Proportionnalité : reconnaître, coefficient et graphique

Reconnaître une situation de proportionnalité (tableau, énoncé, graphique), coefficient et son unité, compléter un tableau (coefficient, linéarité, passage à l’unité), échelles d’un plan ou d’une carte, vitesse moyenne, points alignés avec l’origine.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés de proportionnalité : des tomates au marché, le plan du collège, la consommation d’une voiture, deux salles de sport avec ou sans inscription, une randonnée tracée sur une carte et deux agences de location comparées sur un graphique.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère les deux grandeurs et je vérifie que la situation est proportionnelle : pas de montant fixe, pas de tarif dégressif.
Je range les données dans un tableau, avec la même unité sur chaque ligne (cm et cm pour une échelle, heures décimales pour une vitesse).
Je choisis l’outil : linéarité si un lien simple apparaît, sinon passage à l’unité ou coefficient (prix d’une unité, échelle, vitesse).
Je vérifie que le résultat est vraisemblable, puis je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Au marché★★★Facile

Au marché,

3

kg de tomates coûtent

7, 20

€. Le prix est proportionnel à la masse.

1. Prix d’un kilogramme de tomates : €
$7, 20 \div 3 = 2, 40$ : les tomates coûtent $2, 40$ €/kg.
2. Prix de $5$ kg : €
$5 \times 2, 40 = 12$ €.
3. Masse de tomates qu’on peut acheter avec $18$ € : kg
$18 \div 2, 40 = 7, 5$ kg. Contrôle : $7, 5 \times 2, 40 = 18$ .
4. Un autre vendeur propose « $5$ kg pour $11$ € ». Prix d’un kilogramme chez lui : €
$11 \div 5 = 2, 20$ €/kg, moins que $2, 40$ €/kg : son offre est plus avantageuse. Pour comparer deux offres, on compare les prix d’une unité.

Problème 2 · Le plan du collège★★★Facile

Sur un plan du collège à l’échelle

1 / 200

, la cour est un rectangle de

12

cm sur

7, 5

cm.

1. Longueur réelle de la cour : m
$12 \times 200 = 2 400$ cm $= 24$ m.
2. Largeur réelle de la cour : m
$7, 5 \times 200 = 1 500$ cm $= 15$ m.
3. Périmètre réel de la cour : m
$2 \times (24 + 15) = 78$ m. On peut aussi calculer le périmètre sur le plan, $2 \times (12 + 7, 5) = 39$ cm, puis $39 \times 200 = 7 800$ cm $= 78$ m.
4. Aire réelle de la cour : m²
$24 \times 15 = 360$ m². Sur le plan, l’aire est $12 \times 7, 5 = 90$ cm² : l’échelle s’applique aux longueurs, l’aire réelle n’est pas $200$ fois l’aire sur le plan.
5. Le gymnase mesure $40$ m de long. Sa longueur sur le plan : cm
$40$ m $= 4 000$ cm, puis $4 000 \div 200 = 20$ cm.

Problème 3 · Le trajet en voiture★★★Moyen

Une voiture consomme

5, 6

L d’essence pour

100

km ; la consommation est proportionnelle à la distance. L’essence coûte

1, 85

€ le litre.

1. Essence consommée pour $250$ km : L
$250 = 100 \times 2, 5$ , donc $5, 6 \times 2, 5 = 14$ L.
2. Coût de l’essence pour ces $250$ km : €
$14 \times 1, 85 = 25, 90$ €.
3. Distance qu’on peut parcourir avec $35$ L : km
$35 \div 5, 6 = 6, 25$ : $35$ L, c’est $6, 25$ fois $5, 6$ L. La distance est $6, 25 \times 100 = 625$ km.
4. Les $250$ km durent $2$ h $30$ min. Vitesse moyenne : km/h
$2$ h $30$ min $= 2, 5$ h, donc $250 \div 2, 5 = 100$ km/h.

Problème 4 · Les deux salles de sport★★★Moyen

La salle A demande

22

€ par mois, sans inscription. La salle B demande

60

€ d’inscription, puis

14

€ par mois.

1. Prix de la salle A pour $6$ mois : €
$22 \times 6 = 132$ €. Le prix de A est proportionnel à la durée (coefficient $22$ € par mois).
2. Prix de la salle B pour $6$ mois : €
$60 + 14 \times 6 = 60 + 84 = 144$ €. À cause de l’inscription, le prix de B n’est pas proportionnel à la durée.
3. Pour $12$ mois, lettre de la salle la moins chère :
A : $22 \times 12 = 264$ € ; B : $60 + 14 \times 12 = 228$ €. La salle B est la moins chère.
4. Nombre de mois à partir duquel la salle B devient la moins chère :
$7$ mois : A coûte $154$ €, B coûte $60 + 98 = 158$ €. $8$ mois : A coûte $176$ €, B coûte $60 + 112 = 172$ €. B devient la moins chère à partir de $8$ mois.

Problème 5 · La randonnée★★★Difficile

Sur une carte à l’échelle

1 / 50 000

, l’itinéraire d’une randonnée mesure

24

cm. Quand il marche, le groupe avance à

4

km/h de moyenne.

1. Longueur réelle de l’itinéraire : km
$24 \times 50 000 = 1 200 000$ cm $= 12 000$ m $= 12$ km.
2. Durée de marche, sans les pauses : h
$12 \div 4 = 3$ h.
3. Le groupe part à $8$ h $45$ min et fait $1$ h de pauses en tout. Heure d’arrivée : h min
$3$ h de marche et $1$ h de pauses : $4$ h en tout. $8$ h $45$ min $+ 4$ h $= 12$ h $45$ min.
4. Vitesse moyenne sur toute la randonnée, pauses comprises : km/h
Le trajet dure $4$ h en tout : $12 \div 4 = 3$ km/h. Les pauses font baisser la vitesse moyenne.

Problème 6 · Les deux agences de location★★★Difficile

Pour louer une camionnette une journée, deux agences affichent leurs prix sur ce graphique, en fonction de la distance parcourue.

1. Lettre de l’agence dont le prix est proportionnel à la distance :
La droite A passe par l’origine : prix proportionnel à la distance. La droite B part de $20$ € : il y a un montant fixe.
2. Prix d’un kilomètre chez A (le coefficient) : €
On lit $80$ € pour $200$ km : $80 \div 200 = 0, 4$ . Un kilomètre coûte $0, 40$ € chez A.
3. Prix chez A pour $150$ km : €
$150 \times 0, 4 = 60$ €.
4. Prix chez B pour $150$ km (lecture graphique) : €
On lit $50$ € sur la droite B pour $150$ km. Par le calcul : B part de $20$ € et augmente de $40$ € de $0$ à $200$ km, soit $0, 20$ € par km ; $20 + 150 \times 0, 2 = 50$ €.
5. Distance pour laquelle les deux agences coûtent le même prix (lecture graphique) : km
Les deux droites se coupent au point $(100; 40)$ : pour $100$ km, on paie $40$ € dans les deux agences. Contrôle : $100 \times 0, 4 = 40$ et $20 + 100 \times 0, 2 = 40$ .

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