Probabilités : vocabulaire et équiprobabilité

On tire au hasard un jeton dans un sac de $12$ jetons numérotés de $1$ à $12$. Complète ; pour les trois dernières lignes, écris « certain », « possible » ou « impossible ».

1. Nombre d’issues de l’expérience :
   Une issue par jeton : $12$ issues ($1$, $2$… $12$).
2. Nombre d’issues favorables à « tirer un multiple de $5$ » :
   Les multiples de $5$ jusqu’à $12$ sont $5$ et $10$ : $2$ issues favorables.
3. Nombre d’issues favorables à « tirer un nombre impair plus grand que $6$ » :
   Les nombres impairs plus grands que $6$ sont $7$, $9$ et $11$ : $3$ issues favorables.
4. « Tirer un nombre à trois chiffres » est un événement
   Le plus grand numéro est $12$ : aucune issue n’est favorable, l’événement est impossible.
5. « Tirer un nombre plus petit que $13$ » est un événement
   Les $12$ issues sont toutes plus petites que $13$ : l’événement est certain.
6. « Tirer un diviseur de $12$ » est un événement
   Les diviseurs de $12$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$ : $6$ issues favorables sur $12$, ni toutes ni aucune. L’événement est possible.

On lance une pièce (pile P ou face F), puis on tire au hasard une carte parmi quatre : as, roi, dame, valet. Fais le tableau à double entrée.

1. Nombre d’issues de l’expérience :
   Le tableau a $2$ lignes (P, F) et $4$ colonnes (as, roi, dame, valet) : $2\times 4=8$ issues.
2. Nombre d’issues favorables à « obtenir face et une figure (roi, dame ou valet) » :
   Sur la ligne F : F-roi, F-dame, F-valet, soit $3$ issues.
3. Nombre d’issues favorables à « tirer l’as » :
   L’as peut venir avec pile ou avec face : P-as et F-as, soit $2$ issues.

Compte les issues sans en oublier.

1. Des jetons sont numérotés de $1$ à $30$. Nombre d’issues favorables à « tirer un nombre dont le chiffre des unités est $3$ » :
   Ce sont $3$, $13$ et $23$ : $3$ issues favorables.
2. On lance deux dés à $6$ faces, un rouge et un bleu. Nombre de cases du tableau à double entrée :
   $6$ lignes (dé rouge) et $6$ colonnes (dé bleu) : $6\times 6=36$ issues.
3. Même expérience : nombre d’issues favorables à « obtenir deux nombres égaux » :
   Ce sont les cases de la diagonale : $1$-$1$, $2$-$2$, $3$-$3$, $4$-$4$, $5$-$5$, $6$-$6$, soit $6$ issues.
4. Même expérience : nombre d’issues favorables à « la somme des deux nombres vaut $10$ » :
   $4+6$, $5+5$ et $6+4$ : $3$ issues ($4$-$6$ et $6$-$4$ sont deux cases différentes).

Écris chaque probabilité sous la forme demandée (fraction simplifiée, nombre décimal ou pourcentage).

1. ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ en écriture décimale : ; en pourcentage : %
   ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{75}{100}}=0,75=75\%$.
2. $0,6$ en pourcentage : % ; en fraction simplifiée :
   $0,6={\displaystyle \frac{6}{10}}={\displaystyle \frac{60}{100}}=60\%$, et ${\displaystyle \frac{6}{10}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ (on divise par $2$).
3. $45\%$ en écriture décimale :
   $45\%={\displaystyle \frac{45}{100}}=0,45$.
4. « Une chance sur huit » en pourcentage : %
   « Une chance sur huit », c’est ${\displaystyle \frac{1}{8}}=1÷8=0,125=12,5\%$.
5. ${\displaystyle \frac{7}{20}}$ en pourcentage : %
   $20\times 5=100$ : ${\displaystyle \frac{7}{20}}={\displaystyle \frac{35}{100}}=35\%$.

Compare des probabilités.

1. Range de la plus petite à la plus grande : $0,3$ ; ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ ; $35\%$ ; ${\displaystyle \frac{2}{5}}$. Réponse : ; ; ;
   En décimal : $0,3$ ; ${\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$ ; $35\%=0,35$ ; ${\displaystyle \frac{2}{5}}=0,4$.
   Donc ${\displaystyle \frac{1}{4}}<0,3<35\%<{\displaystyle \frac{2}{5}}$.
2. Dans une urne, P(verte) $={\displaystyle \frac{3}{8}}$ et P(noire) $=0,4$. La couleur la plus probable est la (écris « verte » ou « noire »)
   ${\displaystyle \frac{3}{8}}=3÷8=0,375$ et $0,375<0,4$ : tirer une boule noire est plus probable.

Raisonne avec l’échelle et les écritures d’une probabilité.

1. Une urne contient $20$ boules ; la probabilité de tirer une boule bleue est de $35\%$. Nombre de boules bleues :
   $35\%={\displaystyle \frac{35}{100}}={\displaystyle \frac{7}{20}}$ : il y a $7$ boules bleues sur $20$.
2. Un événement a la probabilité $0,15$. Cela fait chances sur $20$
   $0,15={\displaystyle \frac{15}{100}}={\displaystyle \frac{3}{20}}$ : $3$ chances sur $20$.
3. Parmi $1,2$ ; ${\displaystyle \frac{7}{8}}$ ; $110\%$ ; ${\displaystyle \frac{9}{4}}$, combien de nombres peuvent être des probabilités ?
   $1,2>1$, $110\%=1,1>1$ et ${\displaystyle \frac{9}{4}}=2,25>1$ : impossible pour une probabilité. Seul ${\displaystyle \frac{7}{8}}=0,875$ convient : $1$ nombre.

