Effectifs, fréquences, diagrammes, moyenne et étendue
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Les statistiques » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Une série statistique : de quoi parle-t-on ?, Effectif et effectif total, Construire et lire un tableau d'effectifs, La fréquence (et le pourcentage). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Une série statistique : de quoi parle-t-on ?
2 · Effectif et effectif total
3 · Construire et lire un tableau d'effectifs
4 · La fréquence (et le pourcentage)
5 · Le diagramme en bâtons
6 · Le diagramme circulaire (les angles)
7 · La moyenne (simple et pondérée)
8 · L'étendue & lire/interpréter des données
1Une série statistique : de quoi parle-t-on ?
Faire des statistiques, c'est recueillir, organiser puis résumer des informations pour mieux les comprendre. On observe un groupe (une classe, une équipe, des clients…) selon un caractère (la pointure, la couleur préférée, la note obtenue…).
Vocabulaire de base.
La population : l'ensemble de tout ce qu'on étudie (ex. les 25 élèves de la classe).
Un individu : un élément de la population (ex. un élève).
Le caractère (ou variable) : ce qu'on observe (ex. la pointure).
Les valeurs : les résultats possibles du caractère (ex. 36, 37, 38, 39…).
La série statistique : l'ensemble de toutes les données recueillies.
Exemple. On demande à 12 élèves leur nombre de frères et sœurs. On obtient la série : 1 ; 0 ; 2 ; 1 ; 3 ; 1 ; 0 ; 2 ; 1 ; 4 ; 2 ; 1. Ici la population = les 12 élèves, le caractère = « nombre de frères et sœurs », les valeurs = 0, 1, 2, 3, 4.
💡 Un caractère peut être numérique (un nombre : âge, taille, note) ou non numérique (un mot : couleur, sport, moyen de transport). On ne peut calculer une moyenne que pour un caractère numérique.
2Effectif et effectif total
Définition. L'effectif d'une valeur, c'est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série. L'effectif total, c'est le nombre total d'individus : c'est la somme de tous les effectifs.
Reprenons la série des frères et sœurs de la section 1. On compte chaque valeur (on peut faire des « bâtons » au brouillon pour ne rien oublier) :
Valeur (nb de frères et sœurs)
0
1
2
3
4
Total
Effectif
2
5
3
1
1
12
Il y a par exemple 5 élèves qui ont 1 frère ou sœur : l'effectif de la valeur 1 est 5.
💡 Vérification indispensable : la somme des effectifs doit toujours redonner l'effectif total. Ici 2 + 5 + 3 + 1 + 1 = 12. Si tu ne retrouves pas le bon total, tu as fait une erreur de comptage.
⚠️ Ne confonds pas la valeur (l'information observée, ici « 1 frère/sœur ») et l'effectif (combien d'individus, ici « 5 élèves »). Ce sont deux nombres différents qui se lisent sur deux lignes différentes du tableau.
3Construire et lire un tableau d'effectifs
Un tableau d'effectifs range proprement toutes les données : une ligne (ou colonne) pour les valeurs, une pour les effectifs. C'est la première chose à faire devant une série « en vrac ».
Méthode pas à pas
Pour construire un tableau d'effectifs :
1. Je repère toutes les valeurs différentes et je les range (souvent dans l'ordre croissant).
2. Je compte l'effectif de chaque valeur (avec des bâtons pour ne pas en oublier).
3. Je note les effectifs dans le tableau.
4. Je calcule la somme et je vérifie qu'elle vaut l'effectif total.
Lire ce tableau, c'est répondre à des questions : « Combien d'élèves ont eu 4 ? » → 7. « Combien ont eu au moins 4 (c'est-à-dire 4 ou 5) ? » → 7 + 4 = 11. « Combien ont eu moins de 3 (1 ou 2) ? » → 1 + 2 = 3.
⚠️ « au moins 4 » veut dire 4 ou plus (4 inclus). « plus de 4 » veut dire strictement plus que 4, donc 4 n'est pas compté. Lis bien l'énoncé !
4La fréquence (et le pourcentage)
L'effectif dit combien d'individus. La fréquence dit quelle proportion du total ils représentent. C'est très utile pour comparer deux groupes de tailles différentes.
Définition. La fréquence d'une valeur est le quotient :
fréquence = effectif de la valeureffectif total
C'est un nombre entre 0 et 1. Multiplié par 100, il donne le pourcentage (%).
Exemple. Dans la classe de 20 élèves, 7 ont eu la note 4. Fréquence = 720 = 0,35. En pourcentage : 0,35 × 100 = 35 % des élèves ont eu 4.
Méthode pour trouver un pourcentage
pourcentage = effectifeffectif total × 100. On calcule d'abord la division (la fréquence), puis on multiplie par 100 (la virgule avance de 2 rangs).
