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Nombres relatifs : comparer et ranger
Comparer deux nombres relatifs (signes contraires, avec 0, deux positifs, deux négatifs, décimaux), ranger des nombres relatifs dans l’ordre croissant ou décroissant, encadrer un relatif entre deux entiers consécutifs et intercaler un nombre entre deux relatifs ; problèmes de températures, d’altitudes et de dates.
À propos de cette page
Comparer deux nombres relatifs
1. Le signe d’abord
Comparer deux nombres, c’est dire lequel est le plus grand, avec le symbole < (« est plus petit que ») ou > (« est plus grand que »). La pointe du symbole est toujours tournée vers le plus petit.
• un nombre strictement négatif est plus petit que 0, et 0 est plus petit qu’un nombre strictement positif ;
• un nombre strictement positif est donc toujours plus grand qu’un nombre strictement négatif ;
• entre deux nombres positifs, on compare comme d’habitude : le plus grand a la plus grande distance à zéro.
A est le plus à gauche et C le plus à droite : −4 < −1 < +3.
−6 < +2 (un nombre strictement négatif est plus petit qu’un nombre strictement positif)
−0,5 < 0 · 0 < +0,2 (0 sépare les négatifs des positifs)
+1 > −100 (même si 100 est plus grand que 1 : le signe décide)
+7,5 > +7,05 (deux positifs : 7,50 > 7,05, comme en 6ᵉ)
Réflexe — je regarde d’abord les signes. S’ils sont différents, c’est le positif qui est le plus grand, sans calcul.
Attention — une grande partie numérique ne rend pas un négatif « grand » : −100 est très loin à gauche de 0, il est plus petit que +1 et même que −1.
2. Deux nombres négatifs
Méthode : je compare les distances à zéro, puis j’inverse le symbole.
N est plus à droite que M : −2 > −7. Pourtant 7 > 2 : pour deux négatifs, l’ordre des distances à zéro s’inverse.
−5 et −2 : distances 5 et 2 ; 5 > 2, donc −5 < −2
−4,3 et −4,03 : distances 4,30 et 4,03 ; 4,30 > 4,03, donc −4,3 < −4,03
−0,8 et −0,75 : distances 0,80 et 0,75 ; 0,80 > 0,75, donc −0,8 < −0,75
Pour comparer les distances à zéro de deux décimaux, on fait comme en 6ᵉ : on complète par des zéros pour avoir autant de chiffres après la virgule (4,3 = 4,30), puis on compare chiffre à chiffre.
| Les deux nombres | Le plus grand est… | Exemple |
|---|---|---|
| signes contraires | le positif | +0,2 > −9 |
| deux positifs | celui qui a la plus grande distance à zéro | +8 > +3 |
| deux négatifs | celui qui a la plus petite distance à zéro | −3 > −8 |
Réflexe — deux négatifs : « le plus proche de 0 gagne ». Je pense au thermomètre : −2 °C, il fait moins froid que −7 °C.
Attention — écrire « −12 > −5 car 12 > 5 » est faux : −12 est plus loin de 0 que −5, il est plus à gauche, donc −12 < −5.
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Ranger dans l’ordre croissant ou décroissant
Ranger dans l’ordre décroissant, c’est les écrire du plus grand au plus petit, séparés par >.
Méthode pour l’ordre croissant : 1. j’écris les nombres strictement négatifs, du plus éloigné de 0 au plus proche ; 2. j’écris 0 s’il est dans la liste ; 3. j’écris les nombres strictement positifs, du plus proche de 0 au plus éloigné.
Ranger +3 ; −2 ; 0 ; −5 ; +1 dans l’ordre croissant :
négatifs : −5 puis −2 ; ensuite 0 ; positifs : +1 puis +3 → −5 < −2 < 0 < +1 < +3
Les mêmes nombres dans l’ordre décroissant : +3 > +1 > 0 > −2 > −5
Ranger −1,2 ; +0,5 ; −1,25 ; −1,02 dans l’ordre croissant : distances 1,20 ; 1,25 ; 1,02 des trois négatifs → −1,25 < −1,2 < −1,02 < +0,5
Réflexe — je place les nombres « dans ma tête » sur la droite graduée et je les lis de gauche à droite (croissant) ou de droite à gauche (décroissant). Je vérifie que j’ai écrit autant de nombres qu’au départ.
Attention — l’ordre décroissant n’est pas « l’ordre croissant avec les signes changés » : c’est la même liste lue à l’envers, avec les mêmes nombres.
