Ressources · 5ᵉ · Mathématiques
Proportionnalité : reconnaître, coefficient et graphique
Reconnaître une situation de proportionnalité (tableau, énoncé, graphique), coefficient et son unité, compléter un tableau (coefficient, linéarité, passage à l’unité), échelles d’un plan ou d’une carte, vitesse moyenne, points alignés avec l’origine.
À propos de cette page
Reconnaître une situation de proportionnalité (rappels de 6ᵉ)
Ce que tu as appris en 6ᵉ sur la proportionnalité reste valable : on le reprend ici avec des nombres décimaux et l’unité du coefficient. Les nouveautés de 5ᵉ sont la vitesse moyenne (partie 4) et le graphique (partie 5).
Dans un tableau, on calcule pour chaque colonne le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne » :
• si tous les quotients sont égaux, c’est un tableau de proportionnalité, et ce quotient est le coefficient ;
• s’il y a un seul quotient différent, ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
Le coefficient a une unité qui dit ce qu’il représente : 18 €/kg se lit « 18 euros par kilogramme », c’est le prix d’un kilogramme. On rencontre aussi des km/h (kilomètres par heure), des L/min (litres par minute)…
| Masse de comté (kg) | 0,5 | 2 | 3,5 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 9 | 36 | 63 |
Chaque prix s’obtient en multipliant la masse par 18 : coefficient 18 €/kg.
Comté : 9 ÷ 0,5 = 18 · 36 ÷ 2 = 18 · 63 ÷ 3,5 = 18. Les trois quotients sont égaux : le prix est proportionnel à la masse, de coefficient 18 €/kg.
Piste d’athlétisme : 3 tours font 1 200 m et 7 tours font 2 800 m. 1 200 ÷ 3 = 400 et 2 800 ÷ 7 = 400 : la distance est proportionnelle au nombre de tours, de coefficient 400 m par tour (la longueur de la piste).
Taxi : 4 € de prise en charge, puis 1,50 € par kilomètre. 2 km coûtent 4 + 3 = 7 € ; 4 km coûtent 4 + 6 = 10 €, et non 2 × 7 = 14 €. Le prix n’est pas proportionnel à la distance : à cause du montant fixe, doubler la distance ne double pas le prix.
Piscine : 1 entrée coûte 5 €, le carnet de 10 entrées coûte 40 €. 5 ÷ 1 = 5 mais 40 ÷ 10 = 4 : le tarif baisse quand on achète plus (tarif dégressif), ce n’est pas une situation de proportionnalité.
Deux tests rapides pour dire « non »
Si deux grandeurs sont proportionnelles, alors quand l’une est multipliée par 2 (par 3, par 10…), l’autre aussi ; et à la valeur 0 de l’une correspond 0 pour l’autre. Le taxi échoue aux deux tests : pour 0 km, on paie déjà 4 €. Ces tests prouvent qu’une situation n’est pas proportionnelle ; pour prouver qu’elle l’est, on calcule les quotients de toutes les colonnes.
Situations à reconnaître
Proportionnelles : un prix à tarif unitaire fixe ; les ingrédients d’une recette et le nombre de parts ; le côté d’un carré et son périmètre ; une longueur sur un plan et la longueur réelle ; la distance parcourue à vitesse constante et la durée.
Pas proportionnelles : un prix avec un montant fixe (abonnement, prise en charge, frais de livraison) ; un tarif dégressif ; l’âge et la taille d’une personne ; le nombre de peintres et la durée d’un chantier (plus de peintres, moins de jours).
Réflexe — dans un tableau, je calcule le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne » dans toutes les colonnes ; dans un énoncé, je cherche un montant fixe ou un tarif qui change avec la quantité.
Attention — « les deux grandeurs augmentent ensemble » ne suffit pas : un enfant de 10 ans ne mesure pas le double d’un enfant de 5 ans. Et un tableau qui « commence bien » peut se tromper à la dernière colonne : un seul quotient différent suffit pour conclure « non ».
1 / 5
Compléter un tableau de proportionnalité
1. Le coefficient : de la 1re ligne à la 2e, on multiplie par le coefficient ; de la 2e ligne à la 1re, on divise par le coefficient.
