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Fiche de révision : continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Continuité en un point et sur un intervalle, opérations et image d’une suite convergente, théorème des valeurs intermédiaires et cas strictement monotone, balayage et dichotomie, suites uₙ₊₁ = f(uₙ) et point fixe.

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Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Fiche méthode

(Spécialité maths Terminale · Analyse · Limites et continuité)

La démarche pour une équation f(x) = k

1. Je justifie la continuité : fonctions de référence et opérations, ou « $f$ est dérivable, donc continue ».

2. J’étudie les variations (signe de $f'$ ) et je dresse le tableau avec les valeurs ou les limites aux bornes.

3. Sur chaque intervalle où $f$ est strictement monotone, je regarde si $k$ est entre les valeurs aux bornes : une solution, sinon aucune.

4. J’encadre la solution par balayage ou dichotomie, en vérifiant le signe de $f (x) - k$ aux deux bornes.

Le réflexe — « d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires » ne rapporte les points que si les trois hypothèses sont écrites : f continue, f strictement monotone, k compris entre les valeurs (ou strictement entre les limites) aux bornes.

Cas 1 · Continuité en un point de jonction

Réflexe — je calcule f(a), la limite à gauche et la limite à droite : continue si les trois sont égales.

Exemple. Questions types : « $f$ est-elle continue en $a$ ? », « Pour quelle valeur du paramètre $f$ est-elle continue ? ». Exemple : $f (x) = x^{2} + 1$ si $x < 2$ et $f (x) = 3 x - 1$ si $x ⩾ 2$ .

À gauche : pour $x < 2$ , $f (x) = x^{2} + 1$ (polynôme), donc $lim_{x \to 2, x < 2} f (x) = 4 + 1 = 5$ .

En $2$ et à droite : $f (2) = 3 \times 2 - 1 = 5$ , et $3 x - 1 \to 5$ .

Les trois nombres sont égaux : $f$ est continue en $2$ . Elle n’y est pas dérivable : le taux tend vers $4$ à gauche (dérivée de $x^{2} + 1$ en $2$ ) et vers $3$ à droite.

Attention — continue n’implique pas dérivable : |x| et √x en 0 sont continues, pas dérivables.

Cas 2 · Justifier la continuité

Réflexe — je décompose en fonctions de référence et je nomme l’opération (somme, produit, quotient à dénominateur non nul, composée).

Exemple. Questions types : « Justifier que $f$ est continue sur $I$ », « Déterminer la limite de $f (u_{n})$ ». Exemple : $f (x) = e^{x} \sqrt{x + 2}$ .

$x \mapsto x + 2$ est affine, continue sur $[- 2; + \infty [$ et à valeurs dans $[0; + \infty [$ , où la racine carrée est continue : par composée, $x \mapsto \sqrt{x + 2}$ est continue sur $[- 2; + \infty [$ .

L’exponentielle est continue sur $ℝ$ .

Par produit, $f$ est continue sur $[- 2; + \infty [$ .

Attention — racine : nombre sous la racine ≥ 0 ; logarithme : nombre > 0 ; quotient : dénominateur ≠ 0.

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Cas 3 · Existence d’une solution (TVI)

Réflexe — continuité sur [a ; b], valeurs f(a) et f(b), k entre les deux, puis « d’après le théorème des valeurs intermédiaires ».

Exemple. Questions types : « Montrer que l’équation $f (x) = k$ admet au moins une solution dans $[a; b]$ ». Exemple : $x^{3} + 2 x^{2} - 4 = 0$ sur $[1; 2]$ .

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 4$ est une fonction polynôme, donc continue sur $[1; 2]$ .

$f (1) = 1 + 2 - 4 = - 1$ et $f (2) = 8 + 8 - 4 = 12$ .

$0$ est compris entre $- 1$ et $12$ : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f (x) = 0$ admet au moins une solution dans $[1; 2]$ .

Attention — le TVI donne « au moins une » solution, ni sa valeur ni leur nombre.

Cas 4 · Unique solution, nombre de solutions

Réflexe — continue + strictement monotone + k entre les valeurs (ou strictement entre les limites) : une unique solution ; un morceau par flèche du tableau.

