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Limites de suites
Comportement asymptotique des suites : convergence, divergence et théorèmes de comparaison (programme de Terminale spécialité maths)
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Limites de suites » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Définitions : limite finie et limite infinie, Suites classiques et leurs limites, Opérations sur les limites, Formes indéterminées — techniques de calcul. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
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Définitions : limite finie et limite infinie
L'étude asymptotique d'une suite consiste à comprendre son comportement quand le rang $n$ « tend vers l'infini ».
Définition — Limite finie (convergence). On dit que la suite $(u_n)$ a pour limite le réel $L$ (et on écrit $\lim_{n\to+\infty} u_n = L$) si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite converge vers $L$.
Définition — Limite infinie (divergence vers l'infini).
• $\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ signifie que pour tout réel $M$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$ on a $u_n \gt M$.
• $\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty$ signifie que pour tout réel $m$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$ on a $u_n \lt m$.
• $\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ signifie que pour tout réel $M$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$ on a $u_n \gt M$.
• $\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty$ signifie que pour tout réel $m$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$ on a $u_n \lt m$.
Attention ! Une suite qui oscille sans se rapprocher d'aucune valeur est divergente mais n'a pas de limite infinie. Par exemple $u_n = (-1)^n$ oscille entre $-1$ et $1$ : elle diverge sans avoir de limite.
Exemple. $u_n = \dfrac{1}{n}$ : la suite converge vers $0$. $\quad v_n = n^2$ : la suite tend vers $+\infty$.
Caption : La suite $u_n = 1/n$ se rapproche de $0$ sans jamais l'atteindre — elle converge vers $0$.
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Suites classiques et leurs limites
Le programme impose de connaître les limites des suites de référence suivantes.
| Suite | Condition | Limite |
|---|---|---|
| $n^\alpha$ ($\alpha \gt 0$) | $\alpha \gt 0$ | $+\infty$ |
| $\dfrac{1}{n^\alpha}$ | $\alpha \gt 0$ | $0$ |
| $q^n$ | $|q| \lt 1$ | $0$ |
| $q^n$ | $q \gt 1$ | $+\infty$ |
| $q^n$ | $q = 1$ | $1$ |
| $q^n$ | $q \leq -1$ | pas de limite |
| $\sqrt{n}$ | — | $+\infty$ |
Astuce — Croissances comparées. Pour $\alpha \gt 0$ et $q \gt 1$ :
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{n^\alpha}{q^n} = 0$$ Les suites géométriques de raison $\gt 1$ l'emportent sur toutes les suites polynomiales.
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{n^\alpha}{q^n} = 0$$ Les suites géométriques de raison $\gt 1$ l'emportent sur toutes les suites polynomiales.
Exemple. $\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^3}{1{,}01^n} = 0$, car $q = 1{,}01 \gt 1$.
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Opérations sur les limites
Quand les limites de $(u_n)$ et $(v_n)$ sont connues, on peut calculer la limite de leur somme, produit, quotient, à condition d'éviter les formes indéterminées.
| Opération | Résultat |
|---|---|
| $L + L'$ ($L, L' \in \mathbb{R}$) | $L + L'$ |
| $L + (+\infty)$ | $+\infty$ |
| $+\infty + (+\infty)$ | $+\infty$ |
| $L \times L'$ | $L \times L'$ |
| $L \times (+\infty)$ ($L \gt 0$) | $+\infty$ |
| $L \times (+\infty)$ ($L \lt 0$) | $-\infty$ |
| $\dfrac{L}{L'}$ ($L' \neq 0$) | $\dfrac{L}{L'}$ |
| $\dfrac{L}{0^+}$ | $+\infty$ (si $L \gt 0$) |
Attention — Formes indéterminées (FI) ! Les opérations suivantes ne donnent pas de résultat direct :
$+\infty - \infty$, $\quad 0 \times \infty$, $\quad \dfrac{\infty}{\infty}$, $\quad \dfrac{0}{0}$
Il faut lever la FI par une technique (factorisation, conjugué, etc.).
$+\infty - \infty$, $\quad 0 \times \infty$, $\quad \dfrac{\infty}{\infty}$, $\quad \dfrac{0}{0}$
Il faut lever la FI par une technique (factorisation, conjugué, etc.).
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Formes indéterminées — techniques de calcul
Face à une forme indéterminée, on choisit la technique adaptée.
Technique 1 — Factorisation par le terme dominant.
Pour une somme $P(n) + Q(n)$ ou un quotient $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$, on factorise par le terme qui tend le plus vite vers l'infini.
Pour une somme $P(n) + Q(n)$ ou un quotient $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$, on factorise par le terme qui tend le plus vite vers l'infini.
Exemple. $u_n = \dfrac{3n^2 - 5n + 1}{2n^2 + n}$. Forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. On factorise par $n^2$ :
$$u_n = \dfrac{n^2(3 - 5/n + 1/n^2)}{n^2(2 + 1/n)} = \dfrac{3 - 5/n + 1/n^2}{2 + 1/n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \dfrac{3}{2}$$
$$u_n = \dfrac{n^2(3 - 5/n + 1/n^2)}{n^2(2 + 1/n)} = \dfrac{3 - 5/n + 1/n^2}{2 + 1/n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \dfrac{3}{2}$$
Technique 2 — Expression conjuguée.
Pour des suites du type $\sqrt{n+a} - \sqrt{n+b}$, on multiplie par l'expression conjuguée.
Pour des suites du type $\sqrt{n+a} - \sqrt{n+b}$, on multiplie par l'expression conjuguée.
