À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Proportionnalité & pourcentages » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître une situation de proportionnalité, Le coefficient de proportionnalité, Compléter un tableau de proportionnalité, La quatrième proportionnelle (produit en croix). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Reconnaître une situation de proportionnalité
2 · Le coefficient de proportionnalité
3 · Compléter un tableau de proportionnalité
4 · La quatrième proportionnelle (produit en croix)
5 · Échelles, vitesses et débits
6 · Les pourcentages
7 · Représentation graphique de la proportionnalité
1Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand elles « augmentent ou diminuent ensemble de la même façon » : si l'une est multipliée par un nombre, l'autre l'est par le même nombre.
Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe toujours de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Exemple. Un stylo coûte $2$ €. Alors $3$ stylos coûtent $6$ €, $5$ stylos coûtent $10$ €. On multiplie toujours le nombre de stylos par $2$ pour obtenir le prix : c'est une situation de proportionnalité.
Attention ! Tout n'est pas proportionnel. La taille d'une personne n'est pas proportionnelle à son âge : un enfant de $10$ ans ne mesure pas le double d'un enfant de $5$ ans. De même, le prix d'un abonnement avec frais fixes n'est pas proportionnel.
2Le coefficient de proportionnalité
On range souvent les données dans un tableau. Pour passer de la ligne du haut à la ligne du bas, on multiplie par le coefficient $k$.
Règle. Dans un tableau de proportionnalité, chaque nombre de la 2e ligne s'obtient en multipliant celui du dessus par le coefficient $k$ : $$\text{2e ligne} = k \times \text{1re ligne}.$$ Pour trouver $k$, on divise un nombre du bas par celui du haut : $k = \dfrac{\text{2e ligne}}{\text{1re ligne}}$.
Exemple. Avec nos stylos à $2$ € :
| Nombre de stylos | 1 | 3 | 5 | 8 |
|---|
| Prix (€) | 2 | 6 | 10 | 16 |
|---|
Ici $k = \dfrac{6}{3} = 2$ : on multiplie chaque nombre de stylos par $2$. Le prix de $8$ stylos est $8 \times 2 = 16$ €.
Astuce. Pour vérifier qu'un tableau est proportionnel, calcule tous les quotients $\frac{\text{bas}}{\text{haut}}$ : s'ils sont tous égaux, c'est proportionnel.
3Compléter un tableau de proportionnalité
Quand on connaît le coefficient $k$, compléter un tableau devient facile : on multiplie (pour descendre) ou on divise (pour remonter).
Méthode. 1) Je trouve le coefficient $k$ à partir d'une colonne complète. 2) Pour trouver un nombre du bas, je multiplie le haut par $k$. 3) Pour trouver un nombre du haut, je divise le bas par $k$.
Exemple. $4$ croissants coûtent $5$ €. Combien coûtent $12$ croissants ?
Coefficient : $k = \dfrac{5}{4} = 1{,}25$. Donc $12$ croissants coûtent $12 \times 1{,}25 = 15$ €.
Autre méthode : passer par l'unité. $4$ croissants $\to 5$ €, donc $1$ croissant $\to 5 \div 4 = 1{,}25$ €, et $12$ croissants $\to 12 \times 1{,}25 = 15$ €.
4La quatrième proportionnelle (produit en croix)
Souvent, on connaît trois nombres d'un tableau de proportionnalité et on cherche le quatrième. On l'appelle la quatrième proportionnelle.
Règle (produit en croix). Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. Si le tableau est $\begin{array}{|c|c|} \hline a & b \\ \hline c & x \\ \hline \end{array}$, alors $a \times x = b \times c$, donc $x = \dfrac{b \times c}{a}$.
Exemple. $3$ kg de pommes coûtent $7{,}50$ €. Combien coûtent $5$ kg ?
| Masse (kg) | 3 | 5 |
|---|
| Prix (€) | 7,50 | $x$ |
|---|
Produit en croix : $x = \dfrac{5 \times 7{,}50}{3} = \dfrac{37{,}50}{3} = 12{,}50$ €.
Attention ! Le produit en croix ne marche que pour des situations de proportionnalité. Place bien les nombres : ce qui se correspond doit être dans la même colonne.
5Échelles, vitesses et débits
La proportionnalité est partout : sur une carte, dans un trajet, dans un robinet qui coule.
Échelle. L'échelle d'un plan ou d'une carte est le coefficient de proportionnalité entre les longueurs sur le dessin et les longueurs réelles (dans la même unité) : $$\text{échelle} = \dfrac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}.$$ Une échelle $\frac{1}{200}$ signifie : $1$ cm sur le plan représente $200$ cm en vrai.
Exemple. Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{1\,000\,000}$, deux villes sont distantes de $4$ cm. La distance réelle est $4 \times 1\,000\,000 = 4\,000\,000$ cm $= 40$ km.
Vitesse moyenne. Si on parcourt une distance proportionnelle au temps, la vitesse est le coefficient : $$v = \dfrac{d}{t}.$$ Une vitesse de $60$ km/h signifie $60$ km parcourus en $1$ heure.
Exemple. Une voiture roule à $90$ km/h. En $2$ h elle parcourt $90 \times 2 = 180$ km. Pour faire $45$ km, il lui faut $\dfrac{45}{90} = 0{,}5$ h, soit $30$ min.
6Les pourcentages
Un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion sur $100$. « $25\,\%$ » se lit « $25$ pour cent », c'est-à-dire $\dfrac{25}{100}$.
Règle. Prendre $t\,\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$ : $$t\,\% \text{ de } N = N \times \dfrac{t}{100}.$$
Exemple. $25\,\%$ de $80$ élèves : $80 \times \dfrac{25}{100} = 80 \times 0{,}25 = 20$ élèves.
Exemple (réduction). Un jeu à $40$ € est soldé à $-30\,\%$. La réduction vaut $40 \times \dfrac{30}{100} = 12$ €, donc le nouveau prix est $40 - 12 = 28$ €.
| Pourcentage | Fraction | Multiplier par |
|---|
| $50\,\%$ | $\frac{1}{2}$ | $0{,}5$ |
| $25\,\%$ | $\frac{1}{4}$ | $0{,}25$ |
| $10\,\%$ | $\frac{1}{10}$ | $0{,}1$ |
| $75\,\%$ | $\frac{3}{4}$ | $0{,}75$ |
Astuce. Pour calculer $10\,\%$ d'un nombre, il suffit de le diviser par $10$. Pour $1\,\%$, on divise par $100$.
7Représentation graphique de la proportionnalité
Quand on représente une situation de proportionnalité sur un graphique, on obtient toujours une droite qui passe par l'origine (le point $(0\,;\,0)$).
Propriété. Une situation est proportionnelle si et seulement si les points sont alignés avec l'origine. Si les points ne sont pas alignés, ou si la droite ne passe pas par $(0\,;\,0)$, ce n'est pas proportionnel.
Exemple. Pour les stylos à $2$ €, les points $(1\,;\,2)$, $(3\,;\,6)$, $(5\,;\,10)$ sont alignés sur une droite passant par l'origine.
Attention ! Une droite qui ne passe pas par l'origine (par exemple un abonnement avec frais fixes) n'est pas une situation de proportionnalité, même si c'est une droite.
★À retenir
En bref :
• Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre $k$ (le coefficient).
• Dans un tableau : $\text{2e ligne} = k \times \text{1re ligne}$, et $k = \frac{\text{bas}}{\text{haut}}$.
• Produit en croix : pour $\begin{array}{|c|c|}\hline a & b\\\hline c & x\\\hline\end{array}$, on a $x = \frac{b \times c}{a}$.
• Échelle $= \frac{\text{plan}}{\text{réel}}$ ; vitesse $v = \frac{d}{t}$.
• Pourcentage : $t\,\%$ de $N = N \times \frac{t}{100}$.
• Graphique : proportionnel $\Leftrightarrow$ points alignés avec l'origine.