Limites de suites

Somme. $a_n=5-{\displaystyle \frac{3}{n^2}}$ : ${\displaystyle \frac{3}{n^2}}\to 0$, donc par somme $lim{a}_n=5$.

Produit. $b_n=\sqrt{n}(3+{\displaystyle \frac{1}{n}})$ : $\sqrt{n}\to +\infty$ et $3+{\displaystyle \frac{1}{n}}\to 3>0$, donc par produit $lim{b}_n=+\infty$.

Lever « $+\infty -\infty$ ». $c_n=n^3-4n^2+1$. On factorise par le terme dominant : pour $n⩾1$, $c_n=n^3(1-{\displaystyle \frac{4}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^3}})$. Or $n^3\to +\infty$ et la parenthèse tend vers $1$ : par produit, $lim{c}_n=+\infty$.

Lever « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ ». $d_n={\displaystyle \frac{6n^2+n}{3n^2-7}}$ pour $n⩾2$. On factorise en haut et en bas par $n^2$ : $d_n={\displaystyle \frac{6+\frac{1}{n}}{3-\frac{7}{n^2}}}$. Le numérateur tend vers $6$, le dénominateur vers $3$ : $lim{d}_n=2$.

Différence de racines : la quantité conjuguée. $e_n=\sqrt{n+5}-\sqrt{n}$ (forme « $+\infty -\infty$ »). On multiplie et on divise par $\sqrt{n+5}+\sqrt{n}>0$ : $e_n={\displaystyle \frac{(n+5)-n}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$ : $lim{e}_n=0$.

Démonstration du théorème de comparaison. Soit $A$ un réel. Comme $v_n\to +\infty$, l’intervalle $[A;+\infty [$ contient tous les $v_n$ à partir d’un certain rang $N_1$. Par hypothèse, $u_n⩾v_n$ à partir d’un rang $N_2$. Pour $n⩾max(N_1,N_2)$ : $u_n⩾v_n⩾A$. Ainsi $[A;+\infty [$ contient tous les $u_n$ à partir d’un certain rang : $lim{u}_n=+\infty$.

Comparaison. $f_n=2n+\cos n$. Comme $\cos n⩾-1$, on a $f_n⩾2n-1$ pour tout $n$. Or $lim(2n-1)=+\infty$ : par comparaison, $lim{f}_n=+\infty$.

Gendarmes. $g_n={\displaystyle \frac{5+(-1{)}^n}{n^2}}$ pour $n⩾1$. Comme $-1⩽(-1{)}^n⩽1$, on a $4⩽5+(-1{)}^n⩽6$, puis, en divisant par $n^2>0$ : ${\displaystyle \frac{4}{n^2}}⩽g_n⩽{\displaystyle \frac{6}{n^2}}$. Les deux suites encadrantes tendent vers $0$ : d’après le théorème des gendarmes, $lim{g}_n=0$.

Gendarmes avec une limite non nulle. $h_n={\displaystyle \frac{3n+\sin n}{n}}=3+{\displaystyle \frac{\sin n}{n}}$ pour $n⩾1$. Comme $-1⩽\sin n⩽1$ et $n>0$ : $3-{\displaystyle \frac{1}{n}}⩽h_n⩽3+{\displaystyle \frac{1}{n}}$. Les deux bornes tendent vers $3$ : $lim{h}_n=3$.

Démonstration pour $q>1$ (exigible). On pose $a=q-1>0$. L’inégalité de Bernoulli, démontrée par récurrence au chapitre Raisonnement par récurrence, donne pour tout $n$ : $q^n=(1+a{)}^n⩾1+na$. Comme $a>0$, $1+na\to +\infty$ ; par comparaison, $q^n\to +\infty$.

