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Fiche de révision : forme trigonométrique et exponentielle

Rappels de trigonométrie et formules d’addition, argument et forme trigonométrique, ensemble 𝕌, notation e^(iθ) et forme exponentielle, formules de Moivre et d’Euler, linéarisation, racines n-ièmes de l’unité et équations zⁿ = a.

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Forme trigonométrique et exponentielle

Fiche méthode

(Maths expertes Terminale · Nombres complexes · Point de vue géométrique)

La démarche pour calculer avec module et argument

1. Je repère l’opération : somme (forme algébrique), produit, quotient, puissance (forme exponentielle), puissance de cosinus (Euler), équation $z^{n} = a$ .

2. Je passe à la forme utile : module $r = | z |$ , puis l’angle qui a le bon cosinus et le bon sinus.

3. Je calcule : modules multipliés ou divisés, arguments ajoutés ou soustraits, puis mesure principale dans $] - π; π]$ .

4. Je contrôle : retour à la forme algébrique, valeur simple ( $x = 0$ ), ou remplacement dans l’équation.

Le réflexe — dans re^(iθ), r est strictement positif ; deux complexes non nuls sont égaux si et seulement s’ils ont le même module et des arguments égaux à 2π près.

Cas 1 · Valeur exacte par une formule d’addition

Réflexe — j’écris l’angle comme somme ou différence d’angles connus, je calcule le sinus ou le cosinus manquant avec cos² + sin² = 1 et le signe donné par l’intervalle.

Exemple. Questions types : « Calculer la valeur exacte de… », « En déduire $\cos (2 a)$ ». Exemple : $\cos a = - \frac{12}{37}$ avec $a \in] \frac{π}{2}; π [$ ; calculer $\cos (a + \frac{π}{3})$ .

$\sin^{2} a = 1 - \frac{144}{1 369} = \frac{1 225}{1 369}$ et $\sin a > 0$ sur $] \frac{π}{2}; π [$ : $\sin a = \frac{35}{37}$ .

$\cos (a + \frac{π}{3}) = \cos a \cos \frac{π}{3} - \sin a \sin \frac{π}{3}$ $= - \frac{12}{74} - \frac{35 \sqrt{3}}{74}$ .

Donc $\cos (a + \frac{π}{3}) = - \frac{12 + 35 \sqrt{3}}{74}$ .

Attention — cos(a + b) ≠ cos a + cos b, et le signe est « − » dans cos(a + b), « + » dans cos(a − b).

Cas 2 · Module et argument

Réflexe — r = √(a² + b²), puis cos θ = a/r et sin θ = b/r ; je place le point pour choisir le bon angle.

Exemple. Questions types : « Déterminer le module et un argument de… », « Écrire sous forme trigonométrique ». Exemple : $z = - \sqrt{3} - 3 i$ .

$| z | = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ .

$\cos θ = \frac{- \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = - \frac{1}{2}$ et $\sin θ = \frac{- 3}{2 \sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ : point dans le troisième quart.

Donc $a r g (z) = - \frac{2 π}{3} [2 π]$ et $z = 2 \sqrt{3} (\cos (- \frac{2 π}{3}) + i \sin (- \frac{2 π}{3}))$ .

Attention — le cosinus seul laisse deux angles opposés : c’est le signe du sinus qui tranche.

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Cas 3 · Produit, quotient en forme exponentielle

Réflexe — je mets chaque facteur sous la forme re^(iθ), je multiplie ou divise les modules, j’ajoute ou je soustrais les arguments.

Exemple. Questions types : « Écrire sous forme exponentielle », « En déduire un argument ». Exemple : $\frac{- 2 + 2 i}{\sqrt{3} - i}$ .

$- 2 + 2 i = 2 \sqrt{2} e^{3 i π / 4}$ et $\sqrt{3} - i = 2 e^{- i π / 6}$ .

$\frac{- 2 + 2 i}{\sqrt{3} - i} = \sqrt{2} e^{i (\frac{3 π}{4} + \frac{π}{6})}$ .

Donc le quotient vaut $\sqrt{2} e^{11 i π / 12}$ .

Attention — e^(iθ) + e^(iθ′) ≠ e^(i(θ + θ′)) : pour une somme, on revient à la forme algébrique.

Cas 4 · Puissance avec Moivre, linéarisation avec Euler

Réflexe — puissance : (re^(iθ))ⁿ = rⁿe^(inθ), puis mesure principale ; cosⁿx : Euler, binôme, regroupement, contrôle en x = 0.

Exemple. Questions types : « Calculer $(a + i b)^{n}$ », « Linéariser… puis intégrer ». Exemple : $(\sqrt{3} - i)^{6}$ .

$\sqrt{3} - i = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i) = 2 e^{- i π / 6}$ .

Par Moivre : $(\sqrt{3} - i)^{6} = 2^{6} e^{- 6 i π / 6} = 64 e^{- i π}$ .

Comme $e^{- i π} = - 1$ , le résultat est $- 64$ .

Attention — dans la formule d’Euler du sinus, le dénominateur 2i s’élève aussi à la puissance : (2i)³ = −8i.

Cas 5 · Résoudre zⁿ = a

Réflexe — a en forme exponentielle, z = re^(iθ), rⁿ = |a| et nθ = arg(a) + 2kπ, puis k de 0 à n − 1.

Exemple. Questions types : « Résoudre dans $ℂ$ », « Déterminer $𝕌_{n}$ ». Exemple : $z^{3} = - 27$ .

$- 27 = 27 e^{i π}$ ; avec $z = r e^{i θ}$ : $r^{3} = 27$ et $3 θ = π + 2 k π$ .

Donc $r = 3$ et $θ = \frac{π}{3} + \frac{2 k π}{3}$ , pour $k = 0, 1, 2$ .

Solutions : $3 e^{i π / 3}$ , $3 e^{i π} = - 3$ et $3 e^{5 i π / 3}$ .

Attention — il y a exactement n solutions ; aller jusqu’à k = n recompte la première.

Les pièges

−5e^(iπ/3) n’est pas une forme exponentielle : le module est strictement positif, on écrit 5e^(4iπ/3).
cos θ − i sin θ n’est pas une forme trigonométrique : c’est cos(−θ) + i sin(−θ).
Écrire arg(z) = arg(z′) sans « à 2π près » : π/4 et 9π/4 sont deux arguments du même nombre.
Le nombre 0 n’a pas d’argument : « soit θ un argument de z » suppose z ≠ 0.
|z| n’est pas la partie réelle : |−4 + 3i| = 5, pas −4.
Moivre ne distribue pas la puissance : (cos θ + i sin θ)ⁿ ≠ cosⁿθ + i sinⁿθ.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour calculer avec module et argument, puis une réponse rédigée pour chacun des cinq cas : valeur exacte par une formule d’addition, module et argument, quotient en forme exponentielle, puissance par Moivre, résolution de z³ = −27. Les formules à connaître sont dans la fiche tableaux.

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