Homothétie : agrandissement et réduction

1. a)$OA\prime =1,5\times 3,2=4,8$ cm et $OB\prime =1,5\times 2,8=4,2$ cm (on convertit $28$ mm $=2,8$ cm). Le rapport est négatif : $A\prime$ et $B\prime$ sont de l’autre côté de $O$ par rapport à $A$ et à $B$, sur les droites $(OA)$ et $(OB)$ (1)
2. b)$A\prime B\prime =1,5\times 2,6=3,9$ cm ; $\widehat{B\prime A\prime C\prime }={54}^{\circ }$ car une homothétie conserve les angles ; $(A\prime B\prime )$ est parallèle à $(AB)$ : l’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle (1)
3. c)L’aire est multipliée par $(-1,5{)}^2=2,25$ : $3,12\times 2,25=7,02$ cm² (1)
4. d)Non : c’est $OA\prime$ qui vaut $1,5\times OA$. Ici $O$ est entre $A$ et $A\prime$, donc $AA\prime =OA+OA\prime =3,2+4,8=8$ cm (1)

Méthode — Le rapport multiplie la distance au centre ; son signe dit seulement de quel côté de $O$ se trouve l’image. Pour une aire, on multiplie par $k^2$, toujours positif.

1. a)Voiture : $4,2$ m $=420$ cm et ${\displaystyle \frac{8,4}{420}}={\displaystyle \frac{1}{50}}$ ; avion : $36$ m $=3600$ cm et ${\displaystyle \frac{50}{3600}}={\displaystyle \frac{1}{72}}$. ${\displaystyle \frac{1}{72}}<{\displaystyle \frac{1}{50}}$ : la maquette de l’avion est la plus réduite (1)
2. b)$324$ m $=32400$ cm et $32400÷500=64,8$ cm (1)
3. c)$9,6$ m² $=96000$ cm². Les aires sont divisées par ${50}^2=2500$ : $96000÷2500=38,4$ cm² (1)
4. d)Il faut $38,4\times 0,5=19,2$ mL, plus que $12$ mL : un pot ne suffit pas, il en faut deux (1)

Repère — Une échelle se calcule avec deux longueurs dans la même unité ; pour une surface, on divise par le carré du nombre $n$ de l’échelle.

1. a)Hauteur : $12\times 0,75=9$ cm ; volume : $360\times 0,{75}^3=360\times 0,421875=151,875$ cm³, soit environ $151,9$ cm³ (1)
2. b)Grande : $360\times 0,9=324$ g ; petite : $151,875\times 0,9=136,6875$, soit environ $137$ g (1)
3. c)$k^3={\displaystyle \frac{45}{360}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$ et ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$ : $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; hauteur : $12\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=6$ cm (1)
4. d)Le volume est divisé par $8$, la durée aussi : $30÷8=3,75$ h, soit $3$ h $45$ min ($0,75\times 60=45$) (1)

Le point clé — Volume, masse et durée de combustion suivent le cube du rapport ; pour retrouver le rapport, on cherche le nombre dont le cube est le quotient des volumes.

1. a)Faux : les longueurs sont triplées, l’aire est multipliée par $3^2=9$ (1)
2. b)Vrai : l’image d’un cercle est un cercle, et les longueurs sont multipliées par $|-2|=2$ : rayon $2\times 2=4$ cm. Le signe ne change que la position du centre du cercle image (1)
3. c)Vrai : les longueurs sont multipliées par ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ puis par $2$, donc par ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2=1$ : la figure finale a la même taille (1)
4. d)Faux : $k={\displaystyle \frac{15}{5}}=3$, donc les volumes sont dans le rapport $3^3=27$ ; $9=3^2$ est le rapport des aires (1)

Méthode — Pour justifier, on nomme la grandeur (longueur, aire, volume) et on écrit le coefficient correspondant : $k$, $k^2$ ou $k^3$.

1. a)$k={\displaystyle \frac{12}{8}}=1,5$ (1)
2. b)Les volumes sont multipliés par $1,5^3=3,375$ : $40\times 3,375=135$ cL, soit $1,35$ L (1)
3. c)Petite : $1,20÷0,4=3$ € le litre ; grande : $3,60÷1,35\approx 2,67$ € le litre : la grande boîte est la plus avantageuse (1)
4. d)Les aires sont multipliées par $1,5^2=2,25$ : $150\times 2,25=337,5$ cm². Par litre : petite $150÷0,4=375$ cm², grande $337,5÷1,35=250$ cm² : moins de papier par litre pour la grande (1)

Méthode — Le prix ou le papier se comparent « par litre » : la contenance suit $k^3$ alors que la surface ne suit que $k^2$, c’est pourquoi le grand format économise de l’emballage.