Devoir surveillé : Proportionnalité, pourcentages et fonctions

1. a)$8÷200=0,04$ ; $12÷300=0,04$ ; $20÷500=0,04$. Les quotients sont égaux : c'est proportionnel, de coefficient $0,04$ (1 pt : 0,5 calculs + 0,5 conclusion et coefficient). (1)
2. b)$86÷2=43$ et $102÷4=25,5$. Les quotients sont différents : la taille n'est pas proportionnelle à l'âge (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 conclusion). (1)
3. c)Le périmètre s'obtient en multipliant toujours le côté par le même nombre $3$ : c'est proportionnel, de coefficient $3$ (1 pt : 0,5 justification + 0,5 coefficient). (1)
4. d)Pour $h=1$ : $P=4+2=6$ € ; pour $h=2$ : $P=4+4=8$ €. En doublant la durée, le prix ne double pas ($8\ne 12$) : ce n'est pas proportionnel, à cause des $4$ € fixes (1 pt : 0,5 calculs + 0,5 conclusion). (1)

Méthode — pour un tableau, on compare les quotients « ligne du bas ÷ ligne du haut » ; pour une formule, elle doit s'écrire « nombre fixe × grandeur », sans rien ajouter.

1. a)$4,50÷3=1,50$ € : c'est le coefficient de proportionnalité (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 interprétation). (1)
2. b)$5\times 1,50=7,50$ € ; $8\times 1,50=12$ € ; $12\times 1,50=18$ € (1,5 pt : 0,5 par case). (1)
3. c)$P=1,5\times n$ (1 pt). (1)
4. d)$27÷1,5=18$ : on peut acheter $18$ cahiers (0,5 pt). (1)

Astuce — le coefficient de proportionnalité est aussi le nombre qui apparaît dans la formule : trouver l'un, c'est écrire l'autre.

1. a)${\displaystyle \frac{15}{100}}\times 240=0,15\times 240=36$ € (1 pt). (1)
2. b)$0,35\times 520=182$ élèves (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 phrase réponse). (1)
3. c)$34÷40=0,85={\displaystyle \frac{85}{100}}$ : Lina a obtenu $85\%$ de bonnes réponses (1 pt : 0,5 quotient + 0,5 pourcentage). (1)
4. d)Réduction : $0,30\times 48=14,40$ € ; prix payé : $48-14,40=33,60$ € (1 pt : 0,5 réduction + 0,5 prix final). (1)

Piège — dans une réduction, $30\%$ de $48$ € est le montant de la remise, pas le prix payé : il reste à le retirer du prix de départ.

1. a)La température dépend du temps : la température est fonction du temps de chauffe (0,5 pt). (1)
2. b)Au bout de $3$ min : $65$ °C. L'eau atteint $80$ °C au bout de $4$ min (1 pt : 0,5 + 0,5). (1)
3. c)On place $(0;20)$, $(1;35)$, $(2;50)$, $(3;65)$, $(4;80)$, $(5;95)$ et $(6;100)$ ; par exemple le point $(3;65)$ est à $3$ cm à droite et à $6,5$ cm en haut de l'origine (1 pt : points bien placés). (1)
4. d)Tableau : au temps $0$, la température vaut $20$ et non $0$ ; de plus $35÷1=35$ mais $50÷2=25$ : les quotients diffèrent. Graphique : le point $(0;20)$ n'est pas l'origine, les points ne sont donc pas sur une droite passant par l'origine. Ce n'est pas proportionnel (1,5 pt : 0,5 tableau + 0,5 graphique + 0,5 conclusion). (1)

Erreur fréquente — des points presque alignés ne suffisent pas : pour une situation de proportionnalité, ils doivent être alignés sur une droite qui passe par l'origine du repère.

1. a)$36\times 25000=900000$ cm $=9000$ m $=9$ km (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 conversion). (1)
2. b)$1\times 4=4$ km ; $1,5\times 4=6$ km ; $2\times 4=8$ km (1 pt). (1)
3. c)$d=4\times t$ : c'est de la forme « nombre fixe × durée », donc la distance est proportionnelle à la durée, de coefficient $4$ (1 pt : 0,5 formule + 0,5 justification). (1)
4. d)Durée : $9÷4=2,25$ h, soit $2$ h et $0,25\times 60=15$ min. Arrivée : $9$ h $30+2$ h $15=11$ h $45$ (1 pt : 0,5 durée convertie + 0,5 heure d'arrivée). (1)

Piège — $2,25$ h ne veut pas dire $2$ h $25$ : la partie décimale d'une heure se convertit en minutes en la multipliant par $60$.

1. a)Vrai : un stylo coûte $6÷4=1,50$ €, donc $10$ stylos coûtent $10\times 1,50=15$ € (1 pt : 0,5 prix unitaire + 0,5 conclusion). (1)
2. b)Faux : arête $1$ cm, volume $1^3=1$ cm³ ; arête $2$ cm, volume $2^3=8$ cm³. L'arête double mais le volume est multiplié par $8$ ; les quotients $1÷1=1$ et $8÷2=4$ diffèrent (1 pt : 0,5 contre-exemple + 0,5 conclusion). (1)
3. c)Faux : il faut aussi que la droite passe par l'origine. Contre-exemple : le prix $P=3+2\times n$ donne les points $(0;3)$, $(1;5)$, $(2;7)$, alignés, mais $5÷1=5$ et $7÷2=3,5$ (1 pt : 0,5 condition manquante + 0,5 contre-exemple). (1)
4. d)Vrai : $0,20\times 45=9$ et $0,45\times 20=9$ ; dans les deux cas on calcule ${\displaystyle \frac{20\times 45}{100}}$ (1 pt : 0,5 par calcul). (1)

Méthode — pour montrer qu'une affirmation générale est fausse, un seul contre-exemple chiffré suffit ; pour montrer qu'elle est vraie, un exemple ne suffit pas, il faut un calcul qui vaut dans tous les cas.

1. a)Coefficient : $6÷100=0,06$ L par km. $250\times 0,06=15$ L ; $400\times 0,06=24$ L ; $750\times 0,06=45$ L (1 pt : 0,5 coefficient + 0,5 cases). (1)
2. b)Pour $d$ km, la voiture consomme $0,06\times d$ litres ; on retire cette quantité aux $60$ L du départ : $V=60-0,06\times d$ (1 pt). (1)
3. c)$d=0$ : $V=60$ ; $d=200$ : $V=60-12=48$ ; $d=500$ : $V=60-30=30$ ; $d=1000$ : $V=60-60=0$ (1 pt : 0,5 par paire de valeurs). (1)
4. d)Non : pour $d=0$, $V=60\ne 0$, et $V$ diminue quand $d$ augmente. D'après le tableau, le réservoir est vide pour $d=1000$ : autonomie de $1000$ km (1 pt : 0,5 + 0,5). (1)

Erreur fréquente — la consommation est proportionnelle à la distance, mais le volume restant ne l'est pas : deux grandeurs liées à la même situation n'ont pas forcément le même comportement.

1. a)$0,45\times 240=108$ élèves (1 pt). (1)
2. b)$60÷240=0,25$, soit $25\%$ (1 pt : 0,5 quotient + 0,5 pourcentage). (1)
3. c)$240-108-60=72$ élèves ; $72÷240=0,30$, soit $30\%$ (vérification : $45+25+30=100$) (1 pt : 0,5 + 0,5). (1)
4. d)Les $240$ élèves correspondent à $360$° : coefficient $360÷240=1,5$, donc $a=1,5\times e$. À pied : $1,5\times 108=162$° ; bus : $1,5\times 60=90$° ; voiture : $1,5\times 72=108$° ; total $360$° (1 pt : 0,5 formule + 0,5 angles). (1)

Astuce — vérifier que les pourcentages totalisent $100\%$ et les angles $360$° permet de repérer immédiatement une erreur de calcul.

1. a)Points placés à $(0;0)$, (2 cm ; 3 cm), (3 cm ; 3 cm), (6 cm ; 7,5 cm), reliés par des segments (1 pt). (0,8)
2. b)Entre $t=20$ et $t=30$, la distance reste égale à $6$ km (segment horizontal) : Léo est à l'arrêt (0,5 pt). (0,8)
3. c)$6$ km en $20$ min ; $60$ min $=3\times 20$ min, donc en $1$ h il ferait $3\times 6=18$ km : $18$ km/h (1 pt : 0,5 raisonnement + 0,5 résultat). (0,8)
4. d)Distance : $15-6=9$ km en $60-30=30$ min ; en $1$ h : $2\times 9=18$ km, soit $18$ km/h (1 pt : 0,5 lectures + 0,5 résultat). (0,8)
5. e)Non : $6÷20=0,3$ mais $15÷60=0,25$ ; les points ne sont pas tous sur une même droite passant par l'origine (0,5 pt). (0,8)

Piège — pour une vitesse entre deux instants, il faut la distance parcourue pendant cet intervalle ($15-6$), pas la distance lue au dernier instant.

1. a)$12$ m $=1200$ cm ; $1200÷40=30$ cm (1 pt : 0,5 conversion + 0,5 calcul). (1)
2. b)$45\times 40=1800$ cm $=18$ m (1 pt : 0,5 calcul + 0,5 conversion). (1)
3. c)Réduction : $0,20\times 85=17$ € ; prix : $85-17=68$ € (1 pt : 0,5 + 0,5). (1)
4. d)$C=68+3,5\times p$ ; ce n'est pas proportionnel ($p=0$ donne $C=68\ne 0$). Il reste $85-68=17$ € ; $4\times 3,5=14\le 17$ mais $5\times 3,5=17,5>17$ : $4$ pots au maximum (1 pt : 0,5 formule et conclusion + 0,5 nombre de pots). (1)

Méthode — avec une échelle ${\displaystyle \frac{1}{40}}$, on divise par $40$ pour passer du réel au plan et on multiplie par $40$ pour revenir au réel, toujours dans la même unité.

1. a)Coefficient : $7,2÷12=0,6$ (car $12\times 0,6=7,2$). Or $10,2=7,2+3$ et $3=0,6\times 5$ : il correspond à $12+5=17$ ; vérification $17\times 0,6=10,2$ (1 pt : 0,5 raisonnement + 0,5 résultat). (1)
2. b)$10\%$ de $60$ font $6$, donc $30\%$ font $18$ ; $5\%$ font la moitié de $6$, soit $3$ ; $35\%$ de $60$ font $18+3=21$ (1 pt : 0,5 décomposition + 0,5 résultat). (1)
3. c)$4\times 7-3=28-3=25$ : oui, le point est sur le graphique. Pour $x=0$, $y=-3\ne 0$ : le graphique ne passe pas par l'origine, la situation n'est pas proportionnelle (1 pt : 0,5 + 0,5). (1)

Astuce — sans calculatrice, un pourcentage se reconstruit à partir de $10\%$ (diviser par $10$) et de $5\%$ (sa moitié) : $35\%$, c'est $3\times 10\%+5\%$.

1. a)$12$ min $={\displaystyle \frac{12}{60}}$ h $=0,2$ h, donc $1$ h $12$ min $=1,2$ h ; $300\times 1,2=360$ km (1 pt : 0,5 conversion + 0,5 calcul). (1)
2. b)$72$ km/h $=72000$ m en $3600$ s ; $72000÷3600=20$ m/s (1 pt : 0,5 conversions + 0,5 résultat). (1)
3. c)$1,8$ m³ $=1800$ L ; $1800÷12=150$ min $=2$ h $30$ min (1 pt : 0,5 conversion + 0,5 durée). (1)
4. d)Débit total : $12+8=20$ L/min, donc $V=20\times t$. $20\times t=1800$ donne $t=90$ min $=1$ h $30$ min (1 pt : 0,5 formule + 0,5 durée). (1)

Erreur fréquente — $1$ h $12$ min n'est pas $1,12$ h : les minutes se comptent en soixantièmes d'heure, et $12$ min valent $0,2$ h.

