Fonctions : « en fonction de », tableaux et graphiques

Une grandeur en fonction d’une autre : grandeur de départ et grandeur qui en dépend, formule (calcul et question inverse), rappels de 6e (règle d’un motif, programme de calcul) ; tableau de valeurs produit à partir d’une formule, lu dans les deux sens, formule retrouvée par les écarts ; points placés dans un repère, courbe ou nuage de points, point qui appartient au graphique, droite qui passe par l’origine et proportionnalité ; lecture et interprétation d’un graphique (valeurs lues dans les deux sens, maximum, minimum, hausse, baisse, palier).

À propos de cette page

Six problèmes corrigés sur des grandeurs qui dépendent l’une de l’autre : la location d’un vélo, une balade en canoë, un rectangle qui s’allonge, la marée dans un port, la chute d’une bille et deux offres d’une salle d’escalade à comparer.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère les deux grandeurs : celle qu’on choisit (départ) et celle qui en dépend ; je note la lettre de chacune.
J’écris la formule si l’énoncé ne la donne pas : la partie fixe se paie une fois, la partie « par unité » se multiplie.
Je calcule ou je lis : formule avec les priorités, tableau colonne par colonne, graphique avec les traits de lecture.
Pour une question inverse, je défais les opérations à l’envers ; pour comparer deux offres, je cherche quand elles coûtent le même prix.
Je vérifie avec la formule ou le graphique, puis je réponds par une phrase avec l’unité.

Problème 1 · La location de vélo★★★Facile

Un loueur de vélos demande

4

€ de frais fixes, puis

2

€ par heure de location. On note

h

le nombre d’heures et

C

le coût en euros :

C = 4 + 2 \times h

1. Coût pour $3$ heures : €
$C = 4 + 2 \times 3 = 4 + 6 = 10$ €.
2. Coût pour $6$ heures : €
$C = 4 + 2 \times 6 = 4 + 12 = 16$ €.
3. Avec $22$ €, combien d’heures peut-on louer le vélo ? h
On défait à l’envers : $22 - 4 = 18$ , puis $18 \div 2 = 9$ heures. Vérification : $4 + 2 \times 9 = 22$ ✓
4. Le double du coût de $3$ heures vaut €, ce qui n’est pas le coût de $6$ heures.
$2 \times 10 = 20$ €, alors que $6$ heures coûtent $16$ € : quand la durée double, le coût ne double pas (les frais fixes ne sont payés qu’une fois). Le coût n’est pas proportionnel à la durée.

Problème 2 · La balade en canoë★★★Moyen

Pendant une balade en canoë sur une rivière, on relève la distance parcourue en fonction du temps.

Temps (h)	0	1	2	3	4
Distance (km)	0	5	10	12	17

1. Distance parcourue au bout de $4$ h : km
Lecture du tableau, colonne « $4$ h » : $17$ km.
2. Distance parcourue pendant la troisième heure : km
Entre $2$ h et $3$ h : $12 - 10 = 2$ km. C’est beaucoup moins que pendant les autres heures ( $5$ km chacune) : sans doute une pause.
3. Au rythme de la première heure, quelle distance aurait-on parcourue en $3$ h ? km
Pendant la première heure, on parcourt $5$ km ; au même rythme, $5 \times 3 = 15$ km. Le tableau donne $12$ km : la distance n’est pas proportionnelle au temps.
4. Vitesse moyenne sur les $4$ heures (distance ÷ durée) : km/h
$17 \div 4 = 4, 25$ km/h.

Problème 3 · Le rectangle qui s’allonge★★★Moyen

Un rectangle a une largeur fixe de

3

cm et une longueur

L

variable, en cm. On note

A

son aire, en cm², et

P

son périmètre, en cm :

A = 3 \times L

P = 2 \times L + 6

1. Aire pour $L = 4, 5$ cm : cm²
$A = 3 \times 4, 5 = 13, 5$ cm².
2. Longueur $L$ pour une aire de $21$ cm² : cm
On défait « $\times 3$ » : $21 \div 3 = 7$ cm.
3. Dans un repère, le graphique de l’aire en fonction de $L$ est une droite qui passe par l’origine. Son point d’abscisse $5$ a pour ordonnée
$A = 3 \times 5 = 15$ : c’est le point $(5; 15)$ . L’aire est proportionnelle à $L$ , de coefficient $3$ .
4. Pour $L = 5$ cm, le périmètre vaut $16$ cm. Combien vaut-il quand la longueur double ( $L = 10$ cm) ? cm
$P = 2 \times 10 + 6 = 20 + 6 = 26$ cm, et non $32$ cm : quand $L$ double, $P$ ne double pas. Le périmètre n’est pas proportionnel à $L$ : son graphique est une droite qui ne passe pas par l’origine.