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Encadrer et intercaler
Pour un négatif non entier, l’entier le plus petit est le plus éloigné de 0 : −4 < −3,7 < −3.
Intercaler, c’est trouver un nombre compris entre deux autres. Entre deux nombres relatifs différents, il y en a toujours une infinité.
P est entre −4 et −3, à 7 dixièmes à gauche de −3 : son abscisse est −3,7 et −4 < −3,7 < −3.
Encadrer +2,4 : +2 < +2,4 < +3 · Encadrer −0,6 : −1 < −0,6 < 0
Encadrer au dixième : −5,2 < −5,17 < −5,1
Intercaler un nombre entre −2,6 et −2,5 : j’écris −2,60 et −2,50, puis je choisis par exemple −2,55 : −2,6 < −2,55 < −2,5
Les entiers qui vérifient une inégalité
Le symbole ⩽ se lit « est inférieur ou égal à » : le nombre de l’extrémité est compris. Avec <, il est exclu.
Les entiers relatifs x tels que −3 < x ⩽ 2 sont −2 ; −1 ; 0 ; +1 ; +2 : il y en a 5 (−3 est exclu, +2 est compris).
Réflexe — je dessine un petit bout de droite graduée et j’écris les deux entiers voisins de part et d’autre du nombre, avant de conclure.
Attention — écrire −3 < −3,7 < −2 est faux : −3,7 est plus loin de 0 que −3, il est donc avant −3 sur la droite.
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Pour aller plus loin
Avant ce chapitre — définir un nombre relatif, son opposé et sa distance à zéro, lire et placer une abscisse sur une droite graduée : voir Relatifs : définir et repérer sur une droite graduée.
Ensuite — additionner et soustraire des nombres relatifs (même signe, signes contraires, soustraire = ajouter l’opposé), et calculer l’écart entre deux températures ou deux altitudes : voir Relatifs : additionner et soustraire.
À savoir — multiplier et diviser des nombres relatifs (règle des signes) se verra en 4ᵉ.
- Sur la droite graduée, de deux nombres, le plus grand est le plus à droite.
- Strictement négatif < 0 < strictement positif : un nombre écrit avec + est toujours plus grand qu’un nombre écrit avec −.
- Deux négatifs : le plus grand est le plus proche de 0 (plus petite distance à zéro) ; −2 > −7.
- Ordre croissant : du plus petit au plus grand, avec < ; ordre décroissant : du plus grand au plus petit, avec >.
- Encadrer un négatif : l’entier juste avant est le plus éloigné de 0 (−4 < −3,7 < −3) ; entre deux relatifs différents, on peut toujours intercaler un nombre.
Questions fréquentes
Comment comparer un nombre positif et un nombre négatif ?
Un nombre strictement positif est toujours plus grand qu’un nombre strictement négatif, quelle que soit sa partie numérique : +1 > −100. Sur la droite graduée, les nombres strictement négatifs sont à gauche de 0 et les strictement positifs à droite, et le plus grand est toujours le plus à droite.
Comment comparer deux nombres négatifs ?
Le plus grand est le plus proche de 0, c’est-à-dire celui qui a la plus petite distance à zéro : −2 > −7. On compare les distances à zéro, puis on inverse le symbole : 7 > 2, donc −7 < −2.
Comment comparer −4,3 et −4,03 ?
On compare d’abord les distances à zéro comme deux décimaux positifs : 4,3 = 4,30 et 4,30 > 4,03. Comme ce sont deux négatifs, l’ordre s’inverse : −4,3 < −4,03. Le nombre −4,03 est plus proche de 0, donc plus grand.
Comment ranger des nombres relatifs dans l’ordre croissant ?
On écrit d’abord les nombres strictement négatifs, du plus éloigné de 0 au plus proche, puis 0, puis les nombres strictement positifs du plus proche de 0 au plus éloigné, séparés par le symbole < : −5 < −2 < 0 < +1 < +3. L’ordre décroissant est la même liste lue à l’envers, avec le symbole >.
Comment encadrer un nombre relatif entre deux entiers consécutifs ?
On cherche les deux entiers qui l’entourent sur la droite graduée. Pour un négatif, l’entier plus petit est le plus éloigné de 0 : −4 < −3,7 < −3. Entre deux nombres relatifs différents, on peut toujours intercaler un autre nombre, par exemple −2,55 entre −2,6 et −2,5.
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