Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Fiche de révision : dérivation, approfondissement

Rappels de 1re (dérivées usuelles, produit, quotient, tangente), dérivées de x ↦ f(ax + b), de u², de eᵘ et de ln u, signe de la dérivée, tableau de variations et extremums.

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Dérivation : approfondissement

Fiche méthode

(Maths complémentaires Terminale · Fonctions)

La démarche pour dériver et étudier une fonction

1. Je fixe l’intervalle : condition $u (x) > 0$ pour $\ln u$ , dénominateur non nul, racine carrée.

2. Je reconnais la forme : produit, quotient, $f (a x + b)$ , $u^{2}$ , $e^{u}$ , $\ln u$ ; j’écris $u$ et $u'$ .

3. Je dérive puis je factorise : la forme factorisée sert au signe.

4. Je conclus : signe de $f' (x)$ , flèches, valeurs exactes, en citant le théorème (« $f' (x) > 0$ sur l’intervalle, donc $f$ y est strictement croissante »).

Le réflexe — une dérivée juste sur un mauvais intervalle, ou un tableau dont le signe n’est pas justifié, ne rapporte pas tous les points.

Cas 1 · Produit, quotient, tangente

Réflexe — je reconnais la structure, j’écris u, v, u′, v′ ; tangente : y = f′(a)(x − a) + f(a).

Exemple. Questions types : « Calculer $f' (x)$ », « Déterminer une équation de la tangente au point d’abscisse $a$ ». Exemple : $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ sur $ℝ$ , tangente en $0$ .

Quotient avec $u (x) = x$ , $u' (x) = 1$ , $v (x) = x^{2} + 1 > 0$ , $v' (x) = 2 x$ .

$f' (x)$ $= \frac{1 \times (x^{2} + 1) - x \times 2 x}{(x^{2} + 1)^{2}}$ $= \frac{1 - x^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}}$ .

$f (0) = 0$ et $f' (0) = 1$ : la tangente en $0$ a pour équation $y = 1 \times (x - 0) + 0$ , soit $y = x$ .

Attention — (uv)′ ≠ u′v′ ; au numérateur du quotient : u′v − uv′, dans cet ordre.

Cas 2 · Dériver f(ax + b)

Réflexe — dérivée de l’extérieur, intérieur recopié, multipliée par a.

Exemple. Questions types : « Dériver $e^{a x + b}$ , $(a x + b)^{n}$ , $\sqrt{a x + b}$ ». Exemple : $f (x) = (1 - 3 x)^{5}$ et $g (x) = e^{0, 5 x + 2}$ .

$f$ : extérieur $x \mapsto x^{5}$ , de dérivée $5 x^{4}$ , et $a = - 3$ : $f' (x)$ $= - 3 \times 5 (1 - 3 x)^{4}$ $= - 15 (1 - 3 x)^{4}$ .

$g$ : exponentielle et $a = 0, 5$ : $g' (x) = 0, 5 e^{0, 5 x + 2}$ .

Attention — oublier le facteur a, ou son signe quand a est négatif.

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Cas 3 · Dériver u² et eᵘ

Réflexe — j’écris u et u′ ; (u²)′ = 2u′u, (eᵘ)′ = u′eᵘ ; eᵘ > 0 ne compte pas dans le signe.

Exemple. Questions types : « Calculer $f' (x)$ en précisant $u$ », « Étudier le sens de variation ». Exemple : $h (x) = e^{x^{3}}$ et $k (x) = (2 x + e^{x})^{2}$ .

$h$ : $u (x) = x^{3}$ , $u' (x) = 3 x^{2}$ , donc $h' (x) = 3 x^{2} e^{x^{3}}$ . Ce produit est positif et ne s’annule qu’en $0$ : $h$ est strictement croissante sur $ℝ$ .

$k$ : $u (x) = 2 x + e^{x}$ , $u' (x) = 2 + e^{x}$ , donc $k' (x) = 2 (2 + e^{x}) (2 x + e^{x})$ .

Attention — jamais de dérivation « dans » l’exposant ; (u²)′ n’est pas 2u.

Cas 4 · Dériver ln u

Réflexe — condition u(x) > 0 d’abord, puis u′, puis u′/u ; le signe est celui de u′.

Exemple. Questions types : « Déterminer l’ensemble de définition », « Calculer $f' (x)$ ». Exemple : $f (x) = \ln (8 - 4 x)$ .

$8 - 4 x > 0 ⟺ x < 2$ : $f$ est définie et dérivable sur $] - \infty; 2 [$ .

$u' (x) = - 4$ , donc $f' (x)$ $= \frac{- 4}{8 - 4 x}$ $= - \frac{1}{2 - x}$ .

Sur $] - \infty; 2 [$ , $2 - x > 0$ , donc $f' (x) < 0$ : $f$ est strictement décroissante.

Attention — (ln u)′ = u′/u, pas 1/u ; aucun calcul là où u(x) ≤ 0.

Cas 5 · Tableau de variations

Réflexe — f′ factorisée, facteurs de signe connu écartés, tableau de signes, flèches, valeurs exactes.

Exemple. Questions types : « Étudier le signe de $f' (x)$ et dresser le tableau de variations », « En déduire les extremums ». Exemple : $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}$ sur $ℝ$ .

$f' (x)$ $= 2 x e^{x} + (x^{2} - 3) e^{x}$ $= (x^{2} + 2 x - 3) e^{x}$ $= (x + 3) (x - 1) e^{x}$ .

$e^{x} > 0$ : $f' (x)$ a le signe du trinôme, positif à l’extérieur des racines $- 3$ et $1$ , négatif entre elles.

$f$ croît sur $] - \infty; - 3]$ , décroît sur $[- 3; 1]$ , croît sur $[1; + \infty [$ : maximum local $f (- 3) = 6 e^{- 3} \approx 0, 30$ , minimum local $f (1) = - 2 e \approx - 5, 44$ .

Attention — f′(a) = 0 sans changement de signe ne donne pas d’extremum.

Les pièges

Facteur oublié : la dérivée de e^(ax + b) est a·e^(ax + b), avec le signe de a.
On ne dérive pas dans l’exposant : la dérivée de eᵘ est u′eᵘ, jamais e^(u′).
(u²)′ = 2u′u : pour (1 − x)², le facteur u′ = −1 change le signe.
(ln u)′ = u′/u, pas 1/u, et seulement là où u(x) > 0.
f′(a) = 0 ne prouve pas un extremum : il faut un changement de signe de f′.
Les variations se concluent sur un intervalle ; sur [a ; b], le maximum peut être atteint à une borne.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour dériver et étudier une fonction, puis, pour chacun des cinq cas du cours, les questions types et une réponse rédigée : produit, quotient et tangente, f(ax + b), u² et eᵘ, ln u avec son domaine, tableau de variations d’une fonction comme (x² − 3)eˣ. Les formules à connaître sont regroupées dans la fiche tableaux.

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