À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Proportionnalité & pourcentages » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître une situation de proportionnalité, Tableau de proportionnalité & coefficient, Les propriétés de linéarité, Passage à l'unité & quatrième proportionnelle. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Reconnaître une situation de proportionnalité
2 · Tableau de proportionnalité & coefficient
3 · Les propriétés de linéarité
4 · Passage à l'unité & quatrième proportionnelle
5 · Le produit en croix
6 · Appliquer un pourcentage (t %)
7 · Augmenter ou diminuer de t %
8 · Les échelles d'un plan
9 · La vitesse moyenne
1Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Autrement dit : si l'une double, l'autre double ; si l'une est multipliée par 3, l'autre aussi.
Définition. On dit que deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de la seconde s'obtiennent en multipliant les valeurs de la première par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Exemple typique : le prix à payer est proportionnel à la quantité achetée (si le prix au kilo est fixe).
| Masse de pommes (kg) | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|
| Prix (€) | 2,40 | 4,80 | 7,20 | 12,00 |
|---|
Ici, pour passer de la masse au prix, on multiplie toujours par 2,40 : c'est une situation de proportionnalité.
⚠️ Beaucoup de situations ne sont pas proportionnelles. Par exemple, l'âge d'une personne et sa taille : un enfant de 10 ans ne mesure pas le double d'un enfant de 5 ans. De même, un abonnement avec un prix fixe au départ (frais d'inscription) n'est pas proportionnel.
💡 Test rapide : à « 0 » de l'une doit correspondre « 0 » de l'autre. 0 kg de pommes coûte 0 € → cohérent avec la proportionnalité.
2Tableau de proportionnalité & coefficient
On présente souvent une situation de proportionnalité dans un tableau. Le nombre par lequel on multiplie chaque valeur de la 1ʳᵉ ligne pour obtenir la 2ᵉ s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Trouver le coefficient. On le calcule en
divisant une valeur de la 2ᵉ ligne par la valeur correspondante de la 1ʳᵉ ligne :
coefficient = valeur du basvaleur du haut
| Nombre de croissants | 4 | 6 | 10 |
|---|
| Prix (€) | 4,40 | 6,60 | 11,00 |
|---|
Coefficient : 4,40 ÷ 4 = 1,1. On vérifie : 6 × 1,1 = 6,60 ✓ et 10 × 1,1 = 11 ✓. Le coefficient (1,1) est donc le prix d'un croissant : il a souvent un sens concret.
💡 Pour vérifier qu'un tableau est proportionnel, calcule le quotient bas ÷ haut pour chaque colonne : s'ils sont tous égaux, c'est proportionnel ; sinon, ça ne l'est pas.
6 ÷ 2 = 3, 9 ÷ 3 = 3, mais 16 ÷ 5 = 3,2 : les quotients ne sont pas tous égaux → ce tableau n'est PAS proportionnel.
3Les propriétés de linéarité
Dans un tableau de proportionnalité, on peut combiner les colonnes sans connaître le coefficient. Ce sont les propriétés de linéarité, très pratiques pour calculer de tête.
Propriété d'additivité
Additivité. Si on additionne deux valeurs de la 1ʳᵉ ligne, on additionne les valeurs correspondantes de la 2ᵉ ligne.
| Quantité (L) | 2 | 3 | 2 + 3 = 5 |
|---|
| Prix (€) | 3,00 | 4,50 | 3,00 + 4,50 = 7,50 |
|---|
Propriété de multiplication (homogénéité)
Multiplication par un nombre. Si on multiplie une valeur de la 1ʳᵉ ligne par un nombre, la valeur correspondante de la 2ᵉ ligne est multipliée par le même nombre.
| Quantité (L) | 2 | ×4 → 8 |
|---|
| Prix (€) | 3,00 | ×4 → 12,00 |
|---|
Exemple combiné. Si 4 places coûtent 30 € et 1 place coûte 7,50 €, alors 5 places (= 4 + 1) coûtent 30 + 7,50 = 37,50 €.
💡 Ces propriétés permettent de répondre sans calculer le coefficient. On découpe la valeur cherchée en morceaux faciles (doubler, prendre la moitié, additionner…).
4Passage à l'unité & quatrième proportionnelle
Très souvent, on connaît trois valeurs d'un tableau et on cherche la quatrième : on l'appelle la quatrième proportionnelle. Une méthode sûre est le passage à l'unité.
Méthode du passage à l'unité (pas à pas).
- On calcule la valeur pour 1 unité (on divise).
- On multiplie cette valeur par la quantité voulue.
Exemple. 5 cahiers coûtent 8,50 €. Combien coûtent 7 cahiers ?
1 cahier : 8,50 ÷ 5 = 1,70 €.
7 cahiers : 1,70 × 7 = 11,90 €.
| Cahiers | 5 | 1 | 7 |
|---|
| Prix (€) | 8,50 | 1,70 | 11,90 |
|---|
On peut aussi raisonner avec le coefficient directement : ici le prix d'un cahier (1,70 €) est le coefficient de proportionnalité.
⚠️ Attention au sens : « 1 unité » désigne la grandeur que l'on connaît en entier. Lis bien l'énoncé pour savoir si tu cherches le prix pour 1 objet, ou la masse pour 1 €, etc.
