Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Fiche de révision : fonction logarithme népérien

Rappels sur l’exponentielle, ln réciproque de exp, propriétés algébriques, dérivée, variations, limites et courbe, équations et inéquations, seuils avec ln(qⁿ) = n ln q.

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Fonction logarithme népérien

Fiche méthode

(Maths complémentaires Terminale · Analyse · Fonctions)

La démarche face à une question avec ln ou exp

1. Je repère où est l’inconnue : en exposant (j’appliquerai $\ln$ ), sous un $\ln$ (j’appliquerai $\exp$ ), dans une puissance $q^{n}$ (seuil), ou dans une fonction à étudier.

2. J’écris les conditions : tout ce qui est sous un $\ln$ doit être strictement positif.

3. Je transforme avec les propriétés algébriques pour obtenir $\ln A = \ln B$ , $\ln A = k$ ou $e^{A} = k$ .

4. Je conclus en citant la stricte croissance de $\ln$ ou de $\exp$ , je trie les solutions et je donne l’arrondi demandé.

Le réflexe — chaque équivalence se justifie par une propriété nommée (« ln est strictement croissante », « ln(ab) = ln a + ln b ») : un résultat juste sans justification ne rapporte pas tous les points.

Cas 1 · Comparer deux exponentielles

Réflexe — un seul eᴬ de chaque côté, puis A = B ou A < B ; eˣ > 0 ne change aucun signe.

Exemple. Questions types : « Résoudre $e^{A} ⩽ e^{B}$ », « Simplifier ». Exemple : résoudre $e^{x^{2} + 1} > e^{2 x + 4}$ .

La fonction exponentielle est strictement croissante : $e^{x^{2} + 1} > e^{2 x + 4} ⟺ x^{2} + 1 > 2 x + 4$ .

$x^{2} - 2 x - 3 > 0 ⟺ (x - 3) (x + 1) > 0$ .

Un trinôme est positif à l’extérieur de ses racines : $𝒮 =] - \infty; - 1 [\cup] 3; + \infty [$ .

Attention — e^(a+b) n’est pas eᵃ + eᵇ ; e^(2x) = (eˣ)², pas 2eˣ.

Cas 2 · Passer de l’exponentielle au logarithme

Réflexe — e^A = k avec k > 0 donne A = ln k ; ln A = k donne A = eᵏ.

Exemple. Questions types : « Résoudre $e^{a x + b} = k$ », « Valeur exacte, puis approchée ». Exemple : résoudre $e^{3 x - 1} = 8$ .

$8 > 0$ , donc $e^{3 x - 1} = 8 ⟺ 3 x - 1 = \ln 8$ .

$x = \frac{1 + \ln 8}{3} = \frac{1 + 3 \ln 2}{3}$ .

Valeur approchée : $x \approx 1, 026$ . $𝒮 = {\frac{1 + 3 \ln 2}{3}}$ .

Attention — si k ≤ 0, eᴬ = k n’a pas de solution : ln k n’existe pas.

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Cas 3 · Transformer une écriture

Réflexe — facteurs premiers, puis produit → somme, quotient → différence, puissance → coefficient.

Exemple. Questions types : « Exprimer en fonction de $\ln 2$ », « Écrire sous la forme $\ln k$ ». Exemple : $A = \ln 24 - \ln 3 + \frac{1}{2} \ln 4$ .

$\ln 24 - \ln 3 = \ln \frac{24}{3} = \ln 8 = 3 \ln 2$ .

$\frac{1}{2} \ln 4 = \ln \sqrt{4} = \ln 2$ .

Donc $A = 3 \ln 2 + \ln 2 = 4 \ln 2$ (soit $\ln 16$ ).

Attention — aucune formule pour ln(a + b) ; ln(x²) = 2 ln x seulement si x > 0.

Cas 4 · Étudier une fonction avec ln

Réflexe — domaine, dérivée avec 1/x au même dénominateur, signe du numérateur, tableau avec limites.

Exemple. Questions types : « Calculer $f' (x)$ », « Dresser le tableau de variations », « En déduire le minimum ». Exemple : $f (x) = x^{2} - 2 \ln x$ sur $] 0; + \infty [$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{2}{x} = \frac{2 (x^{2} - 1)}{x} = \frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x}$ .

Sur $] 0; + \infty [$ , $x > 0$ et $x + 1 > 0$ : $f' (x)$ a le signe de $x - 1$ .

$f$ décroît sur $] 0; 1]$ , croît sur $[1; + \infty [$ ; minimum $f (1) = 1$ . En $0^{+}$ , $- 2 \ln x \to + \infty$ , donc $f (x) \to + \infty$ .

Attention — « ln 0 = −∞ » ne s’écrit pas : on parle de limite en 0⁺.

Cas 5 · Résoudre une équation ou une inéquation

Réflexe — conditions, puis ln A = ln B ou ln A = k, résolution, tri des solutions.

Exemple. Questions types : « Résoudre dans $ℝ$ » avec une somme de logarithmes. Exemple : $\ln (x + 1) + \ln (x - 1) = \ln 8$ .

Conditions : $x + 1 > 0$ et $x - 1 > 0$ , soit $x > 1$ .

Sur $] 1; + \infty [$ : $\ln ((x + 1) (x - 1)) = \ln 8 ⟺ x^{2} - 1 = 8 ⟺ x^{2} = 9$ .

$x = 3$ ou $x = - 3$ ; seul $3$ vérifie $x > 1$ . $𝒮 = {3}$ .

Attention — ln u < k donne 0 < u < eᵏ : ne pas oublier u > 0.

Cas 6 · Déterminer un seuil

Réflexe — isoler qⁿ, appliquer ln, diviser par ln q selon son signe, prendre le plus petit entier, contrôler.

Exemple. Questions types : « À partir de quel rang… », « Au bout de combien d’années… ». Exemple : plus petit $n$ tel que $1, 12^{n} > 4$ .

$\ln$ est strictement croissante : $1, 12^{n} > 4 ⟺ n \ln 1, 12 > \ln 4$ .

$\ln 1, 12 > 0$ (car $1, 12 > 1$ ) : $n > \frac{\ln 4}{\ln 1, 12} \approx 12, 23$ .

Donc $n = 13$ . Contrôle : $1, 12^{12} \approx 3, 90$ et $1, 12^{13} \approx 4, 36$ .

Attention — si 0 < q < 1, ln q < 0 : le sens de l’inégalité change.

Les pièges

ln x n’existe que pour x > 0, mais ln x peut être négatif (pour 0 < x < 1).
Une somme de logarithmes est le logarithme d’un produit, jamais celui d’une somme.
eˣ = −2 n’a pas de solution : on n’écrit jamais ln(−2).
ln u < k impose aussi u > 0 : l’ensemble des solutions est borné à gauche.
Diviser par ln q avec 0 < q < 1 change le sens de l’inégalité.
Un seuil se donne par un entier : n > 14,2 donne n = 15, et on contrôle les rangs 14 et 15.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une question avec ln ou exp, puis, pour chacun des six cas du cours, les questions types et une réponse rédigée : comparer deux exponentielles, passer de exp à ln, transformer une écriture, étudier une fonction, résoudre une équation, déterminer un seuil. Elle se termine par les pièges qui coûtent des points.

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