Exemple. $v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$. Forme $\infty - \infty$.
$$v_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$$
$$v_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$$
Astuce. Pour $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$ avec $P, Q$ polynômes, la limite est déterminée par le rapport des coefficients dominants.
Caption : La suite converge bien vers $3/2 = 1{,}5$, valeur atteinte asymptotiquement.
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Théorèmes de comparaison
Ces théorèmes permettent de conclure sur une limite sans calculer explicitement.
Théorème des gendarmes (ou d'encadrement).
Si pour tout $n$ assez grand : $a_n \leq u_n \leq b_n$, et si $\lim_{n\to+\infty} a_n = \lim_{n\to+\infty} b_n = L$ (réel), alors :
$$\lim_{n\to+\infty} u_n = L$$
Si pour tout $n$ assez grand : $a_n \leq u_n \leq b_n$, et si $\lim_{n\to+\infty} a_n = \lim_{n\to+\infty} b_n = L$ (réel), alors :
$$\lim_{n\to+\infty} u_n = L$$
Exemple. Montrons que $\lim \dfrac{\cos n}{n} = 0$.
On a $-1 \leq \cos n \leq 1$ donc $\dfrac{-1}{n} \leq \dfrac{\cos n}{n} \leq \dfrac{1}{n}$. Or $\dfrac{-1}{n} \to 0$ et $\dfrac{1}{n} \to 0$. Par le théorème des gendarmes : $\dfrac{\cos n}{n} \to 0$.
On a $-1 \leq \cos n \leq 1$ donc $\dfrac{-1}{n} \leq \dfrac{\cos n}{n} \leq \dfrac{1}{n}$. Or $\dfrac{-1}{n} \to 0$ et $\dfrac{1}{n} \to 0$. Par le théorème des gendarmes : $\dfrac{\cos n}{n} \to 0$.
Théorème de divergence par minoration.
Si $u_n \geq a_n$ pour tout $n$ assez grand et si $\lim a_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$.
Si $u_n \geq a_n$ pour tout $n$ assez grand et si $\lim a_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$.
Théorème des suites monotones bornées.
Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.
Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.
Attention ! Le théorème des gendarmes ne s'applique que si les deux suites encadrantes ont la même limite finie $L$. S'il encadrent $\pm\infty$, c'est le théorème de divergence qui s'applique.
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Suites géométriques : comportement asymptotique
Une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0 \neq 0$ s'écrit $u_n = u_0 \cdot q^n$. Son comportement dépend entièrement de $q$.
| Raison $q$ | Comportement de $u_n = u_0 q^n$ ($u_0 \gt 0$) |
|---|---|
| $q \gt 1$ | $u_n \to +\infty$ (croissance exponentielle) |
| $q = 1$ | Suite constante, $u_n = u_0$ |
| $0 \lt q \lt 1$ | $u_n \to 0$ (décroissance géométrique) |
| $q = 0$ | $u_n = 0$ pour $n \geq 1$ |
| $-1 \lt q \lt 0$ | $u_n \to 0$ (oscillations amorties) |
| $q = -1$ | $u_n$ oscille entre $u_0$ et $-u_0$, pas de limite |
| $q \lt -1$ | $|u_n| \to +\infty$ en oscillant, pas de limite |
Exemple — Modèle de croissance. Un capital de $1000$ € placé à $3\%$ annuel : $u_n = 1000 \times 1{,}03^n$. Comme $q = 1{,}03 \gt 1$, le capital tend vers $+\infty$.
Astuce. Pour comparer la vitesse de croissance : exponentielle $\gg$ polynomiale $\gg$ logarithmique. Autrement dit $n^k = o(q^n)$ pour tout $k \gt 0$ et $q \gt 1$.
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Suites récurrentes et point fixe
Une suite récurrente est définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. Pour étudier sa limite éventuelle, on cherche les points fixes de $f$.
Point fixe. $l$ est un point fixe de $f$ si $f(l) = l$. Si $(u_n)$ converge vers $L$ et si $f$ est continue, alors $L$ est un point fixe : $f(L) = L$.
Méthode. Soit $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$, $u_0 = 0$.
1. Points fixes : $l = \dfrac{1}{2}l + 3 \Rightarrow \dfrac{l}{2} = 3 \Rightarrow l = 6$.
2. On pose $v_n = u_n - 6$. Alors $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n$, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
3. $v_n = v_0 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = -6 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0$.
4. Donc $u_n \to 6$.
1. Points fixes : $l = \dfrac{1}{2}l + 3 \Rightarrow \dfrac{l}{2} = 3 \Rightarrow l = 6$.
2. On pose $v_n = u_n - 6$. Alors $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n$, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
3. $v_n = v_0 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = -6 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0$.
4. Donc $u_n \to 6$.
Attention ! Montrer que la limite si elle existe est un point fixe ne prouve pas que la suite converge. Il faut aussi montrer la convergence (par exemple avec le théorème des suites monotones bornées).
Astuce — représentation graphique. On peut étudier graphiquement la convergence d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ en traçant la courbe de $f$ et la droite $y = x$ : la suite converge si la « toile d'araignée » se resserre vers l'intersection.
En bref
- Une suite converge vers $L \in \mathbb{R}$ ou diverge (vers $\pm\infty$ ou sans limite).
- Limites de référence : $\frac{1}{n^\alpha} \to 0$, $q^n \to 0$ si $|q|<1$, $q^n \to +\infty$ si $q>1$.
- Formes indéterminées ($\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\infty/\infty$) : lever par factorisation ou conjugué.
- Théorème des gendarmes : $a_n \leq u_n \leq b_n$ et $a_n, b_n \to L$ $\Rightarrow$ $u_n \to L$.
- Toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge.
- Limite d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ : chercher les points fixes de $f$.
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