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Formulaire : limites de fonctions

Limites en l’infini et en un réel, asymptotes, opérations et formes indéterminées, fonction composée, comparaison et gendarmes, croissances comparées de l’exponentielle et des puissances.

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Limites de fonctions

Fiche tableaux : les limites à connaître

(Spécialité maths Terminale)

Limites de référence

Fonction	en $- \infty$	en $0$	en $+ \infty$
$x^{n}$	$+ \infty$ si $n$ pair, $- \infty$ si $n$ impair	$0$	$+ \infty$
$\frac{1}{x^{n}}$	$0$	en $0^{+}$ : $+ \infty$ ; en $0^{-}$ : $+ \infty$ si $n$ pair, $- \infty$ si $n$ impair	$0$
$\sqrt{x}$	non définie	$0$	$+ \infty$
$e^{x}$	$0$	$1$	$+ \infty$

Exemple : $lim_{x \to - \infty} (1 + \frac{1}{x^{4}}) = 1$ , car $\frac{1}{x^{4}} \to 0$ . Composée : avec $X = 1 + \frac{1}{x^{4}} \to 1$ , on obtient $\sqrt{X} \to 1$ et $e^{X} \to e$ ; si $X \to - \infty$ , $e^{X} \to 0$ .

Somme

$lim f$	$lim g$	$lim (f + g)$
$ℓ$	$ℓ'$	$ℓ + ℓ'$
$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$
$ℓ$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$
$- \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$- \infty$	FI

Exemple : $lim_{x \to + \infty} (e^{x} + \sqrt{x}) = + \infty$ . Forme indéterminée : $x^{3} - 4 x = x^{3} (1 - \frac{4}{x^{2}}) \to + \infty$ en $+ \infty$ .

Produit

$lim f$	$lim g$	$lim (f g)$
$ℓ$	$ℓ'$	$ℓ ℓ'$
$ℓ \neq 0$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$\pm \infty$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$0$	$\pm \infty$	FI

Exemple : $lim_{x \to - \infty} (- 4 x) = + \infty$ (« $(- 4) \times (- \infty)$ »).

Quotient

$lim f$	$lim g$	$lim \frac{f}{g}$
$ℓ$	$ℓ' \neq 0$	$\frac{ℓ}{ℓ'}$
$ℓ$	$\pm \infty$	$0$
$\pm \infty$	$ℓ' \neq 0$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$ℓ \neq 0$ ou $\pm \infty$	$0^{+}$ ou $0^{-}$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$\pm \infty$	$\pm \infty$	FI
$0$	$0$	FI

Exemple : $lim_{x \to 1^{+}} \frac{3}{1 - x} = - \infty$ , car $1 - x \to 0^{-}$ pour $x > 1$ .

Formes indéterminées : que faire ?

Situation	Méthode
Polynôme ou fonction rationnelle en $\pm \infty$	factoriser (en haut et en bas) par le terme de plus haut degré
« $\frac{0}{0}$ » en un réel $a$	factoriser par $(x - a)$ et simplifier, ou quantité conjuguée s’il y a une racine
Exponentielle contre puissance de $x$	mettre $e^{x}$ en facteur, croissances comparées
Présence de $\sin x$ ou $\cos x$	comparaison ou gendarmes

Croissances comparées

Fonction ( $n ⩾ 1$ )	Limite	Où
$\frac{e^{x}}{x^{n}}$	$+ \infty$	en $+ \infty$
$\frac{x^{n}}{e^{x}} = x^{n} e^{- x}$	$0$	en $+ \infty$
$x^{n} e^{x}$	$0$	en $- \infty$

Exemple : $lim_{x \to + \infty} x^{6} e^{- x} = 0$ .

Comparaison, gendarmes, asymptotes

Si…	et si…	alors…
$f (x) ⩾ g (x)$ pour $x$ assez grand	$g (x) \to + \infty$	$f (x) \to + \infty$
$f (x) ⩽ h (x)$ pour $x$ assez grand	$h (x) \to - \infty$	$f (x) \to - \infty$
$g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)$	$g (x) \to ℓ$ et $h (x) \to ℓ$	$f (x) \to ℓ$ (gendarmes)
$lim_{x \to \pm \infty} f (x) = ℓ$	—	asymptote horizontale $y = ℓ$
$lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty$	(à gauche ou à droite)	asymptote verticale $x = a$

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À propos de cette page

La fiche de révision des limites de fonctions en tableaux, pour le bac de spécialité maths : limites de référence de xⁿ, 1/xⁿ, √x et eˣ, somme, produit et quotient avec les formes indéterminées signalées, méthode pour chaque forme indéterminée, composées avec l’exponentielle et la racine, croissances comparées, comparaison, gendarmes et asymptotes. La fiche se télécharge en PDF.

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