Proportionnalité : reconnaître, coefficient et graphique

Le prix est proportionnel à la quantité. Calcule le coefficient : le prix d’une unité, en euros.

1. $4$ cahiers coûtent $10$ €. Prix d’un cahier : €
   $10÷4=2,5$ : le coefficient est $2,50$ € par cahier.
2. $6$ kg de riz coûtent $9$ €. Prix d’un kilogramme : €
   $9÷6=1,5$ : le coefficient est $1,50$ €/kg.
3. $5$ places de concert coûtent $42,50$ €. Prix d’une place : €
   $42,50÷5=8,5$ : une place coûte $8,50$ €.
4. $3$ heures de location coûtent $21$ €. Prix d’une heure : €
   $21÷3=7$ : le coefficient est $7$ €/h.

Calcule, puis lis la correction : la situation est-elle proportionnelle ?

1. Un club demande $12$ € d’abonnement plus $3$ € par séance. Pour $2$ séances, on paie $18$ €. Prix pour $4$ séances : €
   $12+3\times 4=24$ €, et non $2\times 18=36$ € : à cause de l’abonnement, le prix n’est pas proportionnel au nombre de séances.

2. Nombre de places	$1$	$4$	$10$
   Prix (€)	$9$	$32$	$70$

   Prix d’une place quand on en achète $10$ : €
   $9÷1=9$ ; $32÷4=8$ ; $70÷10=7$. Le prix d’une place baisse (tarif dégressif) : ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

3. Durée (h)	$2$	$3$	$5$
   Distance (km)	$9$	$13,5$	$22,5$

   Coefficient (distance parcourue en $1$ h) : km/h
   $9÷2=4,5$ ; $13,5÷3=4,5$ ; $22,5÷5=4,5$ : tableau de proportionnalité, de coefficient $4,5$ km/h (la vitesse du marcheur).
4. Le côté d’un triangle équilatéral et son périmètre. Coefficient :
   Le périmètre vaut toujours $3$ fois le côté (les trois côtés sont égaux) : c’est une situation de proportionnalité, de coefficient $3$.

Dans chaque tableau, une seule valeur de la 2^e ligne empêche la proportionnalité. Par quel nombre faut-il la remplacer ?

1. Masse (kg)	$3$	$5$	$8$
   Prix (€)	$7,5$	$12,5$	$21$

   Nombre à écrire :
   $7,5÷3=2,5$ et $12,5÷5=2,5$, mais $21÷8=2,625$. Il faut $8\times 2,5=20$ à la place de $21$.

2. Longueur (m)	$4$	$6$	$10$	$15$
   Masse (kg)	$3,2$	$4,8$	$8,5$	$12$

   Nombre à écrire :
   $3,2÷4=0,8$ ; $4,8÷6=0,8$ ; $12÷15=0,8$. Mais $10\times 0,8=8$ et non $8,5$ : on remplace $8,5$ par $8$.

3. Volume (L)	$0,5$	$2$	$3$	$4,5$
   Prix (€)	$1,6$	$6,4$	$9,8$	$14,4$

   Nombre à écrire :
   $1,6÷0,5=3,2$ ; $6,4÷2=3,2$ ; $14,4÷4,5=3,2$. Mais $3\times 3,2=9,6$ et non $9,8$ : on remplace $9,8$ par $9,6$.

Une recette de crêpes demande $150$ g de farine pour $6$ crêpes. Sans calculer le coefficient, utilise les propriétés de linéarité.

1. Farine pour $18$ crêpes : g
   $18=6\times 3$ (propriété multiplicative) : $150\times 3=450$ g.
2. Farine pour $3$ crêpes : g
   $3=6÷2$ : $150÷2=75$ g.
3. Farine pour $21$ crêpes : g
   $21=18+3$ (propriété additive) : $450+75=525$ g.
4. Farine pour $15$ crêpes : g
   $15=18-3$ : on soustrait les deux colonnes, $450-75=375$ g.

Passe par l’unité (la valeur pour 1), puis réponds.

1. $7$ m de tissu coûtent $22,40$ €. Prix de $12$ m : €
   $22,40÷7=3,20$ € le mètre, puis $12\times 3,20=38,40$ €.
2. $9$ L d’essence coûtent $16,20$ €. Prix de $25$ L : €
   $16,20÷9=1,80$ € le litre, puis $25\times 1,80=45$ €.
3. Avec $27$ € de cette même essence, on obtient L
   Un litre coûte $1,80$ € : $27÷1,80=15$ L. Contrôle : $15\times 1,80=27$.
4. $540$ g de semoule pour $6$ personnes. Semoule pour $10$ personnes : g
   $540÷6=90$ g par personne, puis $10\times 90=900$ g.

Un ruban est vendu au mètre : $3$ m coûtent $7$ €. Le coefficient ne tombe pas juste ($7÷3=2,333\dots$) : utilise les propriétés de linéarité.

1. Prix de $12$ m : €
   $12=3\times 4$ : $7\times 4=28$ €.
2. Prix de $15$ m : €
   $15=12+3$ : $28+7=35$ € (ou $15=3\times 5$ et $7\times 5=35$).
3. Prix de $4,5$ m : €
   $4,5=3\times 1,5$ : $7\times 1,5=10,50$ €.
4. Longueur achetée avec $49$ € : m
   $49=7\times 7$ : on multiplie aussi la longueur par $7$, $3\times 7=21$ m.

Du plan à la réalité : donne la distance réelle dans l’unité demandée.

