Collège · 5ᵉ · Mathématiques
Les statistiques
Lire, organiser et représenter des données : effectifs, fréquences, moyenne et graphiques (programme de 5e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Les statistiques » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Vocabulaire d'une série statistique, Effectifs et tableau d'effectifs, La fréquence d'une valeur, Diagramme en bâtons et histogramme. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
1
Vocabulaire d'une série statistique
Faire des statistiques, c'est recueillir des données sur un groupe, les organiser, puis les représenter pour les comprendre.
Vocabulaire.
- La population : l'ensemble étudié (les élèves d'une classe, des familles…).
- Le caractère : ce que l'on observe (la pointure, la couleur des yeux…).
- Les valeurs : les résultats possibles du caractère.
- L'individu : un élément de la population.
Exemple. On interroge les $24$ élèves d'une classe sur leur nombre de frères et sœurs. Population : les $24$ élèves ; caractère : le nombre de frères et sœurs ; valeurs : $0$, $1$, $2$, $3$…
Astuce. Un caractère peut être un nombre (une taille, une note) ou une catégorie (une couleur, un moyen de transport) : les outils ne sont pas les mêmes, on ne calcule pas la moyenne d'une couleur.
2
Effectifs et tableau d'effectifs
Définition. L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît. L'effectif total est le nombre d'individus de la population.
On organise les données dans un tableau d'effectifs.
Exemple. Nombre de frères et sœurs des $24$ élèves d'une classe :
| Nombre de frères et sœurs | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | $5$ | $9$ | $7$ | $3$ | $24$ |
Attention ! La somme des effectifs doit toujours redonner l'effectif total : $5 + 9 + 7 + 3 = 24$. C'est le premier contrôle à faire.
3
La fréquence d'une valeur
L'effectif dit combien, mais pas quelle part : $10$ élèves sur $24$ ou $10$ sur $200$, ce n'est pas la même chose.
Définition. $$f = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$$ La fréquence est comprise entre $0$ et $1$. Multipliée par $100$, elle donne un pourcentage.
Exemple. $9$ élèves sur $24$ ont un frère ou une sœur : $f = \dfrac{9}{24} = 0{,}375$, soit $37{,}5\,\%$.
Attention ! La somme de toutes les fréquences vaut toujours $1$ (soit $100\,\%$). Un total qui donne $1{,}2$ signale une erreur de calcul.
Astuce. La fréquence permet de comparer deux groupes de tailles différentes : c'est exactement le rôle d'une proportion.
4
Diagramme en bâtons et histogramme
Un graphique rend la série lisible d'un coup d'œil.
Diagramme en bâtons. Les valeurs en abscisse, un bâton par valeur dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif. On l'utilise quand le caractère prend quelques valeurs isolées.
Histogramme. Quand les données sont trop nombreuses, on les regroupe en classes (intervalles) : $[0\,;\,5[$, $[5\,;\,10[$… Chaque barre représente l'effectif d'une classe.
5
Le diagramme circulaire
Le diagramme circulaire (« camembert ») montre une répartition : chaque part correspond à une valeur.
Règle. Le disque entier ($360°$) représente l'effectif total. $$\text{angle} = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360°$$
Exemple. Sur $30$ élèves : $12$ viennent à pied, $10$ en bus, $8$ à vélo.
À pied : $\dfrac{12}{30} \times 360 = 144°$ ; bus : $120°$ ; vélo : $96°$. Total : $360°$.
À pied : $\dfrac{12}{30} \times 360 = 144°$ ; bus : $120°$ ; vélo : $96°$. Total : $360°$.
Attention ! Les angles doivent totaliser exactement $360°$. Si ce n'est pas le cas, une part a été mal calculée.
6
Moyenne simple et moyenne pondérée
La moyenne résume toute la série en une seule valeur.
Moyenne simple. $$\text{moyenne} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$$
Exemple. Notes $12$, $15$, $9$ et $16$ : $\dfrac{12 + 15 + 9 + 16}{4} = \dfrac{52}{4} = 13$.
Moyenne pondérée. Quand chaque valeur a un effectif (ou un coefficient), on multiplie chaque valeur par son effectif avant d'additionner : $$\text{moyenne} = \frac{\sum (\text{valeur} \times \text{effectif})}{\text{effectif total}}$$
Exemple. Valeur $0$ (effectif $5$), $1$ ($9$), $2$ ($7$), $3$ ($3$) :
$\dfrac{0 \times 5 + 1 \times 9 + 2 \times 7 + 3 \times 3}{24} = \dfrac{32}{24} \approx 1{,}3$ frère ou sœur en moyenne.
$\dfrac{0 \times 5 + 1 \times 9 + 2 \times 7 + 3 \times 3}{24} = \dfrac{32}{24} \approx 1{,}3$ frère ou sœur en moyenne.
Attention ! La moyenne de deux moyennes n'est pas la moyenne de l'ensemble si les groupes n'ont pas le même effectif : $20$ élèves à $11$ et $30$ élèves à $13$ donnent $\dfrac{220 + 390}{50} = 12{,}2$, et non $12$.
7
Lire et interpréter un graphique
Lire un graphique, c'est répondre à trois questions : quelle grandeur ? quelle unité ? quel ordre de grandeur ?
Méthode.
1. Lire le titre et les axes (que représente chaque axe, dans quelle unité).
2. Repérer les valeurs extrêmes (la plus grande, la plus petite).
3. Calculer ce que l'on demande : effectif, fréquence, moyenne.
4. Interpréter par une phrase, en n'oubliant pas l'unité.
1. Lire le titre et les axes (que représente chaque axe, dans quelle unité).
2. Repérer les valeurs extrêmes (la plus grande, la plus petite).
3. Calculer ce que l'on demande : effectif, fréquence, moyenne.
4. Interpréter par une phrase, en n'oubliant pas l'unité.
Attention aux graphiques trompeurs ! Un axe vertical qui ne commence pas à $0$ exagère les écarts : vérifie toujours la graduation avant de conclure.
En bref
- Effectif d'une valeur = nombre de fois où elle apparaît ; la somme des effectifs = effectif total.
- Fréquence $= \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$, entre $0$ et $1$ ; $\times 100$ pour un pourcentage. Somme des fréquences $= 1$.
- Angle d'un secteur $= \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360°$ ; total $= 360°$.
- Moyenne simple $= \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$.
- Moyenne pondérée : chaque valeur est multipliée par son effectif avant la division.
- La moyenne de deux moyennes n'est valable que si les groupes ont le même effectif.
Bloqué sur ce chapitre ?
Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs