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Statistiques : effectifs, fréquences et diagrammes
Série statistique, population, caractère, effectifs et tableaux (rappels de 6ᵉ, tableau à double entrée), fréquences sous forme de fraction, de nombre décimal et de pourcentage, diagramme en barres (lire, construire, repérer un diagramme trompeur), diagramme circulaire et semi-circulaire (calculer les angles, lire, construire) et choix d’une représentation adaptée.
À propos de cette page
Rappels de 6ᵉ : série statistique, effectifs et tableaux
Faire des statistiques, c’est recueillir des données sur un groupe, les organiser dans un tableau, puis les représenter pour les comprendre. Cette partie reprend la gestion de données de 6ᵉ et ajoute le vocabulaire de la 5ᵉ.
L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît dans la série. L’effectif total est le nombre de données : c’est aussi la somme de tous les effectifs.
On range la série dans un tableau d’effectifs, puis on contrôle que la somme des effectifs redonne l’effectif total. Dans un tableau à double entrée, les données sont rangées selon deux critères ; une case Total est une somme.
On a demandé aux 25 élèves de la 5ᵉ B combien de livres ils ont lus pendant les vacances. Population : les 25 élèves de la 5ᵉ B ; individu : un élève ; caractère : le nombre de livres lus ; valeurs : 0, 1, 2, 3 et 4.
La série : 2 ; 1 ; 0 ; 3 ; 1 ; 2 ; 4 ; 1 ; 2 ; 1 ; 3 ; 0 ; 2 ; 1 ; 4 ; 2 ; 1 ; 3 ; 1 ; 2 ; 0 ; 4 ; 2 ; 1 ; 3.
Nombre de livres lus par les 25 élèves de la 5ᵉ B
| Livres lus | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 8 | 7 | 4 | 3 | 25 |
La valeur 1 apparaît 8 fois dans la série : son effectif est 8 (on coche les données au fur et à mesure pour n’en oublier aucune).
Contrôle : 3 + 8 + 7 + 4 + 3 = 25, c’est bien le nombre d’élèves interrogés ✓
Filtrer selon un critère : les élèves qui ont lu au moins 3 livres sont 4 + 3 = 7.
Un caractère peut être un nombre (un nombre de livres, une taille, une note) ou une catégorie (une couleur, un genre de livre, une langue). On peut toujours compter des effectifs, mais on ne fait pas de calcul sur des catégories.
Le tableau à double entrée
Langue vivante 2 choisie par les élèves de 5ᵉ d’un collège
| Espagnol | Allemand | Italien | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Filles | 38 | 12 | ? | 64 |
| Garçons | ? | 15 | 9 | 59 |
| Total | ? | 27 | 23 | 123 |
Filles, italien : la ligne des filles fait 64 au total, donc 64 − 38 − 12 = 14.
Garçons, espagnol : 59 − 15 − 9 = 35. Total de l’espagnol : 38 + 35 = 73.
Contrôle : la ligne Total donne 73 + 27 + 23 = 123 et la colonne Total donne 64 + 59 = 123 ✓
Réflexe — je repère la population, le caractère et l’effectif total ; je compte les effectifs en cochant les données, puis je vérifie que leur somme redonne l’effectif total.
Attention — l’effectif d’une valeur n’est pas la valeur elle-même : dans la 5ᵉ B, la valeur 4 (livres) a pour effectif 3 (élèves). Et une case vide d’un tableau se calcule avec sa ligne ou sa colonne de total, pas avec une autre.
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Fréquences : fraction, nombre décimal, pourcentage
On peut l’écrire sous forme de fraction (simplifiée si possible), de nombre décimal ou de pourcentage (on multiplie le nombre décimal par 100).
Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1 (entre 0 % et 100 %). La somme de toutes les fréquences vaut 1, soit 100 %.
Inversement, effectif = fréquence × effectif total.
