Probabilités : vocabulaire et équiprobabilité

Le vocabulaire du hasard (expérience aléatoire, issue, événement certain, possible ou impossible) et le tableau à double entrée, l’échelle des probabilités de 0 à 1 en fraction, en décimal et en pourcentage, le calcul d’une probabilité dans une situation d’équiprobabilité, et la répétition d’une expérience : tableau d’effectifs et de fréquences, fréquence et probabilité.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés de probabilités : la roue de la kermesse, un tirage au sort dans une classe, un jeu de 52 cartes, un dé lancé 300 fois pour savoir s’il est équilibré, un bocal de billes à compléter et un jeu avec deux roues.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je décris l’expérience : quelles sont les issues ? Ont-elles toutes la même chance ? Pour deux étapes, je fais un tableau à double entrée.
Je compte le nombre total d’issues, puis les issues favorables à l’événement demandé.
Je calcule : probabilité = issues favorables ÷ total ; « ne pas » = 1 moins la probabilité ; fréquence = effectif ÷ nombre d’essais.
Je contrôle (un résultat entre $0$ et $1$ , une somme de probabilités égale à $1$ ) et je réponds par une phrase, sous la forme demandée.

Problème 1 · La roue de la kermesse★★★Facile

À la kermesse du collège, une roue est partagée en

20

secteurs égaux :

2

secteurs « gros lot »,

5

secteurs « petit lot »,

3

secteurs « rejouer » et les autres « perdu ». On fait tourner la roue une fois.

1. Combien y a-t-il de secteurs « perdu » ?
$20 - 2 - 5 - 3 = 10$ secteurs « perdu ».
2. Probabilité de gagner un lot, gros ou petit (fraction) :
$2 + 5 = 7$ secteurs gagnants sur $20$ secteurs égaux : $\frac{7}{20}$ , qui ne se simplifie pas.
3. Cette probabilité en pourcentage : %
$\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 35 %$ .
4. Probabilité de ne pas tomber sur « perdu » (fraction simplifiée) :
$20 - 10 = 10$ secteurs ne sont pas « perdu » : $\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ . Une chance sur deux.

Problème 2 · Le tirage au sort dans la classe★★★Facile

Dans une classe de

28

élèves,

7

font du sport en club,

12

font de la musique et les autres ne font ni l’un ni l’autre ; aucun ne fait les deux. Le professeur tire au sort un élève.

1. Combien d’élèves ne font ni sport ni musique ?
$28 - 7 - 12 = 9$ élèves.
2. Probabilité que l’élève tiré fasse du sport en club, en pourcentage : %
$\frac{7}{28} = \frac{1}{4} = 25 %$ : une chance sur quatre.
3. Probabilité qu’il ne fasse pas de musique (fraction simplifiée) :
$28 - 12 = 16$ élèves : $\frac{16}{28} = \frac{4}{7}$ (on divise par $4$ ). Autre façon : $1 - \frac{12}{28} = \frac{16}{28}$ .
4. Quel événement est le plus probable : « l’élève fait du sport en club » ou « l’élève ne fait ni sport ni musique » ? Écris « sport » ou « ni l’un ni l’autre » :
$9$ issues favorables contre $7$ , sur le même total de $28$ : « ni l’un ni l’autre » ( $\frac{9}{28}$ ) est plus probable que « sport » ( $\frac{7}{28}$ ).

Problème 3 · Le jeu de 52 cartes★★★Moyen

Un jeu de

52

cartes a

4

couleurs : cœur et carreau (rouges), pique et trèfle (noires). Chaque couleur a

13

cartes : l’as, les nombres de

2

10

et trois figures (valet, dame, roi). On tire une carte au hasard. Fractions simplifiées.

1. Probabilité de tirer un trèfle :
$13$ trèfles sur $52$ cartes : $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ .
2. Probabilité de tirer une dame :
Une dame par couleur, soit $4$ dames : $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ .
3. Probabilité de tirer une figure :
$3$ figures par couleur, $3 \times 4 = 12$ figures : $\frac{12}{52} = \frac{3}{13}$ .
4. Probabilité de tirer une carte rouge qui n’est pas une figure :
Cartes rouges : $26$ , dont $6$ figures. $26 - 6 = 20$ : $\frac{20}{52} = \frac{5}{13}$ .

Problème 4 · Le dé de Sacha★★★Moyen

Sacha lance

300

fois un dé à

6

faces. Résultats : le

1

sort

47

fois, le

2

52

fois, le

3

55

fois, le

4

49

fois, le

5

44

fois, le

6

53

fois.

1. Fréquence du $3$ , en écriture décimale arrondie au centième :
$\frac{55}{300} = 55 \div 300 \approx 0, 183$ , soit environ $0, 18$ .
2. Si le dé est équilibré, environ combien de fois chaque face devrait-elle sortir ?
Chaque face a la probabilité $\frac{1}{6}$ : $300 \div 6 = 50$ fois environ.
3. Fréquence de « obtenir $5$ ou $6$ », en pourcentage arrondi à l’unité : %
$44 + 53 = 97$ fois. $\frac{97}{300} \approx 0, 323$ , soit environ $32 %$ .
4. Probabilité de « obtenir $5$ ou $6$ » avec un dé équilibré (fraction simplifiée) :
$2$ faces sur $6$ : $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33 %$ . La fréquence observée ( $32 %$ ) en est très proche, comme toutes les faces sont proches de $50$ : rien n’indique que le dé est truqué.

Problème 5 · Le bocal de billes★★★Difficile

Un bocal contient

24

billes indiscernables au toucher :

10

rouges,

6

bleues et les autres vertes. On tire une bille au hasard.

1. Probabilité de tirer une bille verte (fraction simplifiée) :
$24 - 10 - 6 = 8$ billes vertes : $\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ .
2. On ajoute des billes rouges, et seulement des rouges. Combien faut-il en ajouter pour que P(rouge) soit exactement $\frac{1}{2}$ ?
P(rouge) vaut $\frac{1}{2}$ quand il y a autant de rouges que d’autres billes. Les autres billes restent $6 + 8 = 14$ : il faut $14$ rouges, donc en ajouter $14 - 10 = 4$ . Contrôle : $\frac{14}{28} = \frac{1}{2}$ .
3. Après cet ajout, probabilité de tirer une bille verte (fraction simplifiée) :
Il y a maintenant $28$ billes, dont $8$ vertes : $\frac{8}{28} = \frac{2}{7}$ .

Problème 6 · Le jeu des deux roues★★★Difficile

On fait tourner deux roues à secteurs égaux : la première est numérotée

1

2

3

; la seconde

1

2

3

4

. On additionne les deux nombres obtenus.

1. Combien l’expérience a-t-elle d’issues ?
Tableau à double entrée de $3$ lignes et $4$ colonnes : $3 \times 4 = 12$ issues de même chance.
2. Probabilité que la somme soit paire (fraction simplifiée) :
Sommes paires : $1 + 1$ , $1 + 3$ , $2 + 2$ , $2 + 4$ , $3 + 1$ , $3 + 3$ , soit $6$ cases : $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ .
3. Probabilité que la somme soit égale à $5$ (fraction simplifiée) :
$1 + 4$ , $2 + 3$ , $3 + 2$ : $3$ cases, $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ .
4. On joue $600$ fois. Environ combien de fois la somme vaudra-t-elle $5$ ?
Probabilité $\frac{1}{4}$ : environ $600 \div 4 = 150$ fois, pas forcément exactement.

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