avec $E (S) = 77$ et $V (S) = 23, 1$ . Alors :
- A. $n = 110$ et $p = 0, 7$
- B. $n = 110$ et $p = 0, 3$
- C. $n = 77$ et $p = 0, 7$
- D. $n = 254$ et $p = 0, 3$
Réponse
A. $n = 110$ et $p = 0, 7$ — $\frac{V}{E} = 1 - p = \frac{23, 1}{77} = 0, 3$ donc $p = 0, 7$ , puis $n = \frac{77}{0, 7} = 110$ .

Niveau difficile — 8 questions

L'égalité $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ est valable :
- A. pour toutes variables $X$ et $Y$
- B. seulement si $X$ et $Y$ ont la même loi
- C. seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes
- D. seulement si $E (X) = E (Y)$
Réponse
C. seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes — L'indépendance est l'hypothèse indispensable ; avoir la même loi ou la même espérance ne suffit pas.
$X$ et $Y$ sont indépendantes, $σ (X) = 5$ et $σ (Y) = 12$ . Alors $σ (X + Y)$ vaut :
- A. $13$
- B. $17$
- C. $169$
- D. $8, 5$
Réponse
A. $13$ — $V (X + Y) = 25 + 144 = 169$ donc $σ = 13$ ; $17$ serait la somme fautive des écarts types.
Une variable $X$ vérifie $V (X) = 30$ . La variance de $X - X$ vaut :
- A. $60$
- B. $30$
- C. $- 30$
- D. $0$
Réponse
D. $0$ — $X - X$ est la variable constante nulle, donc sa variance est nulle : la formule des variances ne s'applique pas ici.
$A$ suit $B (n; p_{1})$ et $B$ suit $B (m; p_{2})$ , indépendantes, avec $p_{1} \neq p_{2}$ . La loi de $A + B$ :
- A. est $B (n + m; p_{1} + p_{2})$
- B. n'est pas binomiale en général
- C. est $B (n + m; \frac{p_{1} + p_{2}}{2})$
- D. est $B (n m; p_{1} p_{2})$
Réponse
B. n'est pas binomiale en général — La somme n'est binomiale que si les deux probabilités de succès sont égales ; sinon seules $E$ et $V$ restent calculables.
Pour diviser par 3 l'écart type de la moyenne d'un échantillon, il faut multiplier la taille $n$ par :
- A. $9$
- B. $3$
- C. $\sqrt{3}$
- D. $6$
Réponse
A. $9$ — $σ (M_{n}) = \frac{σ}{\sqrt{n}}$ : diviser par 3 impose de multiplier $\sqrt{n}$ par 3, donc $n$ par $3^{2} = 9$ .
$X$ prend les valeurs $- 1$ et $1$ avec la probabilité $0, 5$ chacune, et $Y = - X$ . Alors $V (X + Y)$ vaut :
- A. $2$
- B. $1$
- C. $0$
- D. $4$
Réponse
C. $0$ — $X + Y = 0$ donc $V (X + Y) = 0$ , alors que $V (X) + V (Y) = 2$ : $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.
L'égalité $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ nécessite :
- A. que $X$ et $Y$ soient indépendantes
- B. aucune hypothèse supplémentaire
- C. que $X$ et $Y$ aient la même loi
- D. que $X$ et $Y$ soient positives
Réponse
B. aucune hypothèse supplémentaire — La linéarité de l'espérance est toujours vraie ; c'est la variance qui exige l'indépendance.
Pour un échantillon de taille $n$ , le quotient $\frac{σ (S_{n})}{σ (M_{n})}$ vaut :
- A. $\sqrt{n}$
- B. $\frac{1}{n}$
- C. $1$
- D. $n$
Réponse
D. $n$ — $\frac{σ \sqrt{n}}{σ / \sqrt{n}} = \sqrt{n} \times \sqrt{n} = n$ : la somme est $n$ fois plus dispersée que la moyenne.

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