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Formulaire : forme trigonométrique et exponentielle

Rappels de trigonométrie et formules d’addition, argument et forme trigonométrique, ensemble 𝕌, notation e^(iθ) et forme exponentielle, formules de Moivre et d’Euler, linéarisation, racines n-ièmes de l’unité et équations zⁿ = a.

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Forme trigonométrique et exponentielle

Fiche tableaux : trigonométrie et calcul en forme exponentielle

(Maths expertes Terminale)

Valeurs remarquables

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$

Exemple : $\cos \frac{3 π}{4} = - \cos \frac{π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Angles associés

Angle	$- x$	$π - x$	$π + x$	$\frac{π}{2} - x$
cosinus	$\cos x$	$- \cos x$	$- \cos x$	$\sin x$
sinus	$- \sin x$	$\sin x$	$- \sin x$	$\cos x$

Exemple : $\sin \frac{5 π}{6} = \sin (π - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$ .

Formules d’addition et de duplication

Formule	Expression
$\cos (a \pm b)$	$\cos a \cos b \mp \sin a \sin b$
$\sin (a \pm b)$	$\sin a \cos b \pm \cos a \sin b$
$\cos (2 a)$	$\cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a$
$\sin (2 a)$	$2 \sin a \cos a$

Exemple : $\sin \frac{π}{12} = \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Calculer en forme exponentielle

Calcul ( $r, r' > 0$ )	Résultat
$e^{i θ}$	$\cos θ + i \sin θ$ , de module $1$
$r e^{i θ} \times r' e^{i θ'}$	$r r' e^{i (θ + θ')}$
$\frac{r e^{i θ}}{r' e^{i θ'}}$	$\frac{r}{r'} e^{i (θ - θ')}$
$\overset{―}{r e^{i θ}}$ ; $\frac{1}{r e^{i θ}}$	$r e^{- i θ}$ ; $\frac{1}{r} e^{- i θ}$
${(r e^{i θ})}^{n}$	$r^{n} e^{i n θ}$ (Moivre)
Valeurs	$e^{i π / 2} = i$ ; $e^{i π} = - 1$ ; $e^{- i π / 2} = - i$ ; $e^{2 i π} = 1$

Exemple : $2 e^{i π / 9} \times 3 e^{8 i π / 9} = 6 e^{i π} = - 6$ .

Euler et racines de l’unité

Outil	Formule
Euler	$\cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}$ ; $\sin θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i}$
Termes conjugués	$e^{i k x} + e^{- i k x} = 2 \cos (k x)$ ; $e^{i k x} - e^{- i k x} = 2 i \sin (k x)$
$𝕌_{n}$	$e^{2 i k π / n}$ , $k \in {0; \dots; n - 1}$ : $n$ éléments
$𝕌_{2}$ , $𝕌_{3}$ , $𝕌_{4}$	${1; - 1}$ ; ${1; j; j^{2}}$ avec $1 + j + j^{2} = 0$ ; ${1; i; - 1; - i}$

Exemple : $\cos^{2} x = \frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ , obtenu avec Euler.

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À propos de cette page

La fiche de révision de la forme trigonométrique et exponentielle, en tableaux : valeurs remarquables du cosinus et du sinus, angles associés, formules d’addition et de duplication, règles de calcul avec e^(iθ), formules d’Euler et racines n-ièmes de l’unité pour n = 2, 3, 4. Chaque tableau est suivi d’un exemple court.

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