1. Carte à l’échelle $1/25000$ : $6$ cm représentent km
   $6\times 25000=150000$ cm $=1500$ m $=1,5$ km.
2. Plan à l’échelle $1/50$ : un mur de $7,4$ cm sur le plan mesure m
   $7,4\times 50=370$ cm $=3,7$ m.
3. Carte à l’échelle $1/100000$ : $4,5$ cm représentent km
   $4,5\times 100000=450000$ cm $=4,5$ km. À $1/100000$, $1$ cm représente $1$ km.

De la réalité au plan : donne la longueur sur le plan, en cm.

1. Plan à l’échelle $1/50$ : une pièce de $4,5$ m mesure cm
   $4,5$ m $=450$ cm, puis $450÷50=9$ cm.
2. Carte à l’échelle $1/250000$ : une route droite de $30$ km mesure cm
   $30$ km $=3000000$ cm, puis $3000000÷250000=12$ cm.
3. Plan à l’échelle $1/200$ : un terrain de $35$ m de long mesure cm
   $35$ m $=3500$ cm, puis $3500÷200=17,5$ cm.

Trouve l’échelle, ou utilise un agrandissement.

1. Sur un plan, $4$ cm représentent $10$ m. Échelle : $1/$
   $10$ m $=1000$ cm et $1000÷4=250$ : $1$ cm représente $250$ cm. L’échelle est $1/250$.
2. Sur une carte, $2,5$ cm représentent $5$ km. Échelle : $1/$
   $5$ km $=500000$ cm et $500000÷2,5=200000$. L’échelle est $1/200000$.
3. Schéma d’un grain de pollen à l’échelle $200:1$ (agrandissement). Un grain de $0,05$ mm mesure, sur le schéma, mm
   Agrandissement : dessin $=$ réel $\times 200$, donc $0,05\times 200=10$ mm, c’est-à-dire $1$ cm.

Écris chaque durée en heures (nombre décimal) ou en minutes. Rappel : $1$ h $=60$ min.

1. $1$ h $30$ min $=$ h
   $30$ min, c’est la moitié d’une heure : $0,5$ h. Donc $1$ h $30$ min $=1,5$ h (et non $1,30$ h).
2. $3$ h $45$ min $=$ h
   $45$ min $=45÷60$ h $=0,75$ h. Donc $3$ h $45$ min $=3,75$ h.
3. $18$ min $=$ h
   $18÷60=0,3$ : $18$ min $=0,3$ h.
4. $0,4$ h $=$ min
   $0,4\times 60=24$ : $0,4$ h $=24$ min.

Calcule la vitesse moyenne.

1. Un train parcourt $315$ km en $2$ h $30$ min. Vitesse moyenne : km/h
   $2$ h $30$ min $=2,5$ h, donc $315÷2,5=126$ km/h.
2. Un randonneur parcourt $9$ km en $2$ h $15$ min. Vitesse moyenne : km/h
   $2$ h $15$ min $=2,25$ h, donc $9÷2,25=4$ km/h. Contrôle : $4\times 2,25=9$.
3. Une coureuse parcourt $1200$ m en $5$ min. Vitesse moyenne : m/s
   $5$ min $=300$ s, donc $1200÷300=4$ m/s.

Calcule une distance ou une durée.

1. Un cycliste roule à $18$ km/h pendant $40$ min. Distance parcourue : km
   En $60$ min, il parcourt $18$ km ; en $20$ min (le tiers), $18÷3=6$ km ; en $40$ min, $2\times 6=12$ km.
2. Une voiture roule à $90$ km/h de moyenne. Durée pour parcourir $135$ km : h min
   $135÷90=1,5$ h. $0,5$ h $=0,5\times 60=30$ min : la durée est $1$ h $30$ min.
3. Un train roule $1$ h $45$ min à $240$ km/h de moyenne. Distance parcourue : km
   $1$ h $45$ min $=1,75$ h, donc $1,75\times 240=420$ km.

Le graphique donne le prix payé en fonction de la masse de clémentines achetée.

1. Prix de $1$ kg (le coefficient) : €
   Pour $1$ kg, on lit $2,50$ € : le coefficient est $2,5$ €/kg.
2. Prix de $4$ kg : €
   Pour $4$ kg, on lit $10$ €. Contrôle : $4\times 2,5=10$.
3. Masse achetée avec $7,50$ € : kg
   Pour $7,50$ €, on lit $3$ kg. Contrôle : $3\times 2,5=7,5$.

Les tracés A, B et C donnent le prix d’une location en fonction de sa durée, pour trois loueurs.

1. Lettre du tracé qui représente une situation de proportionnalité :
   C est une droite qui passe par l’origine. A passe par l’origine, mais ce n’est pas une droite ; B est une droite qui ne passe pas par l’origine.
2. Prix d’une heure avec le loueur C : €
   Pour $1$ h, on lit $4$ € sur la droite C : c’est le coefficient ($4$ € par heure).
3. Prix de $3$ h avec le loueur B : €
   Pour $3$ h, on lit $11$ € sur la droite B. Cette droite coupe l’axe vertical à $5$ € : on paie $5$ € même pour $0$ h, ce montant fixe empêche la proportionnalité.

Une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l’origine et par le point $(4;14)$.

1. Coefficient :
   Le coefficient est l’ordonnée du point d’abscisse $1$ : $14÷4=3,5$.
2. Ordonnée du point d’abscisse $10$ :
   $10\times 3,5=35$ : le point $(10;35)$ est sur la droite.
3. Abscisse du point d’ordonnée $21$ :
   Pour remonter, on divise par le coefficient : $21÷3,5=6$.
4. Ordonnée du point d’abscisse $0,6$ :
   $0,6\times 3,5=2,1$.