Pour $0<q<1$. ${\displaystyle \frac{1}{q}}>1$, donc ${\left({\displaystyle \frac{1}{q}}\right)}^n\to +\infty$ et $q^n={\displaystyle \frac{1}{{\left(\frac{1}{q}\right)}^n}}\to 0$. Pour $-1<q<0$ : $-|q{|}^n⩽q^n⩽|q{|}^n$ et $|q{|}^n\to 0$, donc $q^n\to 0$ (gendarmes).

Lecture directe. $0,7^n\to 0$ car $-1<0,7<1$. $k_n=4\times 1,{05}^n-9$ : $1,05>1$ donc $1,{05}^n\to +\infty$, et $lim{k}_n=+\infty$.

Plusieurs puissances : factoriser par la plus grande base. $m_n=7^n-6^n$ (forme « $+\infty -\infty$ ») : $m_n=7^n(1-{\left({\displaystyle \frac{6}{7}}\right)}^n)$. Or $7^n\to +\infty$ et ${\left({\displaystyle \frac{6}{7}}\right)}^n\to 0$, donc la parenthèse tend vers $1$ : $lim{m}_n=+\infty$. $p_n={\displaystyle \frac{2^n+1}{3^n}}$ $={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$, qui tend vers $0$.

Somme. $S_n=1+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$ $={\displaystyle \frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}}$ $={\displaystyle \frac{3}{2}}(1-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n+1})$, donc $lim{S}_n={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Démonstration : croissante non majorée ⟹ $+\infty$. Soit $A$ un réel. La suite n’est pas majorée, donc $A$ n’est pas un majorant : il existe un rang $N$ tel que $u_N>A$. La suite est croissante, donc pour tout $n⩾N$, $u_n⩾u_N>A$. Ainsi $[A;+\infty [$ contient tous les termes à partir du rang $N$ : $lim{u}_n=+\infty$.

Croissante et majorée. Pour $n⩾1$, $S_n=1+{\displaystyle \frac{1}{2^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$. On a $S_{n+1}-S_n={\displaystyle \frac{1}{(n+1{)}^2}}>0$ : $(S_n)$ est croissante. Pour $k⩾2$, ${\displaystyle \frac{1}{k^2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{k(k-1)}}={\displaystyle \frac{1}{k-1}}-{\displaystyle \frac{1}{k}}$ ; en additionnant de $k=2$ à $k=n$, les termes se simplifient deux à deux : $S_n⩽1+1-{\displaystyle \frac{1}{n}}<2$. Croissante et majorée par $2$, la suite $(S_n)$ converge, vers une limite $\ell ⩽2$ (le théorème ne donne pas sa valeur).

Croissante non majorée et seuil. $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+\sqrt{u_n}$ (on admet que tous les termes sont positifs). $u_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n}⩾0$ : la suite est croissante, donc $u_n⩾u_0=1$, puis $u_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n}⩾1$. En additionnant ces $n$ écarts : $u_n⩾1+n$. Comme $1+n\to +\infty$, par comparaison $lim{u}_n=+\infty$. Le programme ci-dessous renvoie le premier rang où $u_n>100$ :

from math import sqrt
def seuil(A):
    n = 0
    u = 1
    while u <= A:
        u = u + sqrt(u)
        n = n + 1
    return n

L’appel seuil(100) renvoie $20$.

Convergence. $u_0=50$ et $u_{n+1}=0,9u_n+3$. Étape 1 : $\ell =0,9\ell +3⟺0,1\ell =3⟺\ell =30$. Étape 2 : $v_n=u_n-30$ et $v_{n+1}=0,9u_n+3-30$ $=0,9(u_n-30)=0,9v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $0,9$, avec $v_0=50-30=20$. Étape 3 : $u_n=30+20\times 0,9^n$. Étape 4 : $-1<0,9<1$ donc $0,9^n\to 0$ et $lim{u}_n=30$.

Divergence. $w_0=100$ et $w_{n+1}=1,5w_n-20$. $\ell =1,5\ell -20⟺\ell =40$, puis $w_n=40+60\times 1,5^n$. Comme $1,5>1$ et $60>0$, $lim{w}_n=+\infty$.