Probabilités : vocabulaire et équiprobabilité

Q: Quelle est la différence entre une issue et un événement ?

Une issue est un seul résultat possible d’une expérience aléatoire : avec un dé, 4 est une issue. Un événement est décrit par une phrase et peut regrouper plusieurs issues : « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues 2, 4 et 6. Pour une expérience en deux étapes, on range les issues dans un tableau à double entrée.

Q: Comment placer un événement sur l’échelle des probabilités ?

Une probabilité est comprise entre 0 et 1 : 0 pour un événement impossible, 1 pour un événement certain, 0,5 pour « une chance sur deux ». Elle s’écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage : une chance sur quatre, c’est 1/4 = 0,25 = 25 %.

Q: Comment calculer une probabilité ?

Quand toutes les issues ont la même chance (équiprobabilité), on divise le nombre d’issues favorables par le nombre total d’issues, puis on simplifie. Dans un sac de 25 jetons dont 10 rouges, la probabilité de tirer un rouge est 10/25 = 2/5 = 0,4.

Q: Comment calculer la probabilité qu’un événement ne se réalise pas ?

La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. La probabilité qu’un événement ne se réalise pas est donc 1 moins sa probabilité : si la probabilité de tirer un jeton rouge est 2/5, celle de ne pas en tirer est 1 − 2/5 = 3/5.

Q: Quelle différence entre fréquence et probabilité ?

La fréquence se mesure en répétant l’expérience : effectif ÷ nombre d’essais. Elle change d’une série à l’autre, alors que la probabilité ne change pas. Sur un grand nombre d’essais, la fréquence se rapproche en général de la probabilité ; elle permet d’estimer une probabilité qu’on ne sait pas calculer.

Le vocabulaire du hasard (expérience aléatoire, issue, événement certain, possible ou impossible) et le tableau à double entrée, l’échelle des probabilités de 0 à 1 en fraction, en décimal et en pourcentage, le calcul d’une probabilité dans une situation d’équiprobabilité, et la répétition d’une expérience : tableau d’effectifs et de fréquences, fréquence et probabilité.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 5e reprend toutes les probabilités vues en 6e et les prolonge en quatre parties : expérience aléatoire, issues, événements certains, possibles ou impossibles et tableau à double entrée ; l’échelle des probabilités de 0 à 1 avec les écritures en fraction, en décimal et en pourcentage ; le calcul d’une probabilité dans une situation d’équiprobabilité ; la répétition d’une expérience avec un tableau d’effectifs et de fréquences.

Rappels de 6ᵉ : expérience aléatoire, issues, événements

Ce chapitre reprend tout le travail de 6ᵉ sur le hasard, avec de nouveaux exemples, et le prolonge : probabilités écrites en pourcentage, comparaison de probabilités, expériences répétées rangées dans un tableau d’effectifs et de fréquences. On commence par les mots du hasard.

Ce qu’il faut savoir Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît à l’avance tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat. Chaque résultat possible s’appelle une issue.
Un événement est décrit par une phrase (« obtenir un nombre pair »…). Les issues qui le réalisent sont les issues favorables.
• Un événement est certain si toutes les issues sont favorables.
• Il est impossible si aucune issue n’est favorable.
• Sinon, on dit qu’il est possible : il peut se réaliser, sans certitude.

Exemples

On fait tourner une roue partagée en 10 secteurs égaux numérotés de 1 à 10 : c’est une expérience aléatoire, et elle a 10 issues.

« Obtenir un multiple de 4 » : les issues favorables sont 4 et 8. L’événement est possible.

« Obtenir un nombre plus petit que 11 » est certain ; « obtenir 0 » est impossible.

Calculer 9 × 6 n’est pas une expérience aléatoire : on obtient toujours 54.

Événement (roue de 1 à 10)	Issues favorables	Nombre
« obtenir 7 »	7	1
« obtenir un nombre impair »	1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9	5
« obtenir un nombre de deux chiffres »	10	1
« obtenir un nombre entre 1 et 10 »	les 10 issues	10

Une expérience en deux étapes : le tableau à double entrée

Quand une expérience se fait en deux étapes, on range ses issues dans un tableau à double entrée : une ligne par résultat de la première étape, une colonne par résultat de la seconde. Chaque case est une issue, et l’on compte les issues favorables comme d’habitude.

Exemple

On fait tourner deux petites roues à secteurs égaux : la première porte les lettres A et B, la seconde les nombres 1, 2, 3 et 4.

	1	2	3	4
A	A1	A2	A3	A4
B	B1	B2	B3	B4

Le tableau a 2 lignes et 4 colonnes : 2 × 4 = 8 issues. L’événement « obtenir B et un nombre pair » est réalisé par 2 issues : B2 et B4 (en gras).

Réflexe — avant tout calcul, j’écris la liste de toutes les issues (ou le tableau à double entrée pour deux étapes), puis j’entoure les issues favorables.

Attention — une issue est un seul résultat ; un événement peut en regrouper plusieurs (« obtenir un nombre impair » en regroupe 5). Et « possible » ne veut pas dire « probable » : gagner le gros lot d’une loterie est possible, mais très peu probable.

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L’échelle des probabilités : fraction, décimal, pourcentage

Ce qu’il faut savoir La probabilité d’un événement est un nombre qui mesure ses chances de se réaliser. Elle est toujours comprise entre 0 et 1 : 0 pour un événement impossible, 1 pour un événement certain.
Plus elle est proche de 1, plus l’événement est probable ; plus elle est proche de 0, moins il est probable.
Une probabilité s’écrit en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage :

\frac{1}{4} = 0, 25 = 25 %

.
« Une chance sur quatre », c’est la probabilité

\frac{1}{4}

; « une chance sur deux », c’est

\frac{1}{2} = 0, 5 = 50 %

Exemples

A : « obtenir pile » avec une pièce équilibrée : une chance sur deux, $\frac{1}{2} = 0, 5 = 50 %$ .

B : « obtenir 3 » avec un dé équilibré à 6 faces : une chance sur six, $\frac{1}{6} \approx 0, 17$ , plus près de 0 que de $\frac{1}{2}$ .

C : une urne contient 5 boules indiscernables au toucher, 4 jaunes et 1 violette. « Tirer une boule jaune » : $\frac{4}{5} = 0, 8 = 80 %$ . Dans cette urne, « tirer une boule rouge » est impossible (0) et « tirer une boule jaune ou violette » est certain (1).

D : « ne pas trouver la bonne combinaison au loto » : il y a des millions de combinaisons possibles et une seule gagne. C’est presque certain : tout près de 1.

E : « obtenir 10 fois de suite le 1 en lançant un dé » : c’est possible, mais presque impossible : tout près de 0.

Passer d’une écriture à l’autre, comparer

Pour passer d’une fraction à un nombre décimal, on divise le numérateur par le dénominateur (ou l’on écrit la fraction avec 10, 100 au dénominateur). Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100.

Exemples

$\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0, 4 = 40 %$ · $35 % = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} = 0, 35$ · $0, 3 = \frac{3}{10} = 30 %$ .

Quel événement est le plus probable : probabilité $\frac{1}{4}$ ou probabilité $0, 3$ ? On écrit les deux en décimal : $\frac{1}{4} = 0, 25$ et $0, 25 < 0, 3$ . Le second est le plus probable.

Réflexe — pour placer un événement, je me demande s’il est impossible (0) ou certain (1) ; sinon, je compare sa probabilité à $\frac{1}{2}$ . Pour comparer deux probabilités, je les écris toutes les deux en décimal.

Attention — une probabilité n’est jamais plus grande que 1 ni négative : 1,3, $\frac{7}{5}$ ou 120 % ne peuvent pas être des probabilités. Et « une chance sur quatre » n’est pas 4 % : c’est $\frac{1}{4} = 25 %$ .

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Calculer une probabilité (équiprobabilité)

Ce qu’il faut savoir Il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même chance de se produire : pièce ou dé équilibrés, tirage au hasard parmi des objets indiscernables au toucher, roue partagée en parts égales. C’est une hypothèse : on l’admet quand rien ne distingue les issues les unes des autres.
Dans ce cas : probabilité = $\frac{nombre d’issues favorables}{nombre total d’issues}$ . On simplifie la fraction quand c’est possible.
On écrit souvent en abrégé P(rouge) pour « la probabilité de tirer un jeton rouge ».
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. Donc la probabilité qu’un événement ne se réalise pas est égale à 1 moins sa probabilité.

Exemples

Un sac contient 25 jetons indiscernables : 10 rouges, 8 verts et 7 blancs. On en tire un au hasard : 25 issues, toutes de même chance.

P(rouge) = $\frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0, 4 = 40 %$ · P(vert) = $\frac{8}{25} = 0, 32$ · P(blanc) = $\frac{7}{25} = 0, 28$ .

Vérification : $\frac{10}{25} + \frac{8}{25} + \frac{7}{25} = \frac{25}{25} = 1$ .

« Ne pas tirer un jeton rouge » : 8 + 7 = 15 issues favorables, donc $\frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ . Autre façon : $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ .

Avec un dé équilibré à 6 faces, « obtenir au moins 5 » : issues 5 et 6, donc $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Dans un sac de 40 jetons numérotés de 1 à 40, « tirer un multiple de 6 » : 6, 12, 18, 24, 30, 36, soit $\frac{6}{40} = \frac{3}{20} = 15 %$ .

Une urne contient 30 boules et P(noire) = $\frac{2}{5}$ : il y a $\frac{2}{5}$ de 30 boules noires, soit 30 ÷ 5 × 2 = 12 boules noires.

Deux étapes : on compte les cases du tableau

Lucas lance deux fois de suite une pièce équilibrée (P pour pile, F pour face). Les 4 cases du tableau ont la même chance.

	P	F
P	PP	PF
F	FP	FF

« Obtenir au moins une fois pile » : 3 cases sur 4 (en gras), donc $\frac{3}{4}$ . Autre façon : seule la case FF ne convient pas, et $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

Quand les issues n’ont pas la même chance

Sur cette roue, les trois couleurs n’ont pas la même chance : P(bleu) n’est pas $\frac{1}{3}$ . On la découpe en 4 quarts égaux (le pointillé coupe le bleu en deux), qui, eux, ont la même chance.

Exemple

Bleu : 2 quarts sur 4, $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ · jaune : $\frac{1}{4}$ · rouge : $\frac{1}{4}$ . Vérification : $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$ .

Un dé truqué n’est pas équilibré : la formule ne s’applique pas, on estime ses probabilités par des fréquences (cas suivant).

Réflexe — je vérifie que les issues ont la même chance ; je compte le total (dénominateur), puis les issues favorables (numérateur) ; je simplifie, et j’écris en décimal ou en pourcentage si on me le demande.

Attention — le dénominateur est le nombre total d’issues : avec 10 jetons rouges sur 25, c’est $\frac{10}{25}$ , pas $\frac{10}{15}$ . Si l’on trouve plus que 1, on a inversé le numérateur et le dénominateur. Et deux couleurs ne font pas forcément « une chance sur deux » : tout dépend du nombre d’objets ou de la taille des parts.

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Répéter une expérience : fréquence et probabilité

Ce qu’il faut savoir On répète une même expérience aléatoire un certain nombre de fois et l’on range les résultats dans un tableau d’effectifs et de fréquences.
L’effectif d’une issue est le nombre de fois où elle est sortie ; sa fréquence est $\frac{effectif}{nombre total d’essais}$ , en fraction, en décimal ou en pourcentage. La somme des fréquences vaut 1.
La fréquence change d’une série d’essais à l’autre : c’est la fluctuation due au hasard. Quand on fait beaucoup d’essais, la fréquence se rapproche, en général, de la probabilité.
Quand on ne peut pas calculer une probabilité (objet qui n’a pas de symétrie, dé truqué), on l’estime par la fréquence observée sur un grand nombre d’essais.

Exemples

Ilyes fait tourner 50 fois une roue partagée en 4 secteurs égaux (rouge, bleu, vert, jaune) et note chaque couleur obtenue.

Couleur	rouge	bleu	vert	jaune	Total
Effectif	14	11	9	16	50
Fréquence (fraction)	$\frac{14}{50}$	$\frac{11}{50}$	$\frac{9}{50}$	$\frac{16}{50}$	1
Fréquence (décimal)	0,28	0,22	0,18	0,32	1
Fréquence (%)	28 %	22 %	18 %	32 %	100 %

Exemples

Chaque couleur a la probabilité $\frac{1}{4} = 0, 25$ . Sur 50 tours, les fréquences (de 0,18 à 0,32) s’en écartent un peu : c’est la fluctuation. Sur plusieurs milliers de tours, elles seraient en général bien plus proches de 0,25.

Sur 300 lancers d’un dé équilibré, on s’attend à obtenir le 4 environ 300 ÷ 6 = 50 fois (environ, pas exactement).

On lance 400 fois une punaise : elle retombe 248 fois pointe en haut. Fréquence : $\frac{248}{400} = 0, 62$ . Les deux positions n’ont pas la même chance : on ne peut pas calculer la probabilité, on l’estime à environ 0,62.

Une pièce équilibrée est tombée 4 fois de suite sur face : au lancer suivant, P(pile) vaut toujours $\frac{1}{2}$ . La pièce n’a pas de mémoire.

Réflexe — fréquence = effectif ÷ nombre d’essais ; je ne la compare à la probabilité que si le nombre d’essais est grand.

Attention — une fréquence observée n’est pas une probabilité : elle change d’une série d’essais à l’autre, la probabilité non. Quelques essais ne suffisent pas pour dire qu’un dé est truqué. Et après une série de « face », « pile » n’est pas plus probable.

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Pour aller plus loin

Effectifs et fréquences — calculer des effectifs et des fréquences, les écrire en fraction, en décimal ou en pourcentage, les représenter par un diagramme : voir Statistiques : effectifs, fréquences et diagrammes.

Simplifier une fraction — pour donner une probabilité sous forme simplifiée, on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre : voir Fractions : égalité, simplification et comparaison.

En 4ᵉ — on décrit les issues avec le vocabulaire des ensembles, on calcule la probabilité d’un événement et de l’événement contraire (celui qui se réalise exactement quand le premier ne se réalise pas), on étudie des expériences à deux épreuves (deux dés, une pièce et un dé…) et l’on observe la fluctuation des fréquences. En 3ᵉ — on simule un grand nombre d’expériences pour observer la stabilisation des fréquences (loi des grands nombres).

À retenir

Expérience aléatoire : on connaît les résultats possibles (les issues) sans pouvoir prévoir lequel sortira ; un événement est réalisé par des issues favorables ; pour deux étapes, un tableau à double entrée.
Une probabilité est comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain) ; elle s’écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage : « une chance sur quatre » = 1/4 = 0,25 = 25 %.
En équiprobabilité : probabilité = nombre d’issues favorables ÷ nombre total d’issues, en fraction simplifiée.
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1 ; la probabilité qu’un événement ne se réalise pas vaut 1 moins sa probabilité.
Fréquence = effectif ÷ nombre d’essais ; elle fluctue, mais sur un grand nombre d’essais elle se rapproche en général de la probabilité. Le hasard n’a pas de mémoire.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une issue et un événement ?

Une issue est un seul résultat possible d’une expérience aléatoire : avec un dé, 4 est une issue. Un événement est décrit par une phrase et peut regrouper plusieurs issues : « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues 2, 4 et 6. Pour une expérience en deux étapes, on range les issues dans un tableau à double entrée.

Comment placer un événement sur l’échelle des probabilités ?

Une probabilité est comprise entre 0 et 1 : 0 pour un événement impossible, 1 pour un événement certain, 0,5 pour « une chance sur deux ». Elle s’écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage : une chance sur quatre, c’est 1/4 = 0,25 = 25 %.

Comment calculer une probabilité ?

Quand toutes les issues ont la même chance (équiprobabilité), on divise le nombre d’issues favorables par le nombre total d’issues, puis on simplifie. Dans un sac de 25 jetons dont 10 rouges, la probabilité de tirer un rouge est 10/25 = 2/5 = 0,4.

Comment calculer la probabilité qu’un événement ne se réalise pas ?

La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. La probabilité qu’un événement ne se réalise pas est donc 1 moins sa probabilité : si la probabilité de tirer un jeton rouge est 2/5, celle de ne pas en tirer est 1 − 2/5 = 3/5.

Quelle différence entre fréquence et probabilité ?

La fréquence se mesure en répétant l’expérience : effectif ÷ nombre d’essais. Elle change d’une série à l’autre, alors que la probabilité ne change pas. Sur un grand nombre d’essais, la fréquence se rapproche en général de la probabilité ; elle permet d’estimer une probabilité qu’on ne sait pas calculer.

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