Devoir surveillé : Statistiques et probabilités

1. a)La population est formée des $25$ élèves de la classe (0,5 pt) ; le caractère étudié est le moyen de transport, un caractère qualitatif car ses valeurs sont des mots (bus, vélo, marche…) et non des nombres (0,5 pt). (1)
2. b)Quantitatif : ses valeurs sont des nombres ($0$, $1$, $2$…) sur lesquels on peut faire des calculs, par exemple une moyenne (1 pt : 0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour la justification). (1)
3. c)Aucune face ne porte le $7$ : aucune issue ne réalise l'événement, il est impossible (0,5 pt). Sa probabilité vaut $0$ : il se place à l'extrémité gauche de l'échelle (0,5 pt). (1)
4. d)Issues favorables : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, soit $5$ issues sur $6$ équiprobables (0,5 pt). $P={\displaystyle \frac{5}{6}}\approx 0,83$ : l'événement est très probable, proche de $1$ sur l'échelle (0,5 pt). (1)

Méthode — pour savoir si un caractère est quantitatif, demande-toi si ses valeurs sont des nombres avec lesquels un calcul a du sens ; pour une probabilité, compte d'abord les issues favorables.

1. a)Note $0$ : effectif $1$ ; note $1$ : $1$ ; note $2$ : $2$ ; note $3$ : $5$ ; note $4$ : $7$ ; note $5$ : $4$ (0,5 pt). Total : $1+1+2+5+7+4=20$, on retrouve bien les $20$ élèves (0,5 pt). (1)
2. b)${\displaystyle \frac{7}{20}}$ (0,5 pt) ; ${\displaystyle \frac{7}{20}}={\displaystyle \frac{35}{100}}=35\%$ (0,5 pt). (1)
3. c)Somme des notes : $0\times 1+1\times 1+2\times 2+3\times 5+4\times 7+5\times 4=0+1+4+15+28+20=68$ (0,5 pt) ; moyenne $=68÷20=3,4$ (0,5 pt). (1)
4. d)« Au moins $4$ » signifie $4$ ou $5$ : $7+4=11$ élèves (0,5 pt) ; ${\displaystyle \frac{11}{20}}={\displaystyle \frac{55}{100}}=55\%$ (0,5 pt). (1)

Piège — « au moins 4 » inclut la valeur 4 elle-même ; et pour une moyenne pondérée, on divise par l'effectif total (20), pas par le nombre de valeurs différentes (6).

1. a)$14+10+6+10=40$ billes (0,5 pt) ; ${\displaystyle \frac{14}{40}}={\displaystyle \frac{35}{100}}=35\%$ (0,5 pt). (1)
2. b)$6$ issues favorables sur $40$ équiprobables : $P(\text{verte})={\displaystyle \frac{6}{40}}$ (0,5 pt) $={\displaystyle \frac{3}{20}}$ (0,5 pt). (1)
3. c)$P(\text{bleue})={\displaystyle \frac{10}{40}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ (0,5 pt) ; par l'événement contraire, $P(\text{pas bleue})=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ (0,5 pt). (1)
4. d)Les jaunes représentent ${\displaystyle \frac{10}{40}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ du sac (0,5 pt) ; l'angle vaut le quart de ${360}^{\circ }$, soit ${360}^{\circ }÷4={90}^{\circ }$ (0,5 pt). (1)

Astuce — la fréquence d'une couleur dans le sac, la probabilité de la tirer et la part du disque qu'elle occupe sont une seule et même fraction : calcule-la une fois et réutilise-la.

1. a)${\displaystyle \frac{12}{60}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$ (0,5 pt) $=0,2$ (0,5 pt). (1)
2. b)Le dé est équilibré : $6$ issues équiprobables, une seule favorable, donc $P(4)={\displaystyle \frac{1}{6}}$ (0,5 pt) $\approx 0,17$ (0,5 pt). (1)
3. c)La fréquence observée varie d'une série de lancers à l'autre (fluctuation) ; sur seulement $60$ lancers, l'écart avec la probabilité est normal (0,5 pt). Avec $6000$ lancers, la fréquence serait en général beaucoup plus proche de ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ (0,5 pt). (1)
4. d)Faces paires : $11+12+10=33$ lancers, fréquence ${\displaystyle \frac{33}{60}}=0,55$ (0,5 pt). Probabilité : $3$ faces paires sur $6$, $P={\displaystyle \frac{3}{6}}=0,5$ ; la fréquence est proche de la probabilité (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — confondre fréquence et probabilité : la fréquence se mesure après l'expérience et change d'une série à l'autre, la probabilité se calcule avant et ne change pas.

