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Fonctions : « en fonction de », tableaux et graphiques
Une grandeur en fonction d’une autre : grandeur de départ et grandeur qui en dépend, formule (calcul et question inverse), rappels de 6e (règle d’un motif, programme de calcul) ; tableau de valeurs produit à partir d’une formule, lu dans les deux sens, formule retrouvée par les écarts ; points placés dans un repère, courbe ou nuage de points, point qui appartient au graphique, droite qui passe par l’origine et proportionnalité ; lecture et interprétation d’un graphique (valeurs lues dans les deux sens, maximum, minimum, hausse, baisse, palier).
À propos de cette page
« En fonction de » : traduire une dépendance par une formule
• A est la grandeur de départ : celle qu’on choisit, qui varie ;
• B est la grandeur qui en dépend : celle qu’on obtient.
Quand on sait calculer B à partir de A, on écrit une formule, avec une lettre pour la grandeur de départ. Utiliser une formule, c’est remplacer la lettre par la valeur choisie, puis calculer en respectant les priorités.
La formule permet aussi de répondre à la question inverse : on connaît le résultat et on cherche la valeur de départ, en défaisant les opérations à l’envers.
Le prix d’un sac de clémentines est en fonction de sa masse : masse → prix.
Le niveau de la batterie d’un téléphone qu’on recharge est en fonction de la durée de charge : durée → niveau.
La taille d’un enfant est en fonction de son âge : âge → taille. Ici, il n’y a pas de formule : on relève les valeurs, dans un tableau ou sur un graphique.
Traduire une dépendance par une formule
| Situation | Formule |
|---|---|
| Périmètre d’un hexagone régulier de côté c | P = 6 × c |
| Aire d’un carré de côté c | A = c × c = c² |
| Prix de m kg de clémentines à 3,20 € le kg | p = 3,2 × m |
| Location d’un paddle : 6 € pour le gilet et la pagaie, puis 9 € par heure | C = 6 + 9 × h |
Paddle pendant 3 h : C = 6 + 9 × 3 = 6 + 27 = 33. La location coûte 33 €.
Question inverse : avec 51 €, combien d’heures de paddle ? On défait les opérations à l’envers, en commençant par la dernière : 51 − 6 = 45, puis 45 ÷ 9 = 5. C’est 5 h. Vérification : 6 + 9 × 5 = 51 ✓
Carré de côté 7 cm : A = 7 × 7 = 49. Son aire est 49 cm².
Question inverse : un carré a une aire de 100 cm². On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 100 : 10 × 10 = 100, donc son côté mesure 10 cm.
Déjà vu en 6ᵉ : une règle avec une lettre
En 6ᵉ, la règle directe d’un motif donnait déjà un nombre en fonction du numéro de l’étape, et un programme de calcul donne un résultat en fonction du nombre choisi.
Des tables carrées sont mises bout à bout : avec n tables, on peut placer 2 × n + 2 chaises. Pour 10 tables : 2 × 10 + 2 = 22 chaises. Le nombre de chaises est en fonction du nombre de tables.
« Choisis un nombre, ajoute 2, puis multiplie par 5. » En partant de x, le résultat est 5 × (x + 2). Pour x = 4 : 5 × (4 + 2) = 5 × 6 = 30.
Réflexe — je repère d’abord la grandeur qu’on choisit (départ) et celle qu’on obtient ; pour utiliser une formule, je remplace la lettre par la valeur et je respecte les priorités ; pour la question inverse, je défais les opérations en commençant par la dernière, puis je vérifie avec la formule.
Attention — au sens : « le prix est en fonction de la masse » veut dire qu’on choisit la masse et qu’on obtient le prix, pas l’inverse. Et la multiplication passe avant l’addition : pour h = 3, 6 + 9 × 3 = 33, et non 15 × 3 = 45.
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Le tableau de valeurs
Produire un tableau à partir d’une formule : on choisit des valeurs simples et bien réparties (0, 1, 2, 5, 10…) et on fait un calcul par colonne.
Lire un tableau dans les deux sens : de la première ligne vers la deuxième, ou de la deuxième vers la première.
Retrouver une formule : si la première ligne avance de 1 en 1 et que la deuxième augmente toujours du même écart, la formule est « écart × x + valeur pour x = 0 ».
Comparer deux formules : on calcule les deux lignes dans un même tableau et on cherche la colonne où elles sont égales.
Une cuve se vide : la hauteur d’eau h (en cm) est en fonction du temps t écoulé (en min), avec la formule h = 120 − 8 × t.
| Temps t (min) | 0 | 2 | 5 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| Hauteur h (cm) | 120 | 104 | 80 | 40 | 0 |
Pour t = 2 : h = 120 − 8 × 2 = 120 − 16 = 104. Pour t = 15 : h = 120 − 8 × 15 = 120 − 120 = 0 : la cuve est vide.
De haut en bas : au bout de 5 min, il reste 80 cm d’eau. De bas en haut : il reste 40 cm d’eau au bout de 10 min.