Un sac contient $6$ jetons jaunes, $11$ jetons verts et $7$ jetons noirs, indiscernables au toucher. On en tire un au hasard. Donne les probabilités en fraction simplifiée.

1. Nombre total d’issues :
   $6+11+7=24$ jetons, donc $24$ issues de même chance.
2. P(jaune) =
   ${\displaystyle \frac{6}{24}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ (on divise par $6$).
3. P(vert) =
   ${\displaystyle \frac{11}{24}}$, qui ne se simplifie pas.
4. Probabilité de ne pas tirer un jeton vert :
   $6+7=13$ jetons ne sont pas verts : ${\displaystyle \frac{13}{24}}$. Autre façon : $1-{\displaystyle \frac{11}{24}}={\displaystyle \frac{13}{24}}$.

Un sac contient $50$ jetons numérotés de $1$ à $50$. On en tire un au hasard.

1. Probabilité de tirer un multiple de $10$ (fraction simplifiée) :
   $10$, $20$, $30$, $40$, $50$ : ${\displaystyle \frac{5}{50}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$.
2. Probabilité de tirer un nombre d’un seul chiffre (fraction simplifiée) :
   De $1$ à $9$ : $9$ issues favorables, ${\displaystyle \frac{9}{50}}$.
3. Probabilité de tirer un multiple de $4$, en pourcentage : %
   $4$, $8$… $48=4\times 12$ : $12$ multiples de $4$. ${\displaystyle \frac{12}{50}}={\displaystyle \frac{24}{100}}=24\%$.

Attention au nombre d’issues et à leur chance. Fractions simplifiées.

1. On fait tourner deux fois une roue à $3$ secteurs égaux numérotés $1$, $2$, $3$. Probabilité d’obtenir deux fois le même nombre :
   Tableau $3\times 3$ : $9$ issues de même chance. Même nombre : $1$-$1$, $2$-$2$, $3$-$3$, donc ${\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.
2. Une roue a un secteur jaune de $180°$, un bleu de $120°$ et un rouge de $60°$. P(bleu) =
   Les couleurs n’ont pas la même chance : on compare les angles au tour complet. ${\displaystyle \frac{120}{360}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.
3. Une urne contient $36$ boules blanches ou noires, et P(blanche) $={\displaystyle \frac{5}{9}}$. Nombre de boules noires :
   Boules blanches : ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ de $36$, soit $36÷9\times 5=20$. Boules noires : $36-20=16$.

Mehdi lance $40$ fois un dé et note les résultats : le $1$ sort $5$ fois, le $2$ : $8$ fois, le $3$ : $7$ fois, le $4$ : $6$ fois, le $5$ : $4$ fois, le $6$ : $10$ fois.

1. Fréquence du $6$ en écriture décimale :
   ${\displaystyle \frac{10}{40}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$.
2. Fréquence du $2$ en pourcentage : %
   ${\displaystyle \frac{8}{40}}={\displaystyle \frac{1}{5}}=0,2=20\%$.
3. Fréquence de « obtenir un nombre pair » en écriture décimale :
   Nombres pairs : $8+6+10=24$ fois. ${\displaystyle \frac{24}{40}}={\displaystyle \frac{6}{10}}=0,6$.
4. Probabilité d’obtenir un nombre pair avec un dé équilibré, en écriture décimale :
   $3$ faces paires sur $6$ : ${\displaystyle \frac{3}{6}}=0,5$. Sur $40$ lancers, la fréquence $0,6$ s’en écarte : c’est la fluctuation.

Ce qu’on peut attendre sur un grand nombre d’essais.

1. On lance $500$ fois une pièce équilibrée. Environ combien de fois s’attend-on à obtenir face ?
   P(face) $={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : environ $500÷2=250$ fois (pas forcément exactement).
2. On tire $200$ fois une boule, en la remettant à chaque fois, dans une urne de $10$ boules dont $3$ rouges. Environ combien de boules rouges attend-on ?
   P(rouge) $={\displaystyle \frac{3}{10}}$ : environ ${\displaystyle \frac{3}{10}}$ de $200$, soit $200÷10\times 3=60$ boules rouges.
3. Une pièce équilibrée est tombée $6$ fois de suite sur pile. Probabilité d’obtenir pile au lancer suivant, en écriture décimale :
   La pièce n’a pas de mémoire : P(pile) reste ${\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5$.

Estimer une probabilité à partir de fréquences.

1. On lance $250$ fois un bouchon : il tombe $70$ fois sur le côté. Fréquence de « sur le côté » en écriture décimale :
   ${\displaystyle \frac{70}{250}}={\displaystyle \frac{28}{100}}=0,28$.
2. Avec cette estimation, combien de fois peut-on s’attendre à le voir tomber sur le côté sur $1000$ lancers ?
   On estime la probabilité à $0,28$ : environ $1000\times 0,28=280$ fois.
3. Dans un tableau de fréquences, trois issues ont pour fréquences $0,35$ ; $0,4$ et $0,1$. Il y a une quatrième issue. Sa fréquence :
   La somme des fréquences vaut $1$ : $1-0,35-0,4-0,1=0,15$.