1. a)Pour $1$ personne : $6÷4=1,5$ œuf et $250÷4=62,5$ g. Donc $E=1,5\times p$ et $F=62,5\times p$ (1 pt : 0,5 par formule). (1,33333)
2. b)$E=p+{\displaystyle \frac{p}{2}}$ : $p$ est entier, donc $E$ est entier exactement quand ${\displaystyle \frac{p}{2}}$ l'est, c'est-à-dire quand $p$ est pair. Solutions : $p=2,4,6,8,10,12,14,16,18,20$, soit $10$ valeurs ; tout $p$ impair donne un nombre d'œufs se terminant par $,5$ (1,5 pt : 0,5 critère + 0,5 liste + 0,5 justification de l'exhaustivité). (1,33333)
3. c)Pour $p=1$ à $8$ : $F=62,5$ ; $125$ ; $187,5$ ; $250$ ; $312,5$ ; $375$ ; $437,5$ ; $500$ : seul $p=8$ convient. Ajouter $8$ personnes ajoute $8\times 62,5=500$ g, un multiple de $100$ : pour $p$ de $9$ à $16$, on retrouve les valeurs précédentes augmentées de $500$, donc seul $p=16$ ($1000$ g) convient ; pour $p$ de $17$ à $20$, $F$ vaut $1000$ g plus $62,5$ ; $125$ ; $187,5$ ; $250$ : aucun multiple de $100$. Solutions : $p=8$ et $p=16$ (1,5 pt : 0,5 premières valeurs + 0,5 argument de répétition + 0,5 conclusion). (1,33333)

Méthode — pour être sûr de n'oublier aucune solution, on repère un motif qui se répète (ici toutes les $8$ personnes) : il suffit alors d'étudier un seul « bloc » de valeurs.

1. a)$12$ km en $60$ min, soit $12÷60=0,2$ km par minute : $d_A=0,2\times t$ (1 pt : 0,5 vitesse par minute + 0,5 formule). (1)
2. b)Bruno fait $15÷60=0,25$ km par minute et court depuis $t-10$ minutes. $t=20$ : $0,25\times 10=2,5$ km ; $t=30$ : $0,25\times 20=5$ km ; $t=40$ : $0,25\times 30=7,5$ km (1 pt : 0,5 raisonnement + 0,5 valeurs). (1)
3. c)Au départ de Bruno ($t=10$), Alice a $0,2\times 10=2$ km d'avance. Chaque minute, Bruno reprend $0,25-0,2=0,05$ km, soit $50$ m ; il lui faut $2÷0,05=40$ min. Il la rattrape à $t=10+40=50$ min, à $0,2\times 50=10$ km du départ (vérification : $0,25\times 40=10$ km) (1,5 pt : 0,5 avance + 0,5 durée + 0,5 instant et distance). (1)
4. d)Non : pour $t=20$, $2,5$ km, et pour $t=40$, $7,5$ km ; le temps double mais la distance est multipliée par $3$ (0,5 pt). (1)

Piège — Bruno ne court pas depuis $t$ minutes mais depuis $t-10$ minutes : oublier ce décalage fausse toutes ses distances et l'instant de la rencontre.

1. a)$20=7+13$, donc $20$ correspond à $17,5+32,5=50$. $6=13-7$, donc $6$ correspond à $32,5-17,5=15$ (1 pt : 0,5 par valeur). (1,25)
2. b)Par distributivité : $k\times a+k\times b=k\times (a+b)$, qui est bien l'image de $a+b$ (1,5 pt : 0,5 écriture de la somme + 1 utilisation justifiée de la distributivité). (1,25)
3. c)Pour $x=1$ : $y=5$ ; pour $x=2$ : $y=7$ ; somme des images : $12$. Pour $x=1+2=3$ : $y=2\times 3+3=9\ne 12$ (1 pt : 0,5 calculs + 0,5 conclusion). (1,25)
4. d)Somme des images de $a$ et $b$ : $(2\times a+3)+(2\times b+3)=2\times a+2\times b+6=2\times (a+b)+6$. Image de $a+b$ : $2\times (a+b)+3$. La différence vaut $6-3=3$ pour tous $a$ et $b$ (1,5 pt : 0,5 somme réduite + 0,5 image de la somme + 0,5 conclusion générale). (1,25)

Astuce — dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner ou soustraire deux colonnes pour en obtenir une nouvelle : c'est la distributivité $k\times (a+b)=k\times a+k\times b$ en action.