Retrouver la formule d’un tableau
C’est la même démarche que pour la règle directe d’un motif en 6ᵉ : on calcule les écarts.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 9 | 13 | 17 | 21 | 25 |
Les écarts valent 4 ; 4 ; 4 ; 4 : y augmente de 4 quand x augmente de 1. Pour x = 0, on aurait 9 − 4 = 5. Formule : y = 4 × x + 5.
Contrôle pour x = 3 : 4 × 3 + 5 = 17 ✓. Et pour x = 20, sans prolonger le tableau : 4 × 20 + 5 = 85.
Comparer deux tarifs avec un tableau
Une laverie propose deux formules : A, 4 € le lavage ; B, une carte à 9 €, puis 1 € le lavage. Pour n lavages : A = 4 × n et B = 9 + 1 × n.
| Lavages n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Formule A (€) | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| Formule B (€) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
Pour 3 lavages, les deux formules coûtent 12 €. Avant, A est moins chère ; à partir de 4 lavages, B est moins chère.
Sans tableau : chaque lavage coûte 4 − 1 = 3 € de plus avec A, et les 9 € de la carte sont rattrapés après 9 ÷ 3 = 3 lavages.
Réflexe — une colonne = un calcul avec la formule ; après avoir trouvé une formule, je la teste sur deux colonnes.
Attention — si la première ligne n’avance pas de 1 en 1, l’écart de la deuxième ligne ne correspond pas à 1 : pour la cuve, de 5 à 10 min (5 min de plus), la hauteur baisse de 40 cm, soit 40 ÷ 5 = 8 cm par minute. Et un tableau de relevés (la taille d’un enfant) n’a pas toujours de formule : on ne peut pas le prolonger par un calcul.
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Placer les points dans un repère : courbe ou nuage de points
Chaque colonne du tableau donne un point : (abscisse ; ordonnée) = (valeur de départ ; valeur obtenue). L’ensemble des points forme le graphique.
• Si la grandeur de départ peut prendre toutes les valeurs intermédiaires (une durée, une longueur, une masse), on relie les points : on obtient une courbe (parfois une droite).
• Si elle ne prend que des valeurs isolées (un nombre de photos, de personnes), on ne relie pas : c’est un nuage de points.
Un point est sur le graphique d’une formule lorsque son ordonnée est égale au résultat de la formule calculée avec son abscisse.
La cuve de la partie précédente : le temps en abscisse, la hauteur d’eau en ordonnée. Les colonnes du tableau donnent les points (0 ; 120), (2 ; 104), (5 ; 80), (10 ; 40) et (15 ; 0). Le temps passe par toutes les valeurs : on relie les points, et on obtient une droite qui descend.
Un site imprime des photos : 2 € de frais d’envoi, puis 0,50 € par photo. Le prix est p = 2 + 0,5 × n pour n photos. Pour 2, 4, 6, 8 et 10 photos, on paie 3 €, 4 €, 5 €, 6 € et 7 €. On ne commande pas 2,5 photos : on ne relie pas les points.
Le point (12 ; 8) : 2 + 0,5 × 12 = 2 + 6 = 8. C’est bien son ordonnée : il est sur le graphique (12 photos coûtent 8 €).
Le point (20 ; 11) : 2 + 0,5 × 20 = 12, et 12 n’est pas 11 : il n’est pas sur le graphique.
Droite qui passe par l’origine, autre droite ou courbe ?
| Situation | Formule | Graphique | Proportionnalité ? |
|---|---|---|---|
| Clémentines | p = 3,2 × m | points alignés sur une droite qui passe par l’origine | oui, coefficient 3,2 |
| Photos | p = 2 + 0,5 × n | points alignés sur une droite qui ne passe pas par l’origine | non : les frais d’envoi s’ajoutent |
| Aire du carré | A = c² | points non alignés : une courbe | non : côté × 2 donne aire × 4 |
C’est la propriété vue dans Proportionnalité : reconnaître, coefficient et graphique : une situation est une situation de proportionnalité si, et seulement si, les points de son graphique sont alignés avec l’origine du repère.
Réflexe — abscisse d’abord, ordonnée ensuite ; pour savoir si un point est sur le graphique, je calcule avec la formule au lieu de me fier à l’œil.
Attention — la grandeur de départ ne va jamais sur l’axe vertical, et le point (4 ; 6) n’est pas le point (6 ; 4). Je gradue chaque axe régulièrement, avec son unité. Et une droite ne suffit pas pour la proportionnalité : il faut aussi qu’elle passe par l’origine.
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Lire et interpréter un graphique
• d’une abscisse vers une ordonnée : je pars de l’axe horizontal, je monte jusqu’à la courbe, puis je vais horizontalement jusqu’à l’axe vertical ;
• d’une ordonnée vers une abscisse : je pars de l’axe vertical, je vais horizontalement jusqu’à la courbe, puis je descends. Une même ordonnée peut correspondre à plusieurs abscisses.
Interpréter un graphique : quand la courbe monte, la grandeur qui dépend augmente ; quand elle descend, elle diminue ; quand elle est horizontale, elle reste constante. Le point le plus haut donne le maximum, le point le plus bas le minimum.
