À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Les probabilités » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le hasard et l'expérience aléatoire, Issues et événements, Qu'est-ce qu'une probabilité ?, L'échelle des probabilités (de 0 à 1). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Le hasard et l'expérience aléatoire
2 · Issues et événements
3 · Qu'est-ce qu'une probabilité ?
4 · L'échelle des probabilités (de 0 à 1)
5 · Calculer une probabilité quand le hasard est équitable
6 · Méthode complète sur des exemples
7 · Pièges fréquents à éviter
1Le hasard et l'expérience aléatoire
Dans la vie de tous les jours, certains résultats sont impossibles à prévoir à l'avance : le côté sur lequel tombe une pièce, le numéro d'un dé, la couleur d'une bille tirée d'un sac. On dit alors que le résultat dépend du hasard.
Définition. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît à l'avance tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat avant de la réaliser.
Exemple. Lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire : on sait que le résultat sera $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$, mais on ne sait pas lequel avant de lancer.
Au contraire, « le soleil se lèvera demain » n'est pas une expérience aléatoire : le résultat est connu d'avance.
2Issues et événements
Pour étudier une expérience aléatoire, on liste d'abord tous ses résultats possibles.
Définitions.
• Une issue est un résultat possible de l'expérience.
• Un événement est un ensemble d'issues qui répondent à une même condition.
Exemple (dé à six faces). Les issues sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ : il y en a $6$.
L'événement « obtenir un nombre pair » est composé des issues $2$, $4$ et $6$ : il y a $3$ issues favorables à cet événement.
Une issue qui réalise l'événement est dite favorable. Compter les issues favorables est la première étape de tout calcul de probabilité.
| Événement (dé) | Issues favorables | Nombre |
|---|
| « faire un $6$ » | $6$ | $1$ |
| « faire un nombre pair » | $2 ; 4 ; 6$ | $3$ |
| « faire un nombre $> 4$ » | $5 ; 6$ | $2$ |
3Qu'est-ce qu'une probabilité ?
La probabilité d'un événement est un nombre qui mesure la chance qu'il a de se réaliser. Plus la probabilité est grande, plus l'événement a de chances de se produire.
Règle. La probabilité d'un événement est un nombre toujours compris entre $0$ et $1$.
• Un événement impossible a une probabilité de $0$.
• Un événement certain a une probabilité de $1$.
Exemple. En lançant un dé à six faces :
• « obtenir le nombre $7$ » est impossible : probabilité $0$.
• « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » est certain : probabilité $1$.
On peut écrire une probabilité sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Par exemple $\frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%$.
4L'échelle des probabilités (de 0 à 1)
On peut placer les événements sur une échelle graduée de $0$ (impossible) à $1$ (certain). Plus on se rapproche de $1$, plus l'événement est probable.
Astuce. Un événement de probabilité $\frac{1}{2}$ a « une chance sur deux » de se produire : il est aussi probable que son contraire. C'est le cas de « pile » au lancer d'une pièce équilibrée.
| Mot du langage courant | Probabilité proche de |
|---|
| Impossible | $0$ |
| Peu probable | proche de $0$ |
| Une chance sur deux | $\frac{1}{2}$ |
| Très probable | proche de $1$ |
| Certain | $1$ |
5Calculer une probabilité quand le hasard est équitable
Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (dé équilibré, pièce équilibrée, tirage au sort honnête), on dit que les issues sont équiprobables. On peut alors calculer une probabilité par un quotient.
Formule. Si toutes les issues ont la même probabilité, alors pour un événement : $$P = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$$
Exemple (dé). Probabilité de « faire un nombre pair » : il y a $3$ issues favorables ($2 ; 4 ; 6$) sur $6$ issues au total, donc $$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5.$$
Attention ! Cette formule ne fonctionne que si les issues sont équiprobables. Pour un dé truqué ou une roue à secteurs inégaux, on ne peut pas simplement diviser par le nombre de faces.
6Méthode complète sur des exemples
Exemple 1 — un sac de billes. Un sac contient $4$ billes rouges, $3$ billes bleues et $1$ bille verte. On en tire une au hasard.
Exemple. Nombre total de billes : $4 + 3 + 1 = 8$.
• $P(\text{rouge}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
• $P(\text{bleue}) = \frac{3}{8}$.
• $P(\text{verte}) = \frac{1}{8}$.
On remarque que $\frac{4}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1$ : la somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours $1$.
Exemple 2 — un jeu de cartes. Dans un jeu de $32$ cartes, on tire une carte au hasard.
Exemple. Il y a $8$ cœurs sur $32$ cartes, donc $$P(\text{cœur}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%.$$ Il y a $4$ rois, donc $P(\text{roi}) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.
7Pièges fréquents à éviter
Attention ! Une probabilité n'est jamais plus grande que $1$ ni plus petite que $0$. Si tu trouves $\frac{8}{6}$, tu as forcément fait une erreur : tu as compté plus d'issues favorables que d'issues possibles.
Attention ! Ne confonds pas le nombre d'issues favorables (le numérateur) et le nombre total d'issues (le dénominateur). Le total se place toujours en bas de la fraction.
Astuce. Vérifie ton résultat avec l'événement contraire : la probabilité de « gagner » plus la probabilité de « ne pas gagner » doit toujours faire $1$. Par exemple, si $P(\text{pair}) = \frac{1}{2}$ au dé, alors $P(\text{impair}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
★À retenir
En bref :
• Une expérience aléatoire a des résultats (les issues) qu'on ne peut pas prévoir.
• Une probabilité mesure la chance d'un événement : c'est un nombre entre $0$ (impossible) et $1$ (certain).
• Si les issues sont équiprobables : $P = \frac{\text{favorables}}{\text{total}}$.
• La somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours $1$.
• On peut écrire une probabilité en fraction, en décimal ou en pourcentage.