L’effectif dit combien ; la fréquence dit quelle part du total. C’est elle qu’on utilise pour comparer deux groupes de tailles différentes.
| Livres lus | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 8 | 7 | 4 | 3 | 25 |
| Fréquence (fraction) | 1 | |||||
| Fréquence (décimal) | 0,12 | 0,32 | 0,28 | 0,16 | 0,12 | 1 |
| Fréquence (%) | 12 % | 32 % | 28 % | 16 % | 12 % | 100 % |
8 élèves de la 5ᵉ B sur 25 ont lu un seul livre : 8 ÷ 25 = 0,32 et 0,32 × 100 = 32, la fréquence est 32 %.
Contrôle : 12 + 32 + 28 + 16 + 12 = 100 ✓
18 des 30 élèves de la 5ᵉ D sont demi-pensionnaires : = = 0,6, soit 60 %.
5 des 12 joueurs d’une équipe sont gauchers : 5 ÷ 12 ≈ 0,417, soit environ 41,7 % (valeur approchée : on écrit ≈).
Comparer deux groupes, retrouver un effectif
Au club théâtre, 9 des 15 membres sont en 5ᵉ ; à la chorale, 21 des 42 membres. 9 ÷ 15 = 0,6 et 21 ÷ 42 = 0,5 : la fréquence des élèves de 5ᵉ est plus grande au club théâtre (60 % contre 50 %), alors que la chorale en compte davantage.
Dans un collège de 650 élèves, la fréquence des externes est 12 % : × 650 = 12 × 650 ÷ 100 = 78 élèves sont externes.
Réflexe — pour une fréquence, je divise l’effectif de la valeur par l’effectif total ; pour un pourcentage, je multiplie ensuite par 100 ; à la fin, je vérifie que les fréquences font 1, ou 100 %.
Attention — on divise par l’effectif total, pas par l’effectif d’une autre valeur. Une fréquence ne dépasse jamais 1 : si la somme des fréquences donne 1,2 ou 120 %, il y a une erreur de calcul. Et un groupe plus nombreux n’a pas forcément une plus grande fréquence.
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Diagramme en barres : lire, construire, repérer un diagramme trompeur
Pour lire : je regarde le titre, les légendes et la graduation de l’axe vertical (de combien en combien ?).
Pour construire : je place les valeurs sur l’axe horizontal (dans l’ordre si ce sont des nombres) ; je gradue l’axe vertical régulièrement, à partir de 0, avec une échelle choisie ; je trace des barres de même largeur ; j’écris le titre et les légendes.
L’axe vertical est gradué de 1 en 1 (un nombre écrit toutes les 2 lignes). La barre « 2 livres » s’arrête sur la ligne 7 : 7 élèves.
Pour tracer ce diagramme sur le cahier avec 1 cm pour 2 élèves : la barre de 8 élèves mesure 8 ÷ 2 = 4 cm, celle de 7 élèves 7 ÷ 2 = 3,5 cm, celle de 3 élèves 3 ÷ 2 = 1,5 cm.
On peut aussi graduer l’axe vertical en fréquences : 32 % pour 1 livre, 28 % pour 2 livres… Les barres gardent la même forme, car les fréquences sont proportionnelles aux effectifs.
Repérer un diagramme trompeur
Pour baptiser le foyer, « Le Repaire » a obtenu 52 votes et « L’Escale » 48 votes. Voici deux diagrammes des mêmes votes.
À gauche, l’axe commence à 46 : au-dessus de 46, la barre « Repaire » monte de 52 − 46 = 6 et la barre « Escale » de 48 − 46 = 2. Elle paraît 6 ÷ 2 = 3 fois plus haute.
Pourtant l’écart n’est que de 52 − 48 = 4 votes : à droite, avec un axe qui commence à 0, les deux barres ont presque la même hauteur.
Réflexe — avant de lire une barre, je regarde de combien en combien l’axe est gradué et s’il commence à 0 ; pour tracer, je calcule chaque hauteur avec l’échelle (effectif ÷ nombre d’élèves par cm).
