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Formulaire : équations polynomiales

Rappels du second degré dans ℝ, équation du second degré à coefficients réels dans ℂ, factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a, factorisation d’un polynôme par z − α quand α est racine, équations de degré 3 et 4 dont une racine est connue, un polynôme de degré n a au plus n racines.

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Équations polynomiales

Fiche tableaux : formules à connaître

(Maths expertes Terminale)

Second degré à coefficients réels

Signe de $Δ = b^{2} - 4 a c$	Solutions dans $ℝ$	Solutions dans $ℂ$
$Δ > 0$	$\frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$	les mêmes
$Δ = 0$	$- \frac{b}{2 a}$	la même
$Δ < 0$	aucune	$\frac{- b \pm i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ , conjuguées

Dans tous les cas : $z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}$ , $z_{1} z_{2} = \frac{c}{a}$ . Exemple : $z^{2} + 2 z + 10 = 0$ donne $z = - 1 \pm 3 i$ .

Factorisations de zⁿ − aⁿ

$n$	Factorisation
$2$	$z^{2} - a^{2} = (z - a) (z + a)$
$3$	$z^{3} - a^{3} = (z - a) (z^{2} + a z + a^{2})$
$4$	$z^{4} - a^{4} = (z - a) (z^{3} + a z^{2} + a^{2} z + a^{3})$
$n$	$z^{n} - a^{n} = (z - a) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} z^{n - 1 - k}$
somme de cubes	$z^{3} + a^{3} = (z + a) (z^{2} - a z + a^{2})$

Avec $a = 1$ : $1 + z + \dots + z^{n - 1} = \frac{z^{n} - 1}{z - 1}$ pour $z \neq 1$ .

Factoriser avec une racine connue

Racine connue	Forme à identifier
$α$ ( $P$ de degré 3, unitaire)	$(z - α) (z^{2} + b z + c)$ $= z^{3} + (b - α) z^{2} + (c - α b) z - α c$
$α$ non réel, coefficients réels	$(z - α) (z - \overset{―}{α}) = z^{2} - 2 R e (α) z + \| α \|^{2}$
$i y$ imaginaire pur	$R e (P (i y)) = 0$ et $I m (P (i y)) = 0$

Exemple : pour $α = 5 + i$ , le facteur réel est $z^{2} - 10 z + 26$ .

Nombre de racines

Situation	Conclusion
$P$ de degré $n$	au plus $n$ racines distinctes
$\deg P ⩽ n$ et $n + 1$ racines	$P$ est le polynôme nul
$\deg A, \deg B ⩽ n$ , égaux en $n + 1$ nombres	$A = B$ (mêmes coefficients)
coefficients réels, degré impair	au moins une racine réelle

Exemple : $(z - 2)^{2} (z + 5)$ est de degré $3$ mais n’a que deux racines, $2$ et $- 5$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision des équations polynomiales en tableaux : solutions du second degré selon le signe de Δ dans ℝ et dans ℂ, factorisations de zⁿ − aⁿ pour n = 2, 3, 4 et n quelconque, formes à identifier quand une racine est connue, et conséquences du théorème « au plus n racines ».

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