Problème 4 · La marée dans le port★★★Moyen

Le graphique donne la hauteur d’eau dans un port, en mètres, en fonction de l’heure, de

6

h à

20

h. La pleine mer est le moment où la hauteur d’eau est la plus grande. Un voilier ne peut entrer dans le port que si la hauteur d’eau est d’au moins

3

1. Hauteur d’eau à la pleine mer : m
Le point le plus haut de la courbe a pour ordonnée $5$ : la hauteur maximale est $5$ m.
2. Heure de la pleine mer : h
Ce point le plus haut a pour abscisse $12$ : la pleine mer est à $12$ h.
3. De combien de mètres l’eau monte-t-elle entre le début du relevé et la pleine mer ? m
Au début du relevé, on lit $1, 5$ m ; à la pleine mer, $5$ m : $5 - 1, 5 = 3, 5$ m.
4. Le voilier peut entrer de h à h.
L’horizontale d’ordonnée $3$ coupe la courbe deux fois : à $9$ h (l’eau monte) et à $16$ h (l’eau descend). Entre les deux, la courbe est au-dessus de $3$ m.
5. Pendant combien d’heures le voilier peut-il entrer ? h
De $9$ h à $16$ h : $16 - 9 = 7$ h.

Problème 5 · La chute d’une bille★★★Difficile

On lâche une bille du haut d’une tour. On admet que la distance

d

parcourue par la bille (en m) dépend du temps

t

écoulé (en s) selon la formule

d = 5 \times t^{2}

1. Distance parcourue après $1$ s : m
$d = 5 \times 1^{2} = 5 \times 1 = 5$ m.
2. Distance parcourue après $2$ s : m
$2^{2} = 4$ , donc $d = 5 \times 4 = 20$ m.
3. Distance parcourue après $3$ s : m
$3^{2} = 9$ , donc $d = 5 \times 9 = 45$ m.
4. Quand le temps double, de $1$ s à $2$ s, la distance est multipliée par
$20 \div 5 = 4$ : quand le temps double, la distance est multipliée par $4$ . C’est encore vrai de $2$ s à $4$ s : après $4$ s, $d = 5 \times 16 = 80$ m, et $80 \div 20 = 4$ .
5. Le graphique de $d$ en fonction de $t$ est-il une droite ou une courbe ?
Les points $(1; 5)$ , $(2; 20)$ , $(3; 45)$ ne sont pas alignés : les écarts ( $15$ puis $25$ ) ne sont pas constants. C’est une courbe, et la distance n’est pas proportionnelle au temps.

Problème 6 · Deux offres d’escalade★★★Difficile

Une salle d’escalade propose deux tarifs. Offre A :

12

€ la séance. Offre B : une adhésion de

40

€ pour l’année, puis

7

€ la séance. On note

n

le nombre de séances dans l’année.

1. Coût de $4$ séances avec l’offre A : €
$12 \times 4 = 48$ €.
2. Coût de $4$ séances avec l’offre B : €
$40 + 7 \times 4 = 40 + 28 = 68$ €.
3. Pour combien de séances les deux offres coûtent-elles le même prix ?
Chaque séance coûte $12 - 7 = 5$ € de plus avec l’offre A ; les $40$ € d’adhésion sont rattrapés après $40 \div 5 = 8$ séances. Vérification : $12 \times 8 = 96$ et $40 + 7 \times 8 = 96$ ✓
4. À partir de combien de séances l’offre B devient-elle moins chère ?
Pour $9$ séances : A coûte $12 \times 9 = 108$ €, B coûte $40 + 7 \times 9 = 103$ €. B est moins chère à partir de $9$ séances.
5. Laquelle des deux offres est une situation de proportionnalité ? Écris A ou B :
Avec A, le coût est $12 \times n$ : son graphique est fait de points alignés avec l’origine. Avec B, pour $0$ séance, on paie déjà $40$ € : pas de proportionnalité.

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