Collège · 5ᵉ · Mathématiques
Les probabilités
Hasard, événements et calcul d'une probabilité simple (programme de 5e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Les probabilités » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'expérience aléatoire, Issues et événements, La probabilité, un nombre entre 0 et 1, L'échelle des probabilités. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
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L'expérience aléatoire
Certains résultats sont impossibles à prévoir : le côté d'une pièce, le numéro d'un dé, la couleur d'une bille tirée d'un sac.
Définition. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît à l'avance tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat obtenu.
Exemples. Lancer un dé, tirer une carte, faire tourner une roue de loterie. En revanche, calculer $7 \times 8$ n'a rien d'aléatoire : le résultat est toujours $56$.
Astuce. Pour reconnaître une expérience aléatoire, pose-toi deux questions : puis-je lister les résultats possibles ? Puis-je prévoir lequel sortira ? Si c'est oui puis non, l'expérience est aléatoire.
2
Issues et événements
Définitions.
• Une issue est un résultat possible de l'expérience.
• Un événement est un ensemble d'issues qui vérifient une même condition.
• Une issue est un résultat possible de l'expérience.
• Un événement est un ensemble d'issues qui vérifient une même condition.
Exemple (dé à six faces). Les issues sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ : il y en a $6$.
L'événement « obtenir un nombre pair » regroupe les issues $2$, $4$ et $6$ : il compte $3$ issues favorables.
L'événement « obtenir un nombre pair » regroupe les issues $2$, $4$ et $6$ : il compte $3$ issues favorables.
| Événement | Issues favorables | Nombre |
|---|---|---|
| « faire $5$ » | $5$ | $1$ |
| « faire plus de $4$ » | $5$ ; $6$ | $2$ |
| « faire un nombre impair » | $1$ ; $3$ ; $5$ | $3$ |
Attention ! Une issue est un résultat unique, un événement peut en regrouper plusieurs. Les confondre fausse le numérateur du calcul.
3
La probabilité, un nombre entre 0 et 1
La probabilité d'un événement mesure la chance qu'il a de se réaliser.
Règle. Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$.
• Événement impossible : probabilité $0$.
• Événement certain : probabilité $1$.
• Événement impossible : probabilité $0$.
• Événement certain : probabilité $1$.
Exemple. Avec un dé à six faces : « obtenir $7$ » est impossible ($P = 0$) ; « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » est certain ($P = 1$).
Astuce. Une probabilité peut s'écrire en fraction ($\dfrac{1}{2}$), en décimal ($0{,}5$) ou en pourcentage ($50\,\%$) : ce sont trois façons de dire la même chose.
4
L'échelle des probabilités
On situe les événements sur une échelle allant de $0$ (impossible) à $1$ (certain).
| Événement (dé à 6 faces) | Probabilité |
|---|---|
| obtenir $7$ | $0$ |
| obtenir $6$ | $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$ |
| obtenir un nombre pair | $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ |
| obtenir un nombre entre $1$ et $6$ | $1$ |
5
Calculer une probabilité dans le cas équiprobable
Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (dé équilibré, tirage honnête), elles sont dites équiprobables.
Formule. $$P = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$$
Exemple 1 (dé). $P(\text{nombre pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Exemple 2 (sac). $4$ billes rouges, $3$ bleues, $1$ verte, soit $8$ billes : $P(\text{rouge}) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$, $P(\text{bleue}) = \dfrac{3}{8}$, $P(\text{verte}) = \dfrac{1}{8}$.
Exemple 2 (sac). $4$ billes rouges, $3$ bleues, $1$ verte, soit $8$ billes : $P(\text{rouge}) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$, $P(\text{bleue}) = \dfrac{3}{8}$, $P(\text{verte}) = \dfrac{1}{8}$.
Attention ! Le total va en bas. Si tu obtiens une probabilité supérieure à $1$, tu as inversé le numérateur et le dénominateur.
Astuce. Simplifie toujours la fraction obtenue : $\dfrac{4}{8}$ se donne sous la forme $\dfrac{1}{2}$.
6
Événement contraire et somme des probabilités
Définition. L'événement contraire de $A$ est celui qui se réalise exactement quand $A$ ne se réalise pas.
Règle. $$P(A) + P(\text{contraire de } A) = 1$$ Autrement dit, $P(\text{contraire de } A) = 1 - P(A)$.
Exemple. Avec un dé, $P(\text{faire } 6) = \dfrac{1}{6}$, donc $P(\text{ne pas faire } 6) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$.
Propriété. La somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours $1$.
Vérification. Pour le sac de billes : $\dfrac{4}{8} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$.
Astuce. Passer par l'événement contraire est souvent plus rapide : « au moins une fois » se calcule plus facilement par $1 - P(\text{jamais})$.
7
Fréquence observée et probabilité
Si l'on répète une expérience de nombreuses fois, la fréquence observée d'un résultat se rapproche de sa probabilité.
Règle. $$\text{fréquence observée} = \frac{\text{nombre de fois où l'événement est arrivé}}{\text{nombre d'essais}}$$ Elle varie d'une série à l'autre, mais se stabilise autour de la probabilité quand le nombre d'essais augmente.
Exemple. En lançant un dé $60$ fois, on obtient $13$ fois le $6$ : la fréquence vaut $\dfrac{13}{60} \approx 0{,}22$, alors que la probabilité est $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$. Sur $6\,000$ lancers, on s'approcherait bien davantage de $0{,}17$.
Attention ! Le hasard n'a pas de mémoire : après cinq « pile » d'affilée, la probabilité d'obtenir « pile » au lancer suivant reste $\dfrac{1}{2}$.
En bref
- Une expérience aléatoire a des résultats connus mais imprévisibles ; une issue est un résultat, un événement un ensemble d'issues.
- Une probabilité est comprise entre $0$ (impossible) et $1$ (certain).
- Cas équiprobable : $P = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$ — le total va en bas.
- $P(\text{contraire de } A) = 1 - P(A)$ ; la somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.
- La fréquence observée se rapproche de la probabilité quand on répète beaucoup l'expérience.
- Le hasard n'a pas de mémoire.
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