À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Homothétie & agrandissement-réduction » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Agrandir ou réduire : la même forme, L'homothétie : centre et rapport, Construire l'image d'une figure, Propriétés conservées par l'homothétie. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Agrandir ou réduire : la même forme
2 · L'homothétie : centre et rapport
3 · Construire l'image d'une figure
4 · Propriétés conservées par l'homothétie
5 · Effet sur les longueurs et les aires
6 · Effet sur les volumes
7 · Méthode : retrouver le rapport
1Agrandir ou réduire : la même forme
Une photo agrandie, une maquette de voiture, un plan d'appartement : dans tous ces cas, on a la même forme mais une taille différente. C'est l'idée d'agrandissement et de réduction.
Définition. Un agrandissement ou une réduction transforme une figure en une figure de même forme : toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre $k > 0$ appelé rapport (ou échelle).
• Si $k > 1$ : c'est un agrandissement (plus grand).
• Si $0 < k < 1$ : c'est une réduction (plus petit).
• Si $k = 1$ : la figure ne change pas.
Exemple. Un rectangle de $4$ cm sur $3$ cm est agrandi avec le rapport $k = 2$. Ses côtés deviennent $4 \times 2 = 8$ cm et $3 \times 2 = 6$ cm. La forme (un rectangle dans les mêmes proportions) est conservée.
Le graphique compare les côtés du rectangle avant et après agrandissement :
Astuce. Le rapport $k$ est le même pour toutes les longueurs de la figure. Pour le trouver, on calcule $k = \dfrac{\text{longueur de l'image}}{\text{longueur de départ}}$.
2L'homothétie : centre et rapport
L'homothétie est la transformation qui réalise précisément un agrandissement ou une réduction, à partir d'un point fixe et d'un nombre.
Définition. L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ (un nombre non nul) associe à chaque point $M$ un point $M'$, appelé image de $M$, tel que :
• $M'$ est sur la droite $(OM)$ ;
• $OM' = |k| \times OM$ ;
• si $k > 0$, $M'$ est du même côté que $M$ par rapport à $O$ ; si $k < 0$, $M'$ est de l'autre côté.
Exemple. Homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 3$. Si $OA = 2$ cm, alors $OA' = 3 \times 2 = 6$ cm, et $A'$ est sur la demi-droite $[OA)$.
Attention ! Le centre $O$ est le seul point qui ne bouge pas : son image est lui-même, car $OO' = |k| \times 0 = 0$. Tous les autres points s'éloignent ou se rapprochent de $O$.
Astuce. Quand $k > 0$, l'image n'est pas retournée. Quand $k < 0$, la figure est aussi retournée (demi-tour autour de $O$), comme avec un rapport positif suivi d'une symétrie centrale.
3Construire l'image d'une figure
Pour construire l'image d'une figure par une homothétie, on construit l'image de chaque point clé (les sommets), puis on relie.
Méthode (rapport $k > 0$).
1. Trace la demi-droite $[OM)$ qui part du centre.
2. Mesure $OM$, puis place $M'$ sur cette demi-droite à la distance $OM' = k \times OM$.
3. Recommence pour chaque sommet, puis relie les images dans le même ordre.
Exemple. Triangle $ABC$ avec $OA = 1{,}5$ cm, $OB = 2$ cm, $OC = 2{,}5$ cm ; homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$. On place $A'$ à $OA' = 3$ cm, $B'$ à $OB' = 4$ cm, $C'$ à $OC' = 5$ cm sur les demi-droites correspondantes. Le triangle $A'B'C'$ est l'image, deux fois plus grand.
| Point | $OM$ de départ | $OM' = 2 \times OM$ |
|---|
| $A$ | $1{,}5$ cm | $3$ cm |
| $B$ | $2$ cm | $4$ cm |
| $C$ | $2{,}5$ cm | $5$ cm |
Attention ! Les points $O$, $M$ et $M'$ sont toujours alignés. Si ton image n'est pas alignée avec le centre, il y a une erreur de construction.
Astuce. La droite $(A'B')$ image de $(AB)$ lui est parallèle : tu peux t'en servir pour vérifier ta figure.
4Propriétés conservées par l'homothétie
Comme tout agrandissement-réduction, l'homothétie garde la forme de la figure : elle conserve beaucoup de choses, mais pas les longueurs.