2. La propriété multiplicative (linéarité) : si on multiplie (ou divise) une colonne par un même nombre, on obtient une autre colonne du tableau.
3. La propriété additive (linéarité) : si on additionne (ou soustrait) deux colonnes, on obtient une autre colonne du tableau.
4. Le passage à l’unité : on calcule d’abord la valeur qui correspond à 1, puis on multiplie.
| Nombre de croissants | 4 | 12 | 16 | 1 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 5 | … | … | … | … |
4 croissants coûtent 5 €. On complète les autres colonnes.
12 croissants (propriété multiplicative) : 12 = 4 × 3, donc le prix est 5 × 3 = 15 €.
16 croissants (propriété additive) : 16 = 4 + 12, donc le prix est 5 + 15 = 20 €.
1 croissant (passage à l’unité) : 5 ÷ 4 = 1,25. Un croissant coûte 1,25 € : c’est le coefficient, 1,25 € par croissant.
7 croissants (coefficient) : 7 × 1,25 = 8,75. Sept croissants coûtent 8,75 €.
Dans l’autre sens : avec 30 €, on achète 30 ÷ 1,25 = 24 croissants (on divise par le coefficient).
Quand le coefficient ne tombe pas juste
Un lot de 3 stylos coûte 4 €. Le quotient 4 ÷ 3 = 1,333… ne s’arrête pas : le coefficient n’est pas un nombre décimal. On garde alors la linéarité, qui évite d’arrondir : 9 stylos, c’est 3 lots, donc 3 × 4 = 12 € ; 6 stylos coûtent 2 × 4 = 8 € ; 15 stylos, c’est 9 + 6 stylos, donc 12 + 8 = 20 €.
Réflexe — je regarde d’abord les liens entre les nombres de la 1re ligne (double, moitié, somme, différence) ; si je n’en vois pas, je passe par l’unité, ce qui marche dès que le coefficient est un nombre décimal.
Attention — on ne passe pas d’une colonne à l’autre en ajoutant le même nombre aux deux lignes : 4 croissants coûtent 5 €, mais 6 croissants ne coûtent pas 7 € (6 × 1,25 = 7,50 €). Et ces outils ne s’utilisent que si la situation est proportionnelle : pas pour le taxi de la partie 1.
2 / 5
Échelles d’un plan ou d’une carte
Un plan ou une carte est une reproduction de la réalité où toutes les longueurs sont divisées par le même nombre : les longueurs sur le plan sont proportionnelles aux longueurs réelles (rappel de 6ᵉ).
Une échelle 1/n (on lit « 1 sur n » ; on écrit aussi 1 : n) signifie que 1 cm sur le plan représente n cm dans la réalité :
• distance réelle = distance sur le plan × n ;
• distance sur le plan = distance réelle ÷ n, après avoir écrit la distance réelle en cm.
Conversions utiles : 1 m = 100 cm ; 1 km = 1 000 m = 100 000 cm.
| Distance sur la carte (cm) | 1 | 8 | 2,4 |
|---|---|---|---|
| Distance réelle (cm) | 25 000 | 200 000 | 60 000 |
Carte à l’échelle 1/25 000 : on multiplie par 25 000.
Du plan à la réalité. Carte à 1/25 000 : 8 cm représentent 8 × 25 000 = 200 000 cm, c’est-à-dire 2 000 m ou 2 km. De même, 2,4 cm représentent 60 000 cm, soit 600 m.
De la réalité au plan. Plan d’un appartement à 1/50 : un couloir de 3,2 m, c’est 320 cm, et 320 ÷ 50 = 6,4. Le couloir mesure 6,4 cm sur le plan.
Trouver l’échelle. Sur une carte, 3 cm représentent 600 m. 600 m = 60 000 cm et 60 000 ÷ 3 = 20 000 : 1 cm représente 20 000 cm. L’échelle est 1/20 000.
Agrandir : une échelle plus grande que 1
Pour dessiner un objet très petit, on l’agrandit. À l’échelle 8 : 1 (on écrit aussi 8/1), 8 cm sur le dessin représentent 1 cm dans la réalité : le coefficient est 8. Dessin = réel × 8 et réel = dessin ÷ 8.
