À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Les statistiques » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une série statistique ?, Effectifs et tableau d'effectifs, La fréquence d'une valeur, Le diagramme en bâtons. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une série statistique ?
2 · Effectifs et tableau d'effectifs
3 · La fréquence d'une valeur
4 · Le diagramme en bâtons et l'histogramme
5 · Le diagramme circulaire (camembert)
6 · La moyenne d'une série
7 · Méthode : organiser et traiter des données
1Qu'est-ce qu'une série statistique ?
Faire des statistiques, c'est recueillir des données sur un groupe, les organiser, puis les représenter pour mieux les comprendre.
Vocabulaire.- La population est l'ensemble étudié (les élèves d'une classe, des familles, des animaux…).
- Le caractère est ce que l'on observe (la pointure, la couleur des yeux, le nombre de frères et sœurs…).
- Les valeurs sont les résultats possibles du caractère.
Exemple. On demande à $24$ élèves combien ils ont de frères et sœurs. La population, ce sont les $24$ élèves. Le caractère, c'est le « nombre de frères et sœurs ». Les valeurs observées sont $0$, $1$, $2$, $3$…
Un caractère peut être numérique (la pointure, l'âge, une note : on peut faire des calculs dessus) ou non numérique, aussi appelé qualitatif (la couleur préférée, le sport pratiqué).
2Effectifs et tableau d'effectifs
Définition. L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série. L'effectif total est le nombre total de données : c'est la taille de la population.
Pour ranger les données, on construit un tableau d'effectifs. On compte combien de fois chaque valeur revient.
Exemple. Dans une classe, on relève le nombre de frères et sœurs de chaque élève :
| Nombre de frères et sœurs | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | Total |
| Effectif | $5$ | $10$ | $6$ | $3$ | $24$ |
L'effectif total est $5 + 10 + 6 + 3 = 24$ : il y a bien $24$ élèves. La valeur $1$ a l'effectif le plus grand : c'est la valeur la plus fréquente.
Astuce. Vérifie toujours que la somme des effectifs est bien égale à l'effectif total. C'est le meilleur moyen de repérer une erreur de comptage.
3La fréquence d'une valeur
L'effectif dit combien, mais ne dit pas quelle part. Avoir $10$ élevés sur $24$ ou $10$ sur $200$, ce n'est pas la même chose ! La fréquence répond à cette question.
Définition. La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total :
$$f = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$$
C'est un nombre compris entre $0$ et $1$. On peut l'écrire en pourcentage en le multipliant par $100$.
Exemple. Sur les $24$ élèves, $6$ ont $2$ frères et sœurs. La fréquence est $f = \frac{6}{24} = 0{,}25$, soit $0{,}25 \times 100 = 25\,\%$. Un quart des élèves a donc $2$ frères et sœurs.
| Valeur | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| Effectif | $5$ | $10$ | $6$ | $3$ |
| Fréquence (%) | $\approx 21$ | $\approx 42$ | $25$ | $12{,}5$ |
Astuce. La somme de toutes les fréquences vaut toujours $1$ (soit $100\,\%$). Si tu trouves $98\,\%$ ou $103\,\%$, c'est souvent juste un arrondi… ou une erreur à vérifier.
Attention ! Pour calculer une fréquence, on divise par l'effectif total, jamais par le nombre de valeurs différentes. Ici on divise par $24$, pas par $4$.
4Le diagramme en bâtons
Pour voir les données d'un coup d'œil, on les représente par un graphique. Quand le caractère prend quelques valeurs séparées, on utilise un diagramme en bâtons.
Diagramme en bâtons. Sur l'axe horizontal, on place les valeurs. Pour chaque valeur, on trace un bâton dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence).
Exemple. Un professeur relève les notes d'un contrôle sur $10$. Voici les effectifs :
| Note | $4$ | $6$ | $8$ | $10$ |
| Effectif | $2$ | $7$ | $9$ | $4$ |
On lit immédiatement que la note $8$ a été obtenue le plus souvent (par $9$ élèves) et que la note $4$ est la plus rare (seulement $2$ élèves).