5Le produit en croix
Quand les nombres ne « tombent pas juste », le produit en croix est une méthode rapide et toujours valable pour trouver une quatrième proportionnelle.
Règle du produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, le produit des nombres d'une
diagonale est égal au produit des nombres de l'
autre diagonale :
a × x = b × c donc x = b × ca
Exemple. 3 kg de cerises coûtent 13,50 €. Combien coûtent 4 kg ?
| Masse (kg) | 3 | 4 |
|---|
| Prix (€) | 13,50 | x |
|---|
x =
4 × 13,503 =
543 =
18 €.
💡 La valeur cherchée se met « en bas à droite » : on multiplie les deux nombres en diagonale de la croix complète, puis on divise par le nombre restant.
⚠️ Le produit en croix n'est valable que si la situation est proportionnelle. Ne l'utilise jamais pour des grandeurs qui ne le sont pas.
6Appliquer un pourcentage (t %)
Un pourcentage est une proportion exprimée « sur 100 ». Dire « 25 % » signifie « 25 sur 100 », c'est-à-dire la fraction 25100 = 0,25.
Calculer t % d'une quantité. Prendre t % d'un nombre, c'est le multiplier par
t100 :
t % de N = N × t100
Exemple. 30 % de 80 élèves = 80 × 30100 = 2400100 = 24 élèves.
| Pourcentage | Fraction | En multipliant par… |
|---|
| 50 % | 50100 = 12 | 0,5 (la moitié) |
| 25 % | 25100 = 14 | 0,25 (le quart) |
| 10 % | 10100 = 110 | 0,1 (÷ 10) |
| 100 % | 100100 = 1 | 1 (le tout) |
💡 Un pourcentage, c'est une proportionnalité : le tableau a une colonne « 100 » en haut et « le total » en bas. 100 % correspond toujours au tout.
7Augmenter ou diminuer de t %
Une hausse ou une baisse exprimée en pourcentage se calcule en deux temps : on calcule d'abord la variation (t % du nombre), puis on l'ajoute ou on la retranche.
Augmenter de t %
Méthode. Variation = N × t100, puis nouveau prix = ancien + variation.
Exemple. Un article à 40 € augmente de 15 %.
Variation : 40 × 15100 = 6 €.
Nouveau prix : 40 + 6 = 46 €.
Diminuer de t % (une remise)
Exemple. Un jean à 50 € est soldé à −20 %.
Remise : 50 × 20100 = 10 €.
Prix soldé : 50 − 10 = 40 €.
💡 Méthode rapide (coefficient multiplicateur). Augmenter de 15 % revient à multiplier par 1,15 (= 1 + 0,15). Diminuer de 20 % revient à multiplier par 0,80 (= 1 − 0,20). Ainsi 50 × 0,80 = 40 € directement.
⚠️ Une baisse de 20 % suivie d'une hausse de 20 % ne redonne pas le prix de départ ! 50 → 40 (−20 %) → 48 (+20 %). On ne « rattrape » pas, car les 20 % ne portent pas sur le même nombre.
8Les échelles d'un plan
Sur une carte ou un plan, les distances sont proportionnelles aux distances réelles. Le coefficient s'appelle l'échelle.
Définition. L'échelle est le quotient :
échelle = distance sur le plandistance réelle
(les deux distances doivent être dans la
même unité).
Une échelle de 1/200 signifie : 1 cm sur le plan = 200 cm en vrai (soit 2 m).
| Sur le plan (cm) | 1 | 5 | ? |
|---|
| En réalité (cm) | 200 | 1000 | ... |
|---|
Exemple. Échelle 1/200. Sur le plan, un mur mesure 5 cm. En réalité : 5 × 200 = 1000 cm = 10 m.
Dans l'autre sens : une porte large de 1 m (= 100 cm) sera dessinée 100 ÷ 200 = 0,5 cm sur le plan.
⚠️ Pense à convertir les unités (m ↔ cm ↔ km) avant et après le calcul. 1 m = 100 cm ; 1 km = 100 000 cm.
9La vitesse moyenne
La vitesse est un autre exemple de proportionnalité : pour un déplacement à allure régulière, la distance parcourue est proportionnelle au temps. Le coefficient est la vitesse.
Formule de la vitesse moyenne.
vitesse = distancedurée
On en déduit : distance = vitesse × durée et durée =
distancevitesse.
Si la vitesse est en km/h, la distance est en km et la durée en heures.
Exemple. Une voiture parcourt 240 km en 3 h.
Vitesse : 240 ÷ 3 = 80 km/h.
En 5 h à cette allure : 80 × 5 = 400 km.
| Durée (h) | 3 | 1 | 5 |
|---|
| Distance (km) | 240 | 80 | 400 |
|---|
⚠️ Attention aux unités de temps : 30 min = 0,5 h (et non 0,30 h !) ; 15 min = 0,25 h ; 45 min = 0,75 h.
🎓 Récap express : proportionnalité = on multiplie toujours par le même coefficient · vérifie avec bas ÷ haut · linéarité (additionner / multiplier les colonnes) · passage à l'unité ou produit en croix pour la 4ᵉ proportionnelle · t % de N = N × t100 · augmenter de t % → ×(1 + t/100), diminuer → ×(1 − t/100) · échelle = plan ÷ réel (même unité) · vitesse = distance ÷ durée.