Sur un schéma à l’échelle 8 : 1, une fourmi mesure 5,6 cm. En réalité : 5,6 ÷ 8 = 0,7 cm, soit 7 mm.
Réflexe — j’écris les deux longueurs en cm avant de multiplier ou de diviser par n, puis je convertis le résultat dans l’unité demandée (m ou km).
Attention — l’échelle compare deux longueurs dans la même unité : à 1/25 000, 1 cm représente 25 000 cm (250 m), et non 25 000 m. Plus n est grand, plus la réalité est réduite. Et l’échelle concerne les longueurs : les aires, elles, ne sont pas multipliées par n.
3 / 5
Vitesse moyenne
Nouveau en 5ᵉ : la vitesse est un coefficient de proportionnalité.
Sur un vrai trajet, la vitesse change (feux, bouchons, arrêts). La vitesse moyenne est la vitesse constante qui permettrait de faire le même trajet dans la même durée :
• vitesse moyenne = distance ÷ durée ;
• distance = vitesse × durée ;
• durée = distance ÷ vitesse.
Unités : km/h quand la distance est en km et la durée en heures ; m/s (mètres par seconde) quand la distance est en m et la durée en secondes.
Écrire une durée en heures décimales
Une durée en minutes est proportionnelle à la même durée en heures, de coefficient 60 : 1 h = 60 min. Pour passer des minutes aux heures, on divise par 60 ; des heures aux minutes, on multiplie par 60 (0,1 h = 6 min).
| Durée (min) | 6 | 12 | 15 | 30 | 45 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Durée (h) | 0,1 | 0,2 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 |
Ainsi 1 h 30 min = 1,5 h et 2 h 15 min = 2,25 h.
Vitesse. Un train parcourt 210 km en 1 h 30 min. 1 h 30 min = 1,5 h, donc sa vitesse moyenne est 210 ÷ 1,5 = 140 km/h.
En m/s. Une coureuse parcourt 400 m en 80 s : 400 ÷ 80 = 5. Sa vitesse moyenne est 5 m/s.
Distance. Un cycliste roule 2 h 15 min à 24 km/h de moyenne : 2,25 × 24 = 54 km. Par la linéarité : en 2 h, 2 × 24 = 48 km ; en 15 min (le quart d’une heure), 24 ÷ 4 = 6 km ; en tout 48 + 6 = 54 km.
Durée. Un TGV roule à 220 km/h de moyenne. Pour 550 km : 550 ÷ 220 = 2,5 h, c’est-à-dire 2 h 30 min.
Réflexe — j’écris la durée en heures décimales (ou je raisonne avec un tableau en minutes), puis vitesse = distance ÷ durée.
Attention — 1 h 30 min = 1,5 h, et non 1,30 h : une heure compte 60 minutes, pas 100. Et la vitesse moyenne n’est pas la vitesse à chaque instant : un train à 140 km/h de moyenne a pu rouler à 300 km/h sur une partie du trajet.
4 / 5
Représentation graphique de la proportionnalité
Nouveau en 5ᵉ. Pour placer des points dans un repère, voir Repérage : coordonnées d’un point dans le plan.
Une situation est une situation de proportionnalité si et seulement si ses points sont alignés avec l’origine du repère : ils sont sur une droite qui passe par le point (0 ; 0).
Sur ce graphique, le coefficient est l’ordonnée du point d’abscisse 1.
Le prix du comté (partie 1) est représenté par une droite qui passe par l’origine. Pour 1 kg, on lit 18 € : c’est le coefficient. Pour 2,5 kg, on lit 45 € (2,5 × 18 = 45).
Une droite ne suffit pas, l’origine non plus
B est une droite qui passe par l’origine : le prix est proportionnel à la distance (2,50 € par km).
A est une droite, mais elle ne passe pas par l’origine : pour 0 km, on paie déjà 4 €. C’est le taxi de la partie 1 : pas de proportionnalité.
C passe par l’origine, mais ce n’est pas une droite : pas de proportionnalité.
