Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Les probabilités » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Une expérience aléatoire, c'est quoi ?, Un événement : un « paquet » d'issues, Le vocabulaire du hasard, L'échelle des probabilités, de 0 à 1. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Une expérience aléatoire, c'est quoi ?
2 · Un événement : un « paquet » d'issues
3 · Le vocabulaire du hasard
4 · L'échelle des probabilités, de 0 à 1
5 · L'équiprobabilité : toutes les issues à égalité
6 · Calculer une probabilité : cas favorables sur cas possibles
7 · Événement certain, impossible, contraire
8 · Fréquence observée et probabilité
1Une expérience aléatoire, c'est quoi ?
Dans la vie, certaines situations sont prévisibles : si je lâche un objet, il tombe ; c'est sûr. Mais beaucoup d'autres situations dépendent du hasard : on ne peut pas savoir à l'avance ce qui va se passer. Ce sont les expériences que l'on étudie en probabilités.
Définition. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît à l'avance tous les résultats possibles, mais sans pouvoir prédire lequel va réellement se produire.
Le mot aléatoire vient du latin alea, qui veut dire « dé à jouer ». Une expérience aléatoire, c'est donc une expérience « livrée au hasard ».
Trois exemples à connaître par cœur
Lancer une pièce de monnaie : on ne sait pas si elle va tomber sur Pile ou sur Face.
Lancer un dé à 6 faces : on ne sait pas quel nombre (1, 2, 3, 4, 5 ou 6) va sortir.
Tirer une boule dans une urne (un sac opaque) qui contient des boules de couleurs : on ne voit pas ce qu'on attrape.
Définition. Une issue (on dit aussi un résultat) est l'un des résultats possibles d'une expérience aléatoire. L'ensemble de toutes les issues forme la liste des issues possibles.
Expérience aléatoire
Issues possibles
Nombre d'issues
Lancer une pièce
Pile ; Face
2
Lancer un dé à 6 faces
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
6
Tirer une boule (3 rouges, 2 vertes)
Rouge ; Verte
2 couleurs
⚠️ Attention : « combien d'issues » ne veut pas toujours dire « combien d'objets ». Avec un dé, il y a 6 issues. Avec une urne de 5 boules de 2 couleurs, il y a 5 boules mais seulement 2 couleurs possibles si on regarde la couleur tirée.
2Un événement : un « paquet » d'issues
Quand on fait une expérience aléatoire, on s'intéresse souvent à une condition : « le dé donne un nombre pair », « la boule est rouge », « le tirage est supérieur à 4 »… C'est ce qu'on appelle un événement.
Définition. Un événement est une condition que l'on peut décrire avec des mots, réalisée par une ou plusieurs issues de l'expérience. On dit qu'un événement est réalisé quand l'issue obtenue fait partie de cet événement.
Reprenons le lancer d'un dé à 6 faces. Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. Voici quelques événements et les issues qui les réalisent :
Événement
Issues qui le réalisent
« Obtenir un nombre pair »
2 ; 4 ; 6
« Obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 »
5 ; 6
« Obtenir un multiple de 3 »
3 ; 6
« Obtenir le nombre 4 »
4
💡 Une seule issue (comme « obtenir 4 ») est déjà un événement. On parle alors d'un événement élémentaire : il est réalisé par une seule issue.
Exemple concret. Dans une urne, il y a 3 boules rouges, 2 boules vertes et 1 boule bleue. L'événement « tirer une boule rouge » est réalisé par 3 issues (les 3 boules rouges) ; l'événement « tirer une boule qui n'est pas bleue » est réalisé par 5 issues (les rouges et les vertes).
3Le vocabulaire du hasard
Avant de calculer quoi que ce soit, on apprend à décrire les événements avec les bons mots. Selon le nombre d'issues qui le réalisent, un événement peut être certain, impossible, possible…
Un événement est :
certain s'il se produit à coup sûr, à chaque fois (toutes les issues le réalisent) ;
impossible s'il ne peut jamais se produire (aucune issue ne le réalise) ;
possible s'il peut se produire (au moins une issue le réalise) ;
probable s'il a de bonnes chances de se produire (beaucoup d'issues le réalisent).
Avec un dé à 6 faces (issues 1, 2, 3, 4, 5, 6) :
Événement
Nature
Pourquoi
« Obtenir un nombre entre 1 et 6 »
certain
toutes les issues marchent
« Obtenir le nombre 7 »
impossible
aucune face ne porte 7
« Obtenir un nombre pair »
possible
2, 4 ou 6 conviennent
« Obtenir un nombre inférieur à 6 »
probable
5 issues sur 6 conviennent
⚠️ Ne confonds pas possible et certain. « Obtenir un nombre pair » est possible (ça peut arriver) mais pas certain (on peut aussi tomber sur un impair).
💡 On peut classer les événements du moins probable au plus probable : impossible → peu probable → aussi probable qu'improbable → probable → certain. C'est l'idée de l'échelle des probabilités, qu'on voit juste après.
4L'échelle des probabilités, de 0 à 1
Pour mesurer les chances qu'un événement se produise, on lui donne un nombre : sa probabilité. Ce nombre est toujours compris entre 0 et 1.
Règle. La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1 :
une probabilité de 0 = événement impossible ;
une probabilité de 1 = événement certain ;
plus la probabilité est proche de 1, plus l'événement est probable ;
une probabilité de 12 (soit 0,5) = il y a autant de chances que l'événement se produise ou non.
On peut représenter ces probabilités sur une échelle graduée de 0 à 1 :
Une probabilité peut s'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal, ou de pourcentage :
Fraction
Décimal
Pourcentage
Signification
12
0,5
50 %
1 chance sur 2
14
0,25
25 %
1 chance sur 4
110
0,1
10 %
1 chance sur 10
⚠️ Une probabilité ne peut jamais être plus grande que 1, ni négative. Si un calcul te donne 1,5 ou un nombre négatif, c'est qu'il y a une erreur !
5L'équiprobabilité : quand toutes les issues sont à égalité
Définition. On dit qu'il y a équiprobabilité (ou que les issues sont équiprobables) lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire.
C'est le cas dans les situations « bien faites », sans tricherie :
une pièce équilibrée : Pile et Face ont la même chance → 2 issues équiprobables ;
un dé équilibré (non truqué) : les 6 faces ont la même chance → 6 issues équiprobables ;
une urne où l'on tire une boule sans regarder, après avoir bien mélangé : chaque boule a la même chance d'être tirée.
Règle. Quand il y a n issues équiprobables, chacune a pour probabilité :
1nombre d'issues
Expérience
Nombre d'issues
Probabilité de chaque issue
Pièce équilibrée
2
12 = 0,5
Dé à 6 faces équilibré
6
16
Roue à 10 secteurs égaux
10
110 = 0,1
⚠️ L'équiprobabilité n'est pas toujours vraie ! Si un dé est truqué, ou si une urne contient des boules de tailles différentes plus faciles à attraper, les issues ne sont plus équiprobables. On ne pourra alors pas appliquer la formule simple de la section suivante.
💡 Vérifie toujours deux choses : (1) les objets sont-ils identiques (même forme, même taille) ? (2) le tirage se fait-il au hasard (sans regarder) ? Si oui, il y a équiprobabilité.
6Calculer une probabilité : cas favorables sur cas possibles
Voici la formule centrale du chapitre. Elle ne marche que dans une situation d'équiprobabilité.
Règle (formule des probabilités). Quand les issues sont équiprobables, la probabilité d'un événement est :
P(événement) = nombre de cas favorablesnombre de cas possibles
Les cas favorables sont les issues qui réalisent l'événement. Les cas possibles sont toutes les issues de l'expérience.
Méthode pas à pas
① Je liste toutes les issues possibles (et je vérifie qu'elles sont équiprobables). ② Je compte le nombre total d'issues → c'est le dénominateur. ③ Je compte les issues favorables (celles qui réalisent l'événement) → c'est le numérateur. ④ J'écris la fraction et je la simplifie si possible.
Exemple 1 — le dé
On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
① Issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6 (équiprobables, dé équilibré).
② Nombre de cas possibles : 6.
③ Cas favorables (« pair ») : 2, 4, 6 → 3 cas.
④ P(pair) = 36 = 12 = 0,5.
Exemple 2 — l'urne
Une urne contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 1 boule bleue (toutes identiques au toucher). On tire une boule au hasard.
Nombre total de boules : 4 + 3 + 1 = 8 cas possibles.
P(rouge) = 48 = 12.
P(verte) = 38.
P(bleue) = 18.
💡 Vérification utile : si tu additionnes les probabilités de toutes les issues, tu dois retrouver 1. Ici : 48 + 38 + 18 = 88 = 1. ✔
⚠️ Le numérateur (cas favorables) ne peut jamais dépasser le dénominateur (cas possibles). Sinon la probabilité dépasserait 1, ce qui est impossible.
7Événement certain, impossible, contraire
Retrouver 0 et 1 avec la formule
La formule confirme tout ce qu'on a dit sur l'échelle des probabilités :
Événement impossible : 0 cas favorable → P = 06 = 0. (Ex. « obtenir 7 » avec un dé.)
Événement certain : tous les cas sont favorables → P = 66 = 1. (Ex. « obtenir un nombre de 1 à 6 ».)
L'événement contraire
Définition. L'événement contraire d'un événement E est l'événement « E ne se produit pas ». Il est réalisé par toutes les issues qui ne sont pas dans E.
Sur un dé, le contraire de « obtenir un nombre pair » est « obtenir un nombre impair » (issues 1, 3, 5).
Règle. La probabilité d'un événement et celle de son contraire ont pour somme 1 :
P(E) + P(contraire de E) = 1
Exemple. Dans une urne, P(boule rouge) = 310. Alors la probabilité de tirer une boule non rouge est : 1 − 310 = 710. C'est souvent plus rapide que de tout recompter !
💡 Astuce : quand un événement est « compliqué » à compter directement (par exemple « au moins une fois »), il est parfois plus simple de calculer la probabilité du contraire, puis de faire 1 − ce résultat.
8Fréquence observée et probabilité
La probabilité est une prévision théorique. Mais que se passe-t-il en vrai, quand on lance réellement une pièce ou un dé de nombreuses fois ? On observe des fréquences.
Définition. La fréquence d'un résultat est le nombre de fois où ce résultat apparaît, divisé par le nombre total d'essais :
fréquence = nombre d'apparitions du résultatnombre total d'essais
Exemple. On lance une pièce 50 fois et on obtient 23 fois Pile. La fréquence de Pile est 2350 = 0,46, soit 46 %.
Le lien entre les deux
À retenir. Plus on répète l'expérience un grand nombre de fois, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique. C'est ce qu'on appelle la stabilisation des fréquences.
Avec une pièce équilibrée, P(Pile) = 0,5. Voici ce qu'on peut observer si on lance de plus en plus de fois :
Nombre de lancers
Nombre de Pile
Fréquence de Pile
10
7
0,70
100
57
0,57
1000
508
0,508
10 000
4 996
0,4996
On voit que sur peu de lancers, la fréquence peut être loin de 0,5 ; mais sur beaucoup de lancers, elle s'en rapproche nettement.
⚠️ La fréquence n'est presque jamais égale exactement à la probabilité, surtout sur peu d'essais. Ce n'est pas une erreur : le hasard fait varier les résultats. Et attention, le hasard n'a pas de mémoire : après 5 Piles d'affilée, le 6ᵉ lancer a toujours 1 chance sur 2 de donner Pile.
💡 Récap express du chapitre : une expérience aléatoire a plusieurs issues ; un événement regroupe certaines issues ; chaque événement a une probabilité entre 0 et 1 (0 = impossible, 1 = certain) ; en situation d'équiprobabilité, P = cas favorablescas possibles ; P(E) + P(contraire) = 1 ; et sur beaucoup d'essais, la fréquence observée se rapproche de la probabilité.