Une lecture graphique donne une valeur approchée ; une formule, quand on en a une, donne la valeur exacte.
Déjà vu en 6ᵉ : lire un graphique cartésien, par exemple la valeur à un instant donné. En 5ᵉ, on raconte aussi ce que montre toute la courbe.
Yanis fait un aller-retour en roller sur une piste qui part de chez lui, en ligne droite. Le graphique donne la distance entre Yanis et sa maison, en kilomètres, en fonction du temps écoulé depuis son départ, en minutes.
Au bout de 10 min, Yanis est à 2 km de chez lui (lecture d’une abscisse vers une ordonnée, en rouge).
Il est à 5 km de chez lui à deux moments : au bout de 35 min, à l’aller, et au bout de 45 min, au retour (en vert).
De 20 à 30 min, la courbe est horizontale : la distance reste égale à 4 km. Yanis fait une pause de 10 min.
Le maximum est 6 km, atteint au bout de 40 min : c’est le moment où il est le plus loin de chez lui. Ensuite, la distance diminue : il rentre, et il arrive chez lui au bout de 70 min. Aller et retour sur la même piste : il a parcouru 6 + 6 = 12 km en tout.
Réflexe — avant de lire, je regarde ce que porte chaque axe, les unités et la graduation (de combien en combien) ; je trace les traits de lecture à la règle, et je réponds par une phrase avec l’unité.
Attention — quand la courbe descend, le temps ne recule pas : c’est la distance à la maison qui diminue. Le graphique n’est pas le dessin du chemin suivi. Et pour une ordonnée donnée, je cherche toutes les abscisses possibles, pas seulement la première.
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Pour aller plus loin
Avant ce chapitre — placer un point de coordonnées données : voir Repérage : coordonnées d’un point dans le plan ; remplacer une lettre par un nombre dans une expression : voir Le calcul littéral.
Proportionnalité — le coefficient, les tableaux de proportionnalité et le graphique d’une situation de proportionnalité sont travaillés en détail dans Proportionnalité : reconnaître, coefficient et graphique.
Question inverse — chercher la valeur de départ qui donne un résultat connu, c’est résoudre une équation : voir Équations : x + b = c et ax = c.
Pour aller plus loin — on écrit parfois A(c) = c² pour l’aire du carré de côté c ; on lit « A de c ». Le vocabulaire des fonctions (image, antécédent), la notation f(x) et les fonctions linéaires et affines seront étudiés plus tard au collège.
- « B est en fonction de A » : on choisit A (la grandeur de départ) et on obtient B (la grandeur qui en dépend). Une formule donne le calcul : on remplace la lettre par la valeur et on respecte les priorités.
- Question inverse : on défait les opérations à l’envers, en commençant par la dernière, puis on vérifie avec la formule.
- Un tableau de valeurs se produit colonne par colonne avec la formule et se lit dans les deux sens ; quand x avance de 1 en 1 avec des écarts constants, la formule est « écart × x + valeur pour 0 ».
- Dans un repère : la grandeur de départ en abscisse, celle qui en dépend en ordonnée ; on relie les points (courbe) ou non (nuage de points). Des points alignés avec l’origine traduisent une proportionnalité.
- Un graphique se lit dans les deux sens ; la courbe monte (la grandeur augmente), descend (elle diminue) ou reste horizontale (elle est constante) ; le point le plus haut donne le maximum.
Questions fréquentes
Que veut dire « en fonction de » en maths ?
Dire que B est en fonction de A, c’est dire que la valeur de B est déterminée par celle de A : on choisit A, on obtient B. Le prix d’un sac de clémentines est en fonction de sa masse ; avec 3,20 € le kg, la formule est p = 3,2 × m.
Comment utiliser une formule et répondre à la question inverse ?
On remplace la lettre par la valeur et on calcule en respectant les priorités : avec C = 6 + 9 × h, pour 3 h, C = 6 + 27 = 33 €. Pour la question inverse (combien d’heures pour 51 € ?), on défait les opérations à l’envers : 51 − 6 = 45, puis 45 ÷ 9 = 5 h.
Comment compléter un tableau de valeurs ?
Chaque colonne est un calcul avec la formule : avec h = 120 − 8 × t, pour t = 5, h = 120 − 40 = 80. Le tableau se lit aussi de bas en haut. Si x avance de 1 en 1 et que y augmente toujours de 4, la formule est y = 4 × x + (valeur pour x = 0).
Faut-il relier les points d’un graphique ?
Oui si la grandeur de départ peut prendre toutes les valeurs intermédiaires (temps, masse, longueur) : on obtient une courbe. Non si elle ne prend que des valeurs isolées (un nombre de photos, de personnes) : on obtient un nuage de points. Dans tous les cas, la grandeur de départ va sur l’axe horizontal.
Comment lire et interpréter un graphique ?
On lit dans les deux sens : d’une abscisse vers l’ordonnée, ou d’une ordonnée vers les abscisses (il peut y en avoir plusieurs). Quand la courbe monte, la grandeur augmente ; quand elle est horizontale, elle reste constante ; le point le plus haut donne le maximum.
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