1. a)$1$ secteur favorable sur $8$ secteurs identiques : $P(\text{gros lot})={\displaystyle \frac{1}{8}}$ (1 pt). (1)
2. b)$1+3=4$ secteurs gagnants (0,5 pt) ; $P(\text{lot})={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (0,5 pt). (1)
3. c)Fréquence : ${\displaystyle \frac{100}{200}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=50\%$ (0,5 pt). Probabilité de perdre : ${\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, soit $50\%$ aussi ; ici la fréquence coïncide avec la probabilité (0,5 pt). (1)
4. d)Recette : $200\times 2=400$ euros (0,5 pt). Coût des lots : $22\times 5+78\times 1=110+78=188$ euros ; bénéfice : $400-188=212$ euros (0,5 pt). (1)

Méthode — dans un problème concret, sépare bien ce qui est prévu (la probabilité, calculée sur la roue) de ce qui s'est réellement passé (les effectifs de la journée), qui servent aux calculs d'argent.

1. a)Vrai (0,5 pt) : $0,35={\displaystyle \frac{35}{100}}=35\%$ (0,5 pt). (1)
2. b)Faux (0,5 pt) : il y a $4+6=10$ boules en tout, donc $P(\text{noire})={\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$ ; on divise par le nombre total de boules, pas par le nombre de blanches (0,5 pt). (1)
3. c)Faux (0,5 pt) : « ne pas pleuvoir » est l'événement contraire, sa probabilité vaut $1-0,3=0,7$ (0,5 pt). (1)
4. d)Vrai (0,5 pt) : chaque note gagne $2$, donc la somme gagne $2$ fois le nombre de notes ; en divisant par le nombre de notes, la moyenne gagne exactement $2$. Exemple : $8$ et $12$ ont pour moyenne $10$ ; $10$ et $14$ ont pour moyenne $12$ (0,5 pt). (1)

Piège — dans une probabilité, le dénominateur est toujours le nombre total d'issues ; écrire « noires sur blanches » est l'erreur la plus répandue.

1. a)Football ${\displaystyle \frac{24}{60}}=40\%$ ; basket ${\displaystyle \frac{15}{60}}=25\%$ ; natation ${\displaystyle \frac{12}{60}}=20\%$ ; tennis ${\displaystyle \frac{9}{60}}=15\%$ (1 pt : 0,5 pt pour deux fréquences justes, 1 pt pour les quatre). Total : $100\%$. (1)
2. b)${360}^{\circ }÷60=6^{\circ }$ par adhérent (0,5 pt). Football $24\times 6={144}^{\circ }$ ; basket $15\times 6={90}^{\circ }$ ; natation $12\times 6={72}^{\circ }$ ; tennis $9\times 6={54}^{\circ }$ ; somme $144+90+72+54={360}^{\circ }$ (0,5 pt). (1)
3. c)$P(\text{natation})={\displaystyle \frac{12}{60}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$ (0,5 pt) ; $P(\text{pas natation})=1-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$ (0,5 pt). (1)
4. d)$24+9=33$ adhérents favorables (0,5 pt) ; $P={\displaystyle \frac{33}{60}}={\displaystyle \frac{11}{20}}=0,55$ (0,5 pt). (1)

Astuce — pour un diagramme circulaire, calcule d'abord l'angle qui représente un seul individu (ici 6°) : chaque secteur n'est plus qu'une multiplication, et la somme 360° sert de vérification.

1. a)Somme des âges : $11\times 6+12\times 9+13\times 7+14\times 3=66+108+91+42=307$ (0,5 pt) ; moyenne $=307÷25=12,28$ ans (0,5 pt). (1)
2. b)Plus de $12$ ans : $13$ ou $14$ ans, soit $7+3=10$ participants (0,5 pt) ; ${\displaystyle \frac{10}{25}}={\displaystyle \frac{40}{100}}=40\%$ (0,5 pt). (1)
3. c)$9$ participants favorables sur $25$ (0,5 pt) : $P={\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{36}{100}}=0,36$ (0,5 pt). (1)
4. d)Somme des âges des $27$ personnes : $27\times 13=351$ (0,5 pt) ; les deux animateurs totalisent $351-307=44$ ans, chacun a donc $44÷2=22$ ans (0,5 pt). (1)

Méthode — quand on connaît une moyenne et un effectif, on retrouve la somme en les multipliant ; c'est cette somme qu'on complète quand des individus rejoignent le groupe.