On complète souvent le tableau avec une ligne « fréquence » et une ligne « % » :
Note
1
2
3
4
5
Total
Effectif
1
2
6
7
4
20
Fréquence
0,05
0,10
0,30
0,35
0,20
1
Pourcentage
5 %
10 %
30 %
35 %
20 %
100 %
💡 Contrôle infaillible : la somme de toutes les fréquences fait toujours 1, et la somme des pourcentages fait toujours 100 %. Sinon, il y a une erreur.
⚠️ Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1 : tu ne peux pas trouver une fréquence de 3 ou de 1,5. Si ça arrive, tu as inversé la division (effectif total au numérateur). On divise l'effectif PAR le total, jamais l'inverse.
5Le diagramme en bâtons
Un diagramme en bâtons représente les effectifs (ou les fréquences) par des bâtons verticaux : un bâton par valeur, et la hauteur du bâton est proportionnelle à l'effectif.
Pour le construire :
un axe horizontal pour les valeurs ;
un axe vertical gradué régulièrement pour les effectifs ;
un bâton par valeur, tous de même largeur, hauteur = effectif ;
on n'oublie pas un titre et le nom des axes.
Voici le diagramme en bâtons des notes du contrôle (effectifs 1, 2, 6, 7, 4) :
Pour lire un diagramme en bâtons, on regarde la hauteur de chaque bâton sur l'axe vertical : le bâton de la note 4 monte jusqu'à 7, donc 7 élèves.
💡 Les bâtons sont séparés et de même largeur. Seule la hauteur porte l'information : une largeur plus grande ne veut rien dire.
6Le diagramme circulaire (les angles)
Un diagramme circulaire (« camembert ») représente chaque valeur par un secteur (une part de disque). Le disque entier (360°) représente l'effectif total, donc 100 %. Plus une valeur a un grand effectif, plus son secteur est grand.
Idée clé (proportionnalité). L'angle d'un secteur est proportionnel à son effectif. Comme le total correspond à 360° :
angle = effectif de la valeureffectif total × 360°
Exemple. 30 élèves choisissent un sport : Foot 12, Tennis 9, Danse 6, Judo 3. On calcule chaque angle :
Foot : 1230 × 360° = 0,4 × 360 = 144°
Tennis : 930 × 360° = 108°
Danse : 630 × 360° = 72°
Judo : 330 × 360° = 36°
Sport
Foot
Tennis
Danse
Judo
Total
Effectif
12
9
6
3
30
Angle
144°
108°
72°
36°
360°
💡 Méthode sûre : je fais un tableau de proportionnalité entre « effectif » et « angle », avec le coefficient 360effectif total. Ici 36030 = 12 : chaque individu « vaut » 12°.
⚠️ Vérifie toujours que la somme des angles fait 360° (144 + 108 + 72 + 36 = 360). Pour tracer, on utilise le rapporteur en partant d'un rayon, secteur après secteur.
7La moyenne (simple et pondérée)
Moyenne d'une liste de nombres
Définition. La moyenne d'une série de nombres est :
moyenne = somme de toutes les valeursnombre de valeurs
⚠️ Au dénominateur, on met l'effectif total (le nombre d'élèves : 20), pas le nombre de valeurs différentes (5). Erreur classique !
💡 La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur. Ici elle vaut 3,55, bien entre 1 et 5. Si tu trouves un résultat hors de cet intervalle, recommence.
8L'étendue & lire/interpréter des données
L'étendue
Définition. L'étendue d'une série mesure sa « largeur », son écart entre les extrêmes :
étendue = valeur la plus grande − valeur la plus petite
Exemple. Pour la série 12 ; 8 ; 15 ; 11 ; 14 : la plus grande est 15, la plus petite est 8. Étendue = 15 − 8 = 7.
⚠️ L'étendue se calcule sur les valeurs, pas sur les effectifs. Et le résultat est un seul nombre (pas un intervalle).
Lire et interpréter
Interpréter, c'est donner un sens aux nombres avec une phrase complète. Quelques tournures fréquentes :
la valeur la plus fréquente = celle qui a le plus grand effectif (ici la note 4) ;
« combien au moins… » → on additionne les effectifs concernés ;
une fréquence/un pourcentage permet de comparer deux groupes de tailles différentes ;
la moyenne résume la série par un seul nombre représentatif.
🎓 Récap express : effectif = combien de fois · effectif total = somme des effectifs · fréquence = effectiftotal (×100 pour les %) · diagramme en bâtons : hauteur ∝ effectif · diagramme circulaire : angle = effectiftotal × 360° · moyenne = sommenombre de valeurs · étendue = max − min.