Astuce. Quand les valeurs sont regroupées par classes (par exemple $[0\,;\,5[$, $[5\,;\,10[$), on parle d'histogramme : les bâtons se touchent car ils représentent des intervalles.
5Le diagramme circulaire (camembert)
Le diagramme circulaire, ou « camembert », est très utile pour montrer la répartition : chaque part du disque représente une valeur.
Règle. Le disque entier ($360^\circ$) représente l'effectif total ($100\,\%$). L'angle d'une part se calcule avec :
$$\text{angle} = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360^\circ$$
Exemple. Sur $30$ élèves, on relève le moyen de transport pour venir au collège : à pied $12$, en bus $9$, en voiture $6$, à vélo $3$.
Part « à pied » : $\frac{12}{30} \times 360 = 144^\circ$.
Part « en bus » : $\frac{9}{30} \times 360 = 108^\circ$.
| Transport | À pied | Bus | Voiture | Vélo |
| Effectif | $12$ | $9$ | $6$ | $3$ |
| Angle | $144^\circ$ | $108^\circ$ | $72^\circ$ | $36^\circ$ |
Astuce. Vérifie ton camembert : la somme des angles doit faire $360^\circ$. Ici $144 + 108 + 72 + 36 = 360$. C'est correct !
6La moyenne d'une série
La moyenne est un nombre qui résume toute la série en une seule valeur « typique ».
Définition. La moyenne d'une série s'obtient en additionnant toutes les valeurs, puis en divisant par leur nombre :
$$\text{moyenne} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$$
Exemple simple. Antoine a obtenu les notes $12$, $15$, $9$ et $16$. Sa moyenne est :
$$\frac{12 + 15 + 9 + 16}{4} = \frac{52}{4} = 13$$ Antoine a $13$ de moyenne.
Avec un tableau d'effectifs. Quand une valeur revient plusieurs fois, on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l'effectif total :
$$\text{moyenne} = \frac{(v_1 \times e_1) + (v_2 \times e_2) + \dots}{\text{effectif total}}$$
Exemple. Avec les notes du contrôle (section 4) :
$$\text{moyenne} = \frac{(4 \times 2) + (6 \times 7) + (8 \times 9) + (10 \times 4)}{2 + 7 + 9 + 4} = \frac{8 + 42 + 72 + 40}{22} = \frac{162}{22} \approx 7{,}4$$ La moyenne de la classe est d'environ $7{,}4$ sur $10$.
Attention ! Avec un tableau d'effectifs, on divise par l'effectif total (ici $22$), pas par le nombre de valeurs différentes ($4$). C'est l'erreur la plus fréquente.
7Méthode : organiser et traiter des données
Face à une liste brute de données, voici les étapes à suivre dans l'ordre.
| Effectif | Combien de fois la valeur apparaît |
| Effectif total | Somme de tous les effectifs = taille de la population |
| Fréquence | $f = \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$, entre $0$ et $1$ (ou en %) |
| Moyenne | $\dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$ |
| Angle (camembert) | $\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360^\circ$ |
Astuce. Choisis le bon graphique : bâtons pour comparer des effectifs, camembert pour montrer des parts d'un tout, histogramme pour des données regroupées en classes.
★À retenir
En bref :
• L'effectif d'une valeur = le nombre de fois où elle apparaît ; l'effectif total = la taille de la population.
• La fréquence : $f = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$, entre $0$ et $1$, souvent en % ; la somme des fréquences vaut $1$ ($100\,\%$).
• La moyenne $= \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$ ; avec un tableau, on divise par l'effectif total.
• Diagramme en bâtons pour comparer, camembert pour les parts (angle $= \frac{\text{effectif}}{\text{total}} \times 360^\circ$).