Collège · 5ᵉ · Mathématiques
Proportionnalité & pourcentages
Tableaux, coefficient, produit en croix, échelles, vitesses et pourcentages (programme de 5e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Proportionnalité & pourcentages » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître une situation de proportionnalité, Le coefficient de proportionnalité, Compléter un tableau, La quatrième proportionnelle (produit en croix). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
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Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.
Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles si le quotient de l'une par l'autre est constant. Ce quotient est le coefficient de proportionnalité.
Exemple proportionnel. Un stylo coûte $2$ € : $3$ stylos coûtent $6$ €, $5$ stylos $10$ €. Le prix est toujours $2 \times$ le nombre de stylos.
Contre-exemple. L'âge d'une personne et sa taille ne sont pas proportionnels : un enfant de $10$ ans ne mesure pas le double d'un enfant de $5$ ans. De même, un abonnement avec frais fixes n'est pas proportionnel.
Test rapide. Si la valeur double quand l'autre double, et que « zéro donne zéro », la situation est probablement proportionnelle.
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Le coefficient de proportionnalité
On range les données dans un tableau : la 2e ligne s'obtient en multipliant la 1re par le coefficient $k$.
Règle. $$\text{2}^\text{e}\text{ ligne} = k \times \text{1}^\text{re}\text{ ligne} \qquad \text{et} \qquad k = \frac{\text{2}^\text{e}\text{ ligne}}{\text{1}^\text{re}\text{ ligne}}.$$
| Nombre de stylos | $1$ | $3$ | $5$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | $2$ | $6$ | $10$ | $16$ |
Exemple. $k = \dfrac{6}{3} = 2$ : le coefficient vaut $2$ €/stylo. On vérifie sur les autres colonnes : $\dfrac{10}{5} = 2$ et $\dfrac{16}{8} = 2$.
Astuce. Le coefficient a souvent une unité parlante : €/kg, km/h, €/h. Le nommer aide à ne pas l'utiliser à l'envers.
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Compléter un tableau
Deux méthodes coexistent : passer par le coefficient, ou utiliser la linéarité (additions et multiplications sur les colonnes).
Méthode 1 — par le coefficient. 1. Je calcule $k$ sur une colonne complète. 2. Je multiplie par $k$ pour descendre, je divise par $k$ pour remonter.
Méthode 2 — par linéarité. Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes ou en multiplier une par un nombre : $4$ croissants $+$ $8$ croissants $=$ $12$ croissants, et les prix s'additionnent de la même façon.
Exemple. $4$ croissants coûtent $5$ €. Combien pour $12$ ?
Par le coefficient : $k = \dfrac{5}{4} = 1{,}25$, donc $12 \times 1{,}25 = 15$ €.
Par linéarité : $12 = 3 \times 4$, donc le prix est $3 \times 5 = 15$ €.
Par le coefficient : $k = \dfrac{5}{4} = 1{,}25$, donc $12 \times 1{,}25 = 15$ €.
Par linéarité : $12 = 3 \times 4$, donc le prix est $3 \times 5 = 15$ €.
Astuce. Quand le coefficient tombe mal (comme $\dfrac{7}{3}$), la linéarité ou le produit en croix évite les arrondis.
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La quatrième proportionnelle (produit en croix)
On connaît trois nombres d'un tableau et on cherche le quatrième.
Règle (produit en croix). Dans un tableau de proportionnalité à deux colonnes $\begin{array}{|c|c|} \hline a & b \\ \hline c & x \\ \hline \end{array}$, on a $a \times x = b \times c$, donc $$x = \frac{b \times c}{a}.$$
Exemple. $3$ kg de pommes coûtent $7{,}50$ €. Combien coûtent $5$ kg ?
$x = \dfrac{7{,}50 \times 5}{3} = \dfrac{37{,}50}{3} = 12{,}50$ €.
$x = \dfrac{7{,}50 \times 5}{3} = \dfrac{37{,}50}{3} = 12{,}50$ €.
Attention ! Le produit en croix ne s'applique que si la situation est proportionnelle. Un tarif avec un abonnement fixe ne l'est pas.
Astuce. Range toujours le tableau avec la même grandeur sur chaque ligne : c'est l'erreur de disposition qui fausse le plus souvent le produit en croix.
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Échelles, vitesses et débits
La proportionnalité se cache derrière la plupart des grandeurs composées.
Échelle. $$\text{échelle} = \frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}} \quad (\text{même unité}).$$ Une échelle $\dfrac{1}{200}$ signifie : $1$ cm sur le plan représente $200$ cm en réalité.
Exemple. Sur une carte au $\dfrac{1}{25\,000}$, $4$ cm représentent $4 \times 25\,000 = 100\,000$ cm, soit $1\,000$ m ou $1$ km.
Vitesse moyenne. $$v = \frac{\text{distance}}{\text{durée}}.$$ Une vitesse de $60$ km/h signifie $60$ km parcourus chaque heure.
Exemple. $210$ km en $1$ h $30$ (soit $1{,}5$ h) : $v = \dfrac{210}{1{,}5} = 140$ km/h.
Attention aux unités ! Avant tout calcul de vitesse, convertis la durée en heures (ou en minutes) : $1$ h $30$ vaut $1{,}5$ h, et non $1{,}30$ h.
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Les pourcentages
Un pourcentage exprime une proportion sur $100$ : $25\,\%$ signifie $\dfrac{25}{100}$.
Prendre un pourcentage. $$t\,\% \text{ de } N = N \times \frac{t}{100}.$$
Exemple. $25\,\%$ de $80$ élèves : $80 \times \dfrac{25}{100} = 20$ élèves.
Calculer un pourcentage. Pour savoir quel pourcentage représente une partie : $$t = \frac{\text{partie}}{\text{total}} \times 100.$$
Exemple. $12$ élèves sur $30$ : $\dfrac{12}{30} \times 100 = 40\,\%$.
Hausse et baisse. Un jeu à $40$ € soldé $-30\,\%$ : réduction $40 \times 0{,}30 = 12$ €, prix payé $28$ €. On peut aussi multiplier directement par $0{,}70$.
Attention ! Une hausse de $10\,\%$ suivie d'une baisse de $10\,\%$ ne redonne pas le prix de départ : $100 \to 110 \to 99$ €. Les pourcentages ne s'additionnent pas.
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Représentation graphique
Une situation de proportionnalité se reconnaît d'un coup d'œil sur un graphique.
Propriété. Une situation est proportionnelle si et seulement si les points sont alignés avec l'origine $(0\,;\,0)$.
Attention ! Une droite qui ne passe pas par l'origine ne traduit pas une proportionnalité : c'est le cas d'un abonnement de $25$ € plus $4$ € par séance.
Astuce. Sur un graphique proportionnel, le coefficient se lit directement : c'est la valeur atteinte pour une abscisse de $1$.
En bref
- Proportionnalité = on multiplie toujours par le même nombre $k$ ; le quotient bas/haut est constant.
- Produit en croix : si $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{x}$ alors $x = \dfrac{b \times c}{a}$.
- Échelle $= \dfrac{\text{plan}}{\text{réel}}$ ; vitesse $= \dfrac{\text{distance}}{\text{durée}}$ (durée en heures !).
- Pourcentage : $t\,\%$ de $N = N \times \dfrac{t}{100}$ ; et $t = \dfrac{\text{partie}}{\text{total}} \times 100$.
- Une baisse de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$ ; hausse puis baisse de $10\,\%$ ne redonne pas le prix initial.
- Graphique : points alignés avec l'origine.
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