Exemple. Questions types : « Montrer que $f (x) = k$ admet une unique solution $α$ », « Combien de solutions… ? ». Exemple : $x^{5} + x = 1$ sur $ℝ$ .

$f (x) = x^{5} + x$ est dérivable sur $ℝ$ , donc continue, et $f' (x) = 5 x^{4} + 1 > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $ℝ$ .

Par somme, $lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ et $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .

$1$ est strictement compris entre $- \infty$ et $+ \infty$ : d’après le corollaire du TVI, l’équation $f (x) = 1$ admet une unique solution $α$ sur $ℝ$ .

Attention — sans « strictement », pas d’unicité ; une limite n’est jamais atteinte.

Cas 5 · Encadrer la solution

Réflexe — balayage au pas de 0,1 puis 0,01 ; dichotomie : on garde la moitié où le signe change, amplitude (b − a)/2ⁿ.

Exemple. Questions types : « Donner un encadrement de $α$ d’amplitude $10^{- 2}$ », « Que renvoie dicho(a, b, p) ? ». Exemple : la solution $α$ de $x^{5} + x = 1$ (cas 4).

Pas de $0, 1$ : $f (0, 7) \approx 0, 868 < 1$ et $f (0, 8) \approx 1, 128 > 1$ , donc $0, 7 < α < 0, 8$ .

Pas de $0, 01$ : $f (0, 75) \approx 0, 987 < 1$ et $f (0, 76) \approx 1, 014 > 1$ , donc $0, 75 < α < 0, 76$ .

Par dichotomie sur $[0; 1]$ , une amplitude d’au plus $10^{- 4}$ demande $14$ étapes : $2^{13} = 8 192 < 10 000 ⩽ 2^{14} = 16 384$ .

Attention — pour f(x) = k, on suit le signe de f(x) − k, pas celui de f(x).

Cas 6 · Limite d’une suite uₙ₊₁ = f(uₙ)

Réflexe — récurrence (encadrement + sens de variation), convergence monotone, puis f(ℓ) = ℓ avec f continue en ℓ.

Exemple. Questions types : « Montrer que $(u_{n})$ converge », « Déterminer sa limite ». Exemple : $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = \sqrt{u_{n}} + 2$ .

$f (x) = \sqrt{x} + 2$ est croissante sur $[0; + \infty [$ , avec $f (0) = 2$ et $f (4) = 4$ . Par récurrence, $0 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 4$ (initialisation : $u_{0} = 0$ , $u_{1} = 2$ ; hérédité : on applique $f$ , qui conserve l’ordre).

Croissante et majorée par $4$ , la suite converge vers un réel $ℓ$ de $[0; 4]$ .

$f$ est continue en $ℓ$ , donc $ℓ = \sqrt{ℓ} + 2$ . Avec $X = \sqrt{ℓ} ⩾ 0$ : $X^{2} - X - 2 = 0$ , soit $X = 2$ ou $X = - 1$ . Donc $X = 2$ et $ℓ = 4$ .

Attention — f(ℓ) = ℓ donne les candidats, pas la convergence.

Les pièges

Le TVI donne « au moins une » solution ; « une unique » exige la stricte monotonie.
« La courbe se trace sans lever le crayon » ne justifie pas la continuité : une phrase suffit, « f est dérivable, donc continue » ou « somme/produit/composée de fonctions continues ».
Aux bornes ouvertes, k doit être strictement entre les limites : une limite n’est pas atteinte.
Continue n’implique pas dérivable : |x| et √x en 0.
Pour f(x) = k, c’est le signe de f(x) − k qui change, pas celui de f(x).
f(ℓ) = ℓ ne prouve pas la convergence : on la démontre d’abord.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour étudier une équation f(x) = k, puis, pour chacun des six cas du cours, les questions types du bac et une réponse entièrement rédigée : continuité en un point de jonction, justification par les opérations, existence par le TVI, unicité avec la stricte monotonie, encadrement, limite d’une suite récurrente. Elle se termine par les pièges qui coûtent des points.

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