Formulaire : dérivation

Rappels de 1re (dérivées usuelles, produit, quotient, tangente), dérivées de x ↦ f(ax + b), de u², de eᵘ et de ln u, signe de la dérivée, tableau de variations et extremums.

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benprofparticulier.frMaths complémentaires (option Tle) · Terminale

Dérivation : approfondissement

Fiche tableaux : les dérivées à connaître

(Maths complémentaires Terminale)

Dérivées usuelles

$f (x)$	$f' (x)$	Valable sur
$k$	$0$	$ℝ$
$x^{n}$ ( $n ⩾ 1$ )	$n x^{n - 1}$	$ℝ$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x^{2}}$	$] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$	$] 0; + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$ℝ$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$] 0; + \infty [$

Exemple : sur $] 0; + \infty [$ , ${(x^{5} - 4 \sqrt{x})}^{'}$ $= 5 x^{4} - \frac{2}{\sqrt{x}}$ .

Opérations

Fonction	Dérivée	Condition
$u + v$	$u' + v'$	—
$k u$	$k u'$	$k$ réel
$u v$	$u' v + u v'$	—
$\frac{1}{v}$	$- \frac{v'}{v^{2}}$	$v \neq 0$
$\frac{u}{v}$	$\frac{u' v - u v'}{v^{2}}$	$v \neq 0$

Exemple : $(x e^{x})^{'}$ $= 1 \times e^{x} + x e^{x}$ $= (1 + x) e^{x}$ .

Formes composées de Terminale

Fonction	Dérivée	Condition
$f (a x + b)$	$a f' (a x + b)$	$a x + b$ dans l’intervalle où $f$ est dérivable
$e^{a x + b}$	$a e^{a x + b}$	—
$\sqrt{a x + b}$	$\frac{a}{2 \sqrt{a x + b}}$	$a x + b > 0$
$u^{2}$	$2 u' u$	—
$e^{u}$	$u' e^{u}$	—
$\ln u$	$\frac{u'}{u}$	$u > 0$

Exemples : $(e^{- 4 x})^{'} = - 4 e^{- 4 x}$ ; ${(\ln (x^{2} + 2))}^{'}$ $= \frac{2 x}{x^{2} + 2}$ .

Du signe de f′ aux variations

Sur un intervalle $I$ …	alors…
$f' (x) > 0$ (sauf en des points isolés)	$f$ strictement croissante sur $I$
$f' (x) < 0$ (sauf en des points isolés)	$f$ strictement décroissante sur $I$
$f' (x) = 0$ pour tout $x$	$f$ constante sur $I$
$f'$ s’annule en $a$ et passe de $+$ à $-$	maximum local en $a$
$f'$ s’annule en $a$ et passe de $-$ à $+$	minimum local en $a$

Exemple : si $f' (x) = (x - 4) e^{x}$ , $f$ décroît sur $] - \infty; 4]$ et croît sur $[4; + \infty [$ : minimum en $4$ .

Facteurs de signe connu

Facteur	Signe
$e^{u (x)}$	toujours $> 0$
$(u (x))^{2}$	$⩾ 0$ , nul là où $u (x) = 0$
$x$ sur $] 0; + \infty [$	$> 0$
$\ln x$	$< 0$ sur $] 0; 1 [$ , $> 0$ sur $] 1; + \infty [$
$a x^{2} + b x + c$ avec $Δ < 0$	signe de $a$

Exemple : $\frac{x^{2} + 1}{x} e^{- x}$ est strictement positif sur $] 0; + \infty [$ : tous ses facteurs le sont.

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À propos de cette page

La fiche de révision de la dérivation en tableaux : dérivées usuelles jusqu’à ln x, opérations (produit, inverse, quotient), formes composées de Terminale (f(ax + b), e^(ax + b), √(ax + b), u², eᵘ, ln u) avec leurs conditions, passage du signe de f′ aux variations et facteurs dont le signe est connu d’avance. Elle se télécharge en PDF.

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