Attention — un axe vertical qui ne commence pas à 0 (ou qui n’est pas gradué régulièrement) exagère les écarts : on ne compare pas les hauteurs, on lit les valeurs.
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Diagramme circulaire : angles, lecture et choix d’une représentation
angle = fréquence × 360°, c’est-à-dire effectif ÷ effectif total × 360°.
Dans un diagramme semi-circulaire, c’est le demi-disque, 180°, qui représente l’effectif total : angle = fréquence × 180°.
Contrôle : les angles font 360° en tout (180° pour un demi-disque).
Activité choisie par les 72 élèves de 5ᵉ pour la journée sportive : escalade 30 élèves, kayak 24, tir à l’arc 18. Les angles sont proportionnels aux effectifs : on complète un tableau de proportionnalité, avec 360 ÷ 72 = 5° pour un élève.
| Activité | Escalade | Kayak | Tir à l’arc | Total |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 30 | 24 | 18 | 72 |
| Angle (°) | 150 | 120 | 90 | 360 |
Escalade : × 360 = 30 × 5 = 150, donc 150°. Kayak : 24 × 5 = 120, donc 120°. Tir à l’arc : 18 × 5 = 90, donc 90° (un quart du disque).
Contrôle : 150 + 120 + 90 = 360 ✓
Construire : je trace un cercle et un rayon ; avec le rapporteur, je reporte 150° à partir de ce rayon, puis 120° à partir du nouveau rayon ; le dernier secteur doit mesurer 90°. Je colorie et j’écris la légende et le titre.
Lire un diagramme circulaire ou semi-circulaire
Pour retrouver un effectif, on fait le calcul dans l’autre sens : effectif = angle ÷ 360 × effectif total.
Sur un diagramme de 150 personnes interrogées, un secteur mesure 72° : = 0,2, soit 20 %, et 0,2 × 150 = 30 personnes.
Le demi-disque (180°) représente les 45 votes, et 180 ÷ 45 = 4 : chaque vote compte pour 4°.
Pixel : 80 ÷ 4 = 20 votes ; Comète : 60 ÷ 4 = 15 votes ; Biscuit : 40 ÷ 4 = 10 votes. Contrôle : 20 + 15 + 10 = 45 ✓
Choisir une représentation adaptée
| Ce que je veux montrer | Représentation |
|---|---|
| les valeurs exactes | un tableau |
| comparer les effectifs, surtout s’il y a beaucoup de valeurs | un diagramme en barres |
| la part de chaque valeur dans le total | un diagramme circulaire |
| une évolution au cours du temps | un graphique cartésien |
La part de chaque activité choisie par les 72 élèves : un diagramme circulaire. Le nombre d’élèves pour chaque nombre de livres lus (0, 1, 2, 3 ou 4) : un diagramme en barres. La température relevée chaque heure : un graphique cartésien.
Réflexe — pour construire, je calcule chaque angle (effectif × nombre de degrés pour un individu) et je vérifie que le total fait 360° ; pour lire, je divise l’angle par 360 et je multiplie par l’effectif total.
Attention — un angle n’est pas un effectif : 150° ne veut pas dire 150 élèves. Et si chaque personne peut donner plusieurs réponses, les parts ne forment plus un tout (le total des fréquences peut dépasser 100 %) : on ne fait pas de diagramme circulaire.
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Pour aller plus loin
La moyenne — la moyenne d’une série résume toutes les valeurs en une seule : on additionne les valeurs, puis on divise par leur nombre. Les notes 11, 14, 8 et 15 ont pour moyenne (11 + 14 + 8 + 15) ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12. Voir Statistiques : la moyenne.
Pourcentages — calculer une proportion et appliquer un pourcentage dans d’autres situations (réductions, parts d’un prix) : voir Proportions et pourcentages.
Probabilités — quand on répète une expérience aléatoire, on range les résultats dans un tableau d’effectifs et de fréquences : la fréquence observée se compare à la probabilité. Voir Probabilités : vocabulaire et équiprobabilité.
