Ressources · Terminale · Spécialité Mathématiques

Formulaire : combinatoire et dénombrement

Principes additif et multiplicatif, k-uplets, factorielle et permutations, k-uplets d’éléments distincts, combinaisons, coefficients binomiaux, triangle de Pascal, mots et chemins.

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Terminale

Combinatoire et dénombrement

Fiche tableaux : les formules à connaître

(Spécialité maths Terminale)

Principes de comptage

Situation	Formule
$A$ et $B$ disjoints	$card (A \cup B) = card (A) + card (B)$
cas général	$card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B)$
complémentaire dans $E$	$card (\overset{―}{A}) = card (E) - card (A)$
produit cartésien	$card (A \times B) = card (A) \times card (B)$
choix en $p$ étapes	$n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{p}$

Exemple : $3$ entrées, $5$ plats et $2$ desserts donnent $3 \times 5 \times 2 = 30$ menus.

Choisir k objets parmi n : le bon modèle

Objet	Ordre	Répétitions	Nombre	Mots de l’énoncé
$k$ -uplet	oui	oui	$n^{k}$	code, avec remise
$k$ -uplet d’éléments distincts	oui	non	$\frac{n!}{(n - k)!}$	podium, rôles, sans remise
permutation ( $k = n$ )	oui	non	$n!$	ranger, anagramme
combinaison (partie)	non	non	$(\binom{n}{k})$	groupe, main, simultané
toutes les parties	—	—	$2^{n}$	sous-ensembles

Exemple : avec $6$ couleurs, un drapeau de $3$ bandes de couleurs distinctes : $6 \times 5 \times 4 = 120$ .

Factorielles

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
$n!$	1	1	2	6	24	120	720	5 040	40 320

$(n + 1)! = (n + 1) \times n!$ . Exemple : $\frac{11!}{9!} = 11 \times 10 = 110$ .

Coefficients binomiaux

Propriété	Formule
définition	$(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$
cas usuels	$(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1$ , $(\binom{n}{1}) = n$ , $(\binom{n}{2}) = \frac{n (n - 1)}{2}$
symétrie	$(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$
relation de Pascal	$(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n + 1}{k + 1})$
somme d’une ligne	$(\binom{n}{0}) + \dots + (\binom{n}{n}) = 2^{n}$

Exemple : $(\binom{25}{23}) = (\binom{25}{2}) = 300$ .

Triangle de Pascal

$n$ \ $k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

Chaque nombre est la somme de celui du dessus et de celui du dessus à gauche : $21 + 35 = 56$ .

Mots, chemins, tirages

Situation	Nombre
mots de $n$ lettres : $k$ lettres A, $n - k$ lettres B	$(\binom{n}{k})$
chemins de $(0; 0)$ à $(p; q)$ (droite / haut)	$(\binom{p + q}{q})$
tirage successif avec remise	$n^{k}$
tirage successif sans remise	$\frac{n!}{(n - k)!}$
tirage simultané	$(\binom{n}{k})$

Exemple : de $(0; 0)$ à $(4; 2)$ , $(\binom{6}{2}) = 15$ chemins.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

1 / 1

À propos de cette page

La fiche de révision du dénombrement en tableaux, pour le bac de spécialité maths : principes de comptage, choix du modèle selon l’ordre et les répétitions (nᵏ, n!/(n − k)!, n!, « k parmi n », 2ⁿ), table des factorielles, propriétés des coefficients binomiaux, triangle de Pascal jusqu’à la ligne 8, mots, chemins et tirages. Chaque tableau est suivi d’un exemple ; la fiche se télécharge en PDF.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Soutien scolaire à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs

$n$ \ $k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

$n$ \ $k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

$n$ \ $k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1