1. a)${\displaystyle \frac{148}{200}}={\displaystyle \frac{74}{100}}=0,74$ (1 pt : 0,5 pt pour la fraction, 0,5 pt pour le décimal). (1)
2. b)Chaque tirage donne rouge ou verte, donc les deux fréquences ont pour somme $1$ (0,5 pt) : $1-0,74=0,26$ (0,5 pt). (1)
3. c)La fréquence observée sur un grand nombre de tirages est proche de la probabilité, donc environ $74\%$ des boules sont rouges (0,5 pt) : $0,74\times 20=14,8$, soit environ $15$ rouges (0,5 pt). (1)
4. d)$P(\text{rouge})={\displaystyle \frac{15}{20}}=0,75$ (0,5 pt). La fréquence observée $0,74$ en est très proche : l'estimation d'Emma était bonne, l'écart de $0,01$ s'explique par la fluctuation (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — croire qu'une estimation doit tomber pile : 14,8 boules n'existe pas, on arrondit à un entier, et la fréquence observée ne donne jamais qu'une valeur approchée de la probabilité.

1. a)$P(A)={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ (0,5 pt) $=25\%$ (0,5 pt). (1)
2. b)$P(B)={\displaystyle \frac{6}{20}}={\displaystyle \frac{3}{10}}=30\%$ (0,5 pt) ; $30\%>25\%$, le stand B est le plus favorable (0,5 pt). (1)
3. c)Fréquence observée : ${\displaystyle \frac{132}{400}}=0,33=33\%$ (0,5 pt). L'écart avec $30\%$ est faible et peut s'expliquer par la fluctuation : ces résultats ne suffisent pas à affirmer que la roue est truquée (0,5 pt). (1)
4. d)Il faut $P={\displaystyle \frac{3}{10}}$ avec toujours $3$ gagnantes, donc $10$ boules en tout, soit $7$ perdantes (0,5 pt). L'urne en contient $12-3=9$ : il faut en retirer $9-7=2$ ; vérification : ${\displaystyle \frac{3}{10}}$ (0,5 pt). (1)

Piège — un écart entre fréquence et probabilité ne prouve rien à lui seul : il faut qu'il soit grand et observé sur beaucoup d'essais pour soupçonner une tricherie.

1. a)Somme des $8$ nombres : $8\times 12,5=100$ (0,5 pt) ; nouvelle somme $100+17=117$ pour $9$ nombres, moyenne $117÷9=13$ (0,5 pt). (1)
2. b)$0,125={\displaystyle \frac{125}{1000}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$ en divisant par $125$ (0,5 pt) ; $0,125=12,5\%$ (0,5 pt). (1)
3. c)Cartes favorables : les $8$ cœurs et les $3$ as qui ne sont pas des cœurs, soit $11$ cartes, l'as de cœur n'étant compté qu'une fois (0,5 pt) ; $P={\displaystyle \frac{11}{32}}$ (0,5 pt). (1)
4. d)Non (0,5 pt) : ${\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{10}{24}}+{\displaystyle \frac{15}{24}}={\displaystyle \frac{25}{24}}$, or la somme des probabilités d'un événement et de son contraire vaut toujours $1$ (0,5 pt). (1)

Piège — dans « un as ou un cœur », l'as de cœur appartient aux deux groupes : l'additionner deux fois donnerait 12/32 au lieu de 11/32.

1. a)Effectif total $3+5+6+7+4=25$ ; somme $8\times 3+10\times 5+12\times 6+14\times 7+17\times 4=24+50+72+98+68=312$ (0,5 pt). Moyenne $312÷25={\displaystyle \frac{312\times 4}{100}}={\displaystyle \frac{1248}{100}}=12,48$ (0,5 pt). (1)
2. b)Au moins $12$ : $6+7+4=17$ élèves (0,5 pt) ; ${\displaystyle \frac{17}{25}}={\displaystyle \frac{68}{100}}=68\%$ (0,5 pt). (1)
3. c)Les notes $8$, $10$ et $12$ sont inférieures à $12,48$ : $3+5+6=14$ copies (0,5 pt) ; $P={\displaystyle \frac{14}{25}}=0,56$ (0,5 pt). (1)
4. d)Nouvelle somme : $26\times 12,5=325$ (0,5 pt) ; note de la copie : $325-312=13$ (0,5 pt). (1)

Astuce — diviser par 25 sans calculatrice, c'est multiplier par 4 puis diviser par 100 ; et la note 12 est bien inférieure à 12,48 : lis la moyenne avec ses décimales.