Données isolées : un nuage de points
Une place de cinéma coûte 7,50 €. Les points (1 ; 7,5), (2 ; 15)… jusqu’à (5 ; 37,5) sont alignés avec l’origine : le prix est proportionnel au nombre de places. On ne relie pas les points, car on ne peut pas acheter 2,5 places.
Réflexe — devant un graphique, je vérifie deux choses : les points sont-ils alignés ? la droite passe-t-elle par l’origine ? Il faut les deux.
Attention — une lecture graphique est approchée : si on peut, on vérifie par un calcul (2,5 × 18 = 45). Et un montant fixe se voit tout de suite : la droite coupe l’axe vertical au-dessus de l’origine.
5 / 5
Pour aller plus loin
Pourcentages — prendre un pourcentage d’une quantité (25 % de 80, c’est 80 × 25 ÷ 100 = 20), calculer le pourcentage que représente une partie, appliquer une réduction : c’est encore de la proportionnalité, voir Proportions et pourcentages.
Fonctions — une grandeur qui dépend d’une autre, avec un tableau de valeurs ou un graphique, la proportionnalité étant un cas particulier : voir Fonctions : « en fonction de », tableaux et graphiques.
Se verra en 4ᵉ — la quatrième proportionnelle et l’égalité des produits en croix, les grandeurs quotients comme la vitesse ou le débit, les ratios et le coefficient multiplicateur des hausses et des baisses. En 3ᵉ — les fonctions linéaires, dont le graphique est une droite qui passe par l’origine.
- Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient : dans un tableau, tous les quotients « 2e ligne ÷ 1re ligne » sont égaux.
- Le coefficient a une unité (€/kg, km/h, L/min). Un montant fixe ou un tarif dégressif empêche la proportionnalité.
- Pour compléter un tableau : coefficient (× pour descendre, ÷ pour remonter), propriétés multiplicative et additive, ou passage à l’unité.
- Échelle 1/n : 1 cm sur le plan représente n cm en réalité ; réel = plan × n, plan = réel ÷ n, les deux longueurs dans la même unité.
- Vitesse moyenne = distance ÷ durée, avec la durée en heures décimales : 1 h 30 min = 1,5 h.
- Graphique : proportionnalité si et seulement si les points sont alignés avec l’origine ; le coefficient est l’ordonnée du point d’abscisse 1.
Questions fréquentes
Comment savoir si une situation est une situation de proportionnalité ?
On range les données dans un tableau et on calcule le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne » dans chaque colonne : s’ils sont tous égaux, c’est une situation de proportionnalité. Si 2 kg coûtent 7 € et 5 kg coûtent 17,50 €, les deux quotients valent 3,5 : coefficient 3,5 €/kg. Un montant fixe (abonnement, prise en charge) ou un tarif dégressif empêche la proportionnalité.
Comment compléter un tableau de proportionnalité ?
On cherche d’abord un lien simple entre les nombres de la 1re ligne : si 6 œufs coûtent 1,80 €, 12 œufs (le double) coûtent 3,60 €. Sinon, on passe par l’unité : un œuf coûte 1,80 ÷ 6 = 0,30 €, et on multiplie par le nombre d’œufs voulu.
Que veut dire une échelle 1/25 000 sur une carte ?
1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité, soit 250 m. Pour une distance réelle, on multiplie la distance sur la carte par 25 000 ; pour aller de la réalité à la carte, on écrit la distance réelle en cm puis on divise par 25 000.
Comment calculer une vitesse moyenne ?
On divise la distance par la durée, après avoir écrit la durée en heures décimales : 150 km en 2 h 30 min, c’est 150 ÷ 2,5 = 60 km/h. Attention, 2 h 30 min s’écrit 2,5 h et non 2,30 h.
Comment reconnaître la proportionnalité sur un graphique ?
Les points doivent être alignés avec l’origine du repère : sur une droite qui passe par le point (0 ; 0). Une droite qui ne passe pas par l’origine traduit un montant fixe : ce n’est pas de la proportionnalité. Le coefficient se lit à l’abscisse 1.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs