Fiche de révision : théorème de Thalès

Configuration des triangles emboîtés et côtés correspondants, égalité des trois rapports (théorème de Thalès), calcul d’une longueur par produit en croix et rédaction, rapport de réduction, agrandissement et réduction (longueurs, périmètre, angles conservés), longueurs à déduire et cas des milieux, réciproque pour prouver un parallélisme, applications : ombre, hauteur inaccessible, verre conique.

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Théorème de Thalès : triangles emboîtés

Fiche méthode

(Mathématiques 4ᵉ · Espace et géométrie · Théorème de Thalès)

La démarche pour utiliser le théorème de Thalès

1. Je repère la configuration : le sommet commun, les deux points sur les côtés, les deux droites parallèles (énoncé, verticales).

2. Je cite le bon outil : le théorème de Thalès pour une longueur, sa réciproque ou sa contraposée pour savoir si deux droites sont parallèles.

3. J’écris les rapports avec les lettres, petit triangle en haut, grand en bas, puis je remplace par les valeurs, dans la même unité.

4. Je calcule et je conclus : produit en croix, contrôle (le petit est plus petit que le grand), unité.

Le réflexe — parallèles connues → théorème de Thalès et produit en croix ; parallélisme à prouver → je compare AM/AB et AN/AC ; MB donné → AB = AM + MB d’abord.

Cas 1 · Écrire l’égalité des rapports

Réflexe — je pars du sommet commun : côtés du petit triangle en haut, côtés correspondants du grand en bas ; le côté parallèle va avec le côté parallèle.

Exemple. Dans le triangle $I J K$ , $E \in [I J]$ , $F \in [I K]$ et $(E F) ∥ (J K)$ . Écrire l’égalité des rapports.

Le sommet commun est $I$ ; le petit triangle est $I E F$ , le grand est $I J K$ .

$\frac{I E}{I J} = \frac{I F}{I K} = \frac{E F}{J K}$ .

Attention — $E J$ et $F K$ ne sont des côtés d’aucun triangle : ils n’apparaissent jamais dans les rapports.

Cas 2 · Calculer une longueur

Réflexe — je garde les deux rapports qui contiennent la longueur cherchée et je fais un produit en croix.

Exemple. Même figure, $I E = 2$ cm, $I J = 5$ cm, $I K = 6, 5$ cm et $E F = 1, 8$ cm. Calculer $I F$ et $J K$ .

$(E F) ∥ (J K)$ , donc d’après le théorème de Thalès : $\frac{I E}{I J} = \frac{I F}{I K} = \frac{E F}{J K}$ , soit $\frac{2}{5} = \frac{I F}{6, 5} = \frac{1, 8}{J K}$ .

$I F = \frac{2 \times 6, 5}{5} = 2, 6$ cm et $J K = \frac{5 \times 1, 8}{2} = 4, 5$ cm.

Attention — contrôle : un côté du petit triangle est plus court que le côté correspondant du grand ( $2, 6 < 6, 5$ et $1, 8 < 4, 5$ ).

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Cas 3 · Rapport de réduction et longueurs à déduire

Réflexe — $k$ = petit ÷ grand ; petit = grand × $k$ , grand = petit ÷ $k$ ; si l’énoncé donne $E J$ , je calcule d’abord $I J = I E + E J$ .

Exemple. $I E = 4, 8$ cm, $E J = 1, 2$ cm, $J K = 5, 5$ cm et $(E F) ∥ (J K)$ . Calculer $E F$ .

$I J = 4, 8 + 1, 2 = 6$ cm, donc $k = 4, 8 \div 6 = 0, 8$ .

$E F = 0, 8 \times 5, 5 = 4, 4$ cm. Les angles sont conservés et le périmètre de $I E F$ vaut $0, 8$ fois celui de $I J K$ .

Attention — le rapport de Thalès est $\frac{I E}{I J}$ , pas $\frac{I E}{E J}$ .

Cas 4 · Les droites sont-elles parallèles ?

Réflexe — d’une part $\frac{I E}{I J}$ , d’autre part $\frac{I F}{I K}$ ; égaux → réciproque, parallèles ; différents → contraposée, pas parallèles.

Exemple. $I E = 2, 8$ cm, $I J = 4$ cm, $I F = 3, 5$ cm, $I K = 5$ cm. $(E F)$ et $(J K)$ sont-elles parallèles ?

Produits en croix : $I E \times I K = 2, 8 \times 5 = 14$ et $I J \times I F = 4 \times 3, 5 = 14$ .

Ils sont égaux, donc $\frac{I E}{I J} = \frac{I F}{I K}$ : d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(E F) ∥ (J K)$ .

Attention — on ne se sert pas de $\frac{E F}{J K}$ , et l’on n’arrondit pas avant de comparer.

Cas 5 · Thalès dans une situation

Réflexe — je fais un schéma ; je repère le sommet commun et les deux parallèles (souvent deux verticales).

Exemple. Un bâton vertical de $1, 6$ m a une ombre de $2$ m dont le bout coïncide avec celui de l’ombre d’une tour ; l’ombre de la tour mesure $30$ m. Hauteur de la tour ?

Le bâton et la tour sont verticaux, donc parallèles ; le sommet commun est le bout $S$ des ombres.

$\frac{2}{30} = \frac{1, 6}{h}$ , donc $h = \frac{30 \times 1, 6}{2} = 24$ m.

Attention — toutes les longueurs dans la même unité, et un résultat plausible.

Les pièges

Écrire $\frac{A M}{M B}$ : $M B$ n’est un côté d’aucun des deux triangles ; le bon rapport est $\frac{A M}{A B}$ .
Associer $M N$ à $A C$ au lieu de $B C$ : le côté parallèle va avec le côté parallèle.
Oublier d’écrire que les droites sont parallèles : le théorème n’est pas justifié.
Se tromper de sens dans le produit en croix : un côté du petit triangle plus long que celui du grand est forcément faux.
Utiliser $\frac{M N}{B C}$ pour prouver un parallélisme : seule la comparaison de $\frac{A M}{A B}$ et $\frac{A N}{A C}$ compte.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour utiliser le théorème de Thalès : repérer le sommet commun et les parallèles, écrire les rapports, faire le produit en croix ou comparer les rapports. Un exemple corrigé par cas, dans le triangle IJK, avec une ombre de tour pour finir, et les cinq pièges les plus fréquents.

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