1. a)Le nombre de rouges $r$ vérifie ${\displaystyle \frac{r}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{12}}$, donc $r=3$ (1 pt : 0,5 pt pour la mise en égalité, 0,5 pt pour la réponse). (1)
2. b)Il reste $12-3=9$ boules vertes ou bleues, avec au moins une bleue et plus de vertes que de bleues (0,5 pt). Si l'urne avait $5$ bleues ou plus, elle aurait au plus $4$ vertes, moins que de bleues : impossible. Donc $1$, $2$, $3$ ou $4$ bleues, d'où exactement quatre compositions (rouges, vertes, bleues) : $(3;8;1)$, $(3;7;2)$, $(3;6;3)$, $(3;5;4)$ (0,5 pt). (1)
3. c)$P(\text{pas bleue})>{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$ signifie plus de $9$ boules non bleues, donc moins de $3$ bleues (0,5 pt) : compositions $(3;8;1)$ et $(3;7;2)$ (0,5 pt). (1)
4. d)Sur $120$ tirages, on s'attend à environ ${\displaystyle \frac{5}{12}}\times 120=50$, $60$, $70$ ou $80$ vertes selon qu'il y a $5$, $6$, $7$ ou $8$ vertes (0,5 pt). Le résultat $58$ est le plus proche de $60$ : la composition la plus vraisemblable est $(3;6;3)$, sans certitude à cause de la fluctuation (0,5 pt). (1)

Méthode — pour être sûr de trouver toutes les solutions, fais varier une seule quantité (ici le nombre de bleues) de sa plus petite à sa plus grande valeur possible, et justifie les bornes.

1. a)Au moins $2$ h : $12+8=20$ élèves (0,5 pt) ; ${\displaystyle \frac{20}{40}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=50\%$ (0,5 pt). (1)
2. b)Somme estimée : $0,5\times 6+1,5\times 14+2,5\times 12+3,5\times 8=3+21+30+28=82$ h (0,5 pt) ; moyenne $82÷40=2,05$ h, et $0,05\times 60=3$ min, soit environ $2$ h $3$ min (0,5 pt). (1)
3. c)$6$ élèves favorables sur $40$ (0,5 pt) : $P={\displaystyle \frac{6}{40}}={\displaystyle \frac{3}{20}}=0,15$ (0,5 pt). (1)
4. d)Somme pour le second collège : $60\times 2,5=150$ h (0,5 pt) ; moyenne globale $(82+150)÷100=232÷100=2,32$ h, et non la moyenne des deux moyennes (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — faire la moyenne de 2,05 et 2,5 pour regrouper deux groupes d'effectifs différents : il faut revenir aux sommes, sinon le petit groupe pèse autant que le grand.

1. a)La somme des probabilités des six faces vaut $1$ : $p+p+p+p+p+2p=7p=1$ (0,5 pt) ; donc $p={\displaystyle \frac{1}{7}}$ et $P(6)={\displaystyle \frac{2}{7}}$ (0,5 pt). (1)
2. b)$P(\text{pair})=P(2)+P(4)+P(6)={\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{4}{7}}$ (0,5 pt). Pour un dé équilibré, $P(\text{pair})={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; or ${\displaystyle \frac{4}{7}}={\displaystyle \frac{8}{14}}>{\displaystyle \frac{7}{14}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : oui, ce dé favorise les pairs (0,5 pt). (1)
3. c)Sur un grand nombre de lancers, la fréquence du $6$ est proche de ${\displaystyle \frac{2}{7}}$ : environ ${\displaystyle \frac{2}{7}}\times 700=200$ fois (0,5 pt). « Environ » car la fréquence observée fluctue autour de la probabilité sans l'égaler exactement (0,5 pt). (1)
4. d)Si $P(6)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, les cinq autres faces se partagent $1-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, soit ${\displaystyle \frac{1}{10}}$ chacune (0,5 pt). Or ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{10}}=5\times {\displaystyle \frac{1}{10}}$ : il faut $k=5$, c'est-à-dire que le $6$ pèse autant que les cinq autres faces réunies (0,5 pt). (1)

Astuce — quand les probabilités sont inconnues, la seule certitude est que leur somme vaut 1 : c'est cette égalité qui permet de trouver p, et de raisonner à l'envers pour trouver k.