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Fiche de révision : équations polynomiales

Rappels du second degré dans ℝ, équation du second degré à coefficients réels dans ℂ, factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a, factorisation d’un polynôme par z − α quand α est racine, équations de degré 3 et 4 dont une racine est connue, un polynôme de degré n a au plus n racines.

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Équations polynomiales

Fiche méthode

(Maths expertes Terminale · Nombres complexes · Équations polynomiales)

La démarche pour résoudre une équation polynomiale

1. Je regarde le degré et la forme : second degré, $z^{n} = a^{n}$ , bicarrée, racine donnée ou à deviner.

2. Je factorise pour me ramener au second degré : $z^{n} - a^{n}$ , facteur $z - α$ , facteur $z^{2} - 2 R e (α) z + | α |^{2}$ , identification.

3. Je résous chaque facteur du second degré avec $Δ$ (deux solutions conjuguées si $Δ < 0$ ).

4. Je rassemble et je compte : toutes les racines, sans perdre la racine de départ, au plus $n$ pour un degré $n$ ; je contrôle avec le produit ou la somme.

Le réflexe — un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : factoriser, c’est découper l’équation en équations plus simples.

Cas 1 · Second degré dans ℝ (rappels de 1re)

Réflexe — je teste 1 et −1, sinon je calcule Δ ; je factorise par a(x − x₁)(x − x₂) en gardant a devant.

Exemple. Questions types : « Résoudre dans ℝ », « Factoriser ». Exemple : $2 x^{2} + x - 6 = 0$ .

$Δ = 1 + 48 = 49$ , donc $x_{1} = \frac{- 1 - 7}{4} = - 2$ et $x_{2} = \frac{- 1 + 7}{4} = \frac{3}{2}$ .

Factorisation : $2 x^{2} + x - 6 = (x + 2) (2 x - 3)$ .

Contrôle : produit $- 2 \times \frac{3}{2} = - 3 = \frac{c}{a}$ .

Attention — (−b)² est positif ; et on n’oublie pas le coefficient a dans la factorisation.

Cas 2 · Second degré dans ℂ

Réflexe — Δ < 0 : j’écris Δ = (i√(−Δ))², puis z = (−b ± i√(−Δ))/(2a), et je contrôle par le produit c/a.

Exemple. Questions types : « Résoudre dans ℂ », « Donner une équation dont … est solution ». Exemple : $3 z^{2} - 6 z + 4 = 0$ .

$Δ = 36 - 48 = - 12 = {(2 i \sqrt{3})}^{2}$ .

$z = \frac{6 \pm 2 i \sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} i$ .

Contrôle : $1 + \frac{3}{9} = \frac{4}{3} = \frac{c}{a}$ .

Attention — on n’écrit pas √−12 ; et 2a divise aussi la partie imaginaire.

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Cas 3 · Résoudre zⁿ = aⁿ

Réflexe — j’écris la constante comme une puissance n-ième, je factorise zⁿ − aⁿ par z − a, puis je résous le second facteur.

Exemple. Questions types : « Factoriser $z^{n} - a^{n}$ », « Résoudre $z^{3} = \dots$ ». Exemple : $z^{3} = 216$ .

$216 = 6^{3}$ , donc $z^{3} - 216 = (z - 6) (z^{2} + 6 z + 36)$ .

$z^{2} + 6 z + 36 = 0$ : $Δ = 36 - 144 = - 108 = {(6 i \sqrt{3})}^{2}$ , d’où $z = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$ .

$𝒮 = {6; - 3 + 3 i \sqrt{3}; - 3 - 3 i \sqrt{3}}$ .

Attention — z³ − a³ n’est pas (z − a)³ ; pour z³ + a³, on écrit a³ = −(−a)³.

Cas 4 · Degré 3 avec une racine connue

Réflexe — je vérifie P(α) = 0, j’écris P(z) = (z − α)(z² + bz + c), je développe et j’identifie, la dernière équation sert de vérification.

Exemple. Questions types : « Vérifier que … est racine », « Factoriser », « Résoudre ». Exemple : $P (z) = z^{3} + z^{2} - 2$ .

$P (1) = 1 + 1 - 2 = 0$ . Pour tout $z$ , $(z - 1) (z^{2} + b z + c)$ $= z^{3} + (b - 1) z^{2} + (c - b) z - c$ .

$b - 1 = 1$ , donc $b = 2$ ; $c - b = 0$ , donc $c = 2$ ; vérification : $- c = - 2$ .

$z^{2} + 2 z + 2 = 0$ : $Δ = - 4 = (2 i)^{2}$ , $z = - 1 \pm i$ . $𝒮 = {1; - 1 + i; - 1 - i}$ .

Attention — la racine α fait partie des solutions : ne pas la perdre après la factorisation.

Cas 5 · Compter les racines

Réflexe — degré au plus n et n + 1 racines : polynôme nul ; deux polynômes de degré au plus n égaux en n + 1 nombres : égaux.

Exemple. Questions types : « Montrer que $P$ est nul », « Montrer que $A = B$ », « A-t-on toutes les solutions ? ». Exemple : $B$ de degré au plus $2$ avec $B (0) = 1$ , $B (1) = 3$ , $B (- 1) = 1$ .

$A (z) = z^{2} + z + 1$ vérifie $A (0) = 1$ , $A (1) = 3$ et $A (- 1) = 1$ .

$A - B$ est de degré au plus $2$ et s’annule en trois nombres distincts : c’est le polynôme nul.

Donc $B (z) = z^{2} + z + 1$ pour tout $z$ .

Attention — « au plus n » racines, pas « exactement n » : une racine double compte pour une solution.

Les pièges

« Δ < 0, donc pas de solution » : vrai dans ℝ, faux dans ℂ.
√−16 n’a pas de sens : on écrit −16 = (4i)².
z³ − 1 000 ≠ (z − 10)³ : z³ − 1 000 = (z − 10)(z² + 10z + 100).
Racines conjuguées : seulement si les coefficients sont réels.
Après la factorisation par z − α, l’ensemble des solutions contient α.
Degré n : au plus n racines, pas forcément n racines distinctes.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour résoudre une équation polynomiale, puis une réponse rédigée pour chacun des cinq cas : second degré dans ℝ, second degré dans ℂ, équation z³ = a³, degré 3 avec une racine connue et identification des coefficients, compter les racines pour prouver qu’un polynôme est nul.

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