Graphique cartésien — lire et tracer un graphique qui montre une grandeur en fonction d’une autre (souvent du temps) : voir Fonctions : « en fonction de », tableaux et graphiques.
Au tableur — on saisit les valeurs sur une ligne et les effectifs sur la ligne du dessous. Si les effectifs sont dans les cellules B2 à F2, la formule =SOMME(B2:F2) écrite en G2 donne l’effectif total, et la formule =B2/G2 donne la fréquence de la première valeur. On sélectionne ensuite le tableau et on insère un diagramme en barres ou un diagramme circulaire : le logiciel calcule lui-même les hauteurs des barres et les angles des secteurs.
En 4ᵉ — la moyenne pondérée (calculée à partir d’un tableau d’effectifs), la médiane et l’étendue d’une série.
Pour aller plus loin (prolongement proposé par le programme) — en 1858, l’infirmière britannique Florence Nightingale publie un diagramme en forme de rose sur les causes de décès des soldats britanniques pendant la guerre de Crimée. Il montre que la plupart sont morts de maladies que l’on pouvait éviter, bien plus que de leurs blessures : ce diagramme a servi à défendre une meilleure hygiène dans les hôpitaux militaires.
- Population = l’ensemble étudié ; individu = un de ses éléments ; caractère = ce que l’on observe ; la liste des données forme une série statistique.
- Effectif d’une valeur = nombre de fois où elle apparaît ; effectif total = nombre de données = somme des effectifs (c’est le contrôle à faire). Dans un tableau, une case Total est une somme.
- Fréquence = effectif ÷ effectif total, en fraction, en nombre décimal (entre 0 et 1) ou en pourcentage ; les fréquences font 1, soit 100 %, en tout.
- Diagramme en barres : axe vertical gradué régulièrement à partir de 0, hauteur proportionnelle à l’effectif ; un axe qui ne commence pas à 0 exagère les écarts.
- Diagramme circulaire : angle = fréquence × 360° (× 180° pour un demi-disque) ; les angles font 360° en tout. Effectif = angle ÷ 360 × effectif total.
- Comparer des effectifs → barres ; montrer la part de chaque valeur → diagramme circulaire ; montrer une évolution dans le temps → graphique cartésien.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une valeur, un effectif et l’effectif total ?
Si l’on note le nombre de frères de 15 enfants, « 2 frères » est une valeur ; si 4 enfants ont 2 frères, l’effectif de cette valeur est 4 ; l’effectif total est 15, le nombre de données. La somme de tous les effectifs redonne toujours l’effectif total.
Comment calculer une fréquence ?
On divise l’effectif de la valeur par l’effectif total. Si 21 élèves sur 35 mangent à la cantine, la fréquence est 21/35 = 3/5 = 0,6, soit 60 %. Une fréquence est comprise entre 0 et 1, et toutes les fréquences font 1, soit 100 %.
Comment tracer un diagramme en barres ?
On place les valeurs sur l’axe horizontal, on gradue l’axe vertical régulièrement à partir de 0 et on choisit une échelle : avec 1 cm pour 25 élèves, une barre de 60 élèves mesure 60 ÷ 25 = 2,4 cm. Un axe qui ne commence pas à 0 rend le diagramme trompeur.
Comment calculer les angles d’un diagramme circulaire ?
Angle = fréquence × 360°. Pour 40 personnes, une personne compte pour 360 ÷ 40 = 9° ; un groupe de 11 personnes occupe 11 × 9 = 99°. Les angles doivent faire 360° en tout, ou 180° pour un diagramme semi-circulaire.
Faut-il choisir un diagramme en barres, un diagramme circulaire ou un graphique ?
Le diagramme en barres compare les effectifs, le diagramme circulaire montre la part de chaque valeur dans le total, le graphique cartésien montre une évolution dans le temps. Si une personne peut donner plusieurs réponses, on évite le diagramme circulaire.
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