Formulaire : fonction logarithme népérien

Rappels sur l’exponentielle, ln réciproque de exp, propriétés algébriques, dérivée, variations, limites et courbe, équations et inéquations, seuils avec ln(qⁿ) = n ln q.

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Fonction logarithme népérien

Fiche tableaux : les propriétés à connaître

(Maths complémentaires Terminale)

Définition et valeurs à connaître

Pour $x > 0$ , $y$ réel	$\ln 1$	$\ln e$	$e^{\ln x}$	$\ln (e^{y})$
$y = \ln x ⟺ x = e^{y}$	$0$	$1$	$x$	$y$

Exemple : $\ln (e^{- 0, 7}) = - 0, 7$ et $e^{x} = 2, 5 ⟺ x = \ln 2, 5$ .

Rappels : l’exponentielle

Signe	Produit	Inverse	Puissance	Comparaison
$e^{x} > 0$	$e^{a + b} = e^{a} e^{b}$	$e^{- a} = \frac{1}{e^{a}}$	${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$	$e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$

Exemple : $e^{2 x} \times e^{3 - x} = e^{x + 3}$ .

Propriétés algébriques ( $a > 0$ , $b > 0$ , $n$ entier)

Produit	Inverse	Quotient	Puissance	Racine
$\ln (a b) = \ln a + \ln b$	$\ln \frac{1}{a} = - \ln a$	$\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$	$\ln (a^{n}) = n \ln a$	$\ln \sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a$

Exemple : $\ln 75 = \ln (3 \times 5^{2}) = \ln 3 + 2 \ln 5$ .

Dérivée, variations, limites

Dérivée	Variations	Signe	En $0^{+}$	En $+ \infty$
$(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$	strictement croissante	$\ln x < 0 ⟺ 0 < x < 1$	$- \infty$	$+ \infty$

Tangente en $1$ : $y = x - 1$ , et $\ln x ⩽ x - 1$ . Exemple : ${(5 \ln x)}^{'} = \frac{5}{x}$ .

Équations et inéquations

Écriture	Équivalent	Condition
$\ln u = \ln v$ ; $\ln u < \ln v$	$u = v$ ; $u < v$	$u > 0$ , $v > 0$
$\ln u = k$ ; $\ln u < k$	$u = e^{k}$ ; $0 < u < e^{k}$	aucune sur $k$
$e^{u} = k$ ; $e^{u} < k$	$u = \ln k$ ; $u < \ln k$	$k > 0$

Exemple : $\ln (x + 2) < 1 ⟺ 0 < x + 2 < e ⟺ - 2 < x < e - 2$ .

Seuils avec $\ln (q^{n}) = n \ln q$

Cas	Signe de $\ln q$	$q^{n} > s$	$q^{n} < s$
$q > 1$	positif	$n > \frac{\ln s}{\ln q}$	$n < \frac{\ln s}{\ln q}$
$0 < q < 1$	négatif	$n < \frac{\ln s}{\ln q}$	$n > \frac{\ln s}{\ln q}$

Doublement à $t %$ : $n ⩾ \frac{\ln 2}{\ln (1 + \frac{t}{100})}$ . Demi-vie de $e^{- λ t}$ : $\frac{\ln 2}{λ}$ . Exemple : $0, 4^{n} < 0, 01$ dès que $n > \frac{\ln 0, 01}{\ln 0, 4} \approx 5, 03$ , soit $n ⩾ 6$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision du logarithme népérien en tableaux : définition et valeurs (ln 1, ln e, e^(ln x)), rappels sur l’exponentielle, propriétés algébriques, dérivée, variations et limites, équivalences pour les équations et inéquations, seuils selon le signe de ln q, doublement et demi-vie. Chaque tableau est suivi d’un exemple court.

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