Règle. Une homothétie de rapport $k$ :
• conserve les angles, le parallélisme, l'alignement des points et les milieux ;
• multiplie toutes les longueurs par $|k|$ ;
• transforme une droite en une droite parallèle.
| Élément | Effet de l'homothétie |
|---|
| Angles | conservés (même mesure) |
| Parallélisme | conservé |
| Alignement / milieux | conservés |
| Longueurs | multipliées par $|k|$ |
| Forme générale | conservée (figure semblable) |
Exemple. L'image d'un triangle rectangle par une homothétie est encore un triangle rectangle : l'angle droit est conservé. Seules les longueurs des côtés changent (toutes multipliées par $|k|$).
Attention ! Ne confonds pas avec une symétrie ou une translation : celles-ci ne changent pas les longueurs ($k = 1$). L'homothétie, elle, change la taille (sauf si $k = 1$).
5Effet sur les longueurs et les aires
C'est le point le plus important — et le plus piégeux. Les longueurs et les aires ne sont pas multipliées par le même nombre !
Règle. Pour une homothétie (ou un agrandissement-réduction) de rapport $k$ :
• les longueurs sont multipliées par $|k|$ ;
• les aires sont multipliées par $k^2$.
Exemple. Un carré de côté $5$ cm a une aire de $5^2 = 25$ cm². On l'agrandit avec $k = 3$.
• Nouveau côté : $5 \times 3 = 15$ cm.
• Nouvelle aire : $15^2 = 225$ cm², soit $25 \times 3^2 = 25 \times 9 = 225$ cm². L'aire est bien multipliée par $9$, pas par $3$ !
Le graphique montre comment l'aire explose bien plus vite que la longueur quand le rapport augmente :
Attention ! Erreur classique : croire que si on double les côtés, on double l'aire. Faux ! On la multiplie par $2^2 = 4$. Avec $k = 2$, l'aire est quadruplée.
Astuce. Pour retrouver le rapport à partir des aires : $k = \sqrt{\dfrac{\text{aire image}}{\text{aire départ}}}$.
6Effet sur les volumes
Pour les solides (cubes, sphères, cônes…), c'est encore plus impressionnant : le volume grandit encore plus vite que l'aire.
Règle. Pour un agrandissement-réduction de rapport $k$ :
• les longueurs sont multipliées par $|k|$ ;
• les aires par $k^2$ ;
• les volumes par $|k|^3$.
Exemple. Un cube d'arête $2$ cm a un volume de $2^3 = 8$ cm³. On l'agrandit avec $k = 3$.
• Nouvelle arête : $2 \times 3 = 6$ cm.
• Nouveau volume : $6^3 = 216$ cm³, soit $8 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216$ cm³. Le volume est multiplié par $27$ !
| Rapport $k$ | Longueurs ($\times k$) | Aires ($\times k^2$) | Volumes ($\times k^3$) |
|---|
| $2$ | $\times 2$ | $\times 4$ | $\times 8$ |
| $3$ | $\times 3$ | $\times 9$ | $\times 27$ |
| $\tfrac{1}{2}$ | $\times 0{,}5$ | $\times 0{,}25$ | $\times 0{,}125$ |
Attention ! Pour une réduction ($0 < k < 1$), les volumes diminuent très vite : avec $k = \tfrac{1}{2}$, le volume est multiplié par $\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}$, donc divisé par $8$.
7Méthode : retrouver le rapport
Souvent, on connaît la figure de départ et son image, et on cherche le rapport $k$. Voici comment le retrouver selon la donnée.
| Donnée disponible | Comment trouver $k$ |
|---|
| Deux longueurs correspondantes | $k = \dfrac{\text{longueur image}}{\text{longueur départ}}$ |
| Deux aires correspondantes | $k = \sqrt{\dfrac{\text{aire image}}{\text{aire départ}}}$ |
| Deux volumes correspondants | $k = \sqrt[3]{\dfrac{\text{volume image}}{\text{volume départ}}}$ |
Exemple — par les longueurs. Un segment de $4$ cm a pour image un segment de $10$ cm. Alors $k = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$. C'est un agrandissement car $k > 1$.
Exemple — par les aires. Une figure d'aire $12$ cm² a pour image une figure d'aire $108$ cm². Alors $k = \sqrt{\dfrac{108}{12}} = \sqrt{9} = 3$.
Astuce — vérifier. Une fois $k$ trouvé, vérifie la cohérence : avec $k = 3$, l'aire doit être multipliée par $9$ ($12 \times 9 = 108$ ✓) et un volume par $27$.
★À retenir
En bref :
• Une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ envoie $M$ sur $M'$ aligné avec $O$ et $M$, tel que $OM' = |k| \times OM$.
• $k > 1$ : agrandissement ; $0 < k < 1$ : réduction ; $k < 0$ : figure retournée.
• L'homothétie conserve les angles, le parallélisme et l'alignement ; elle multiplie les longueurs par $|k|$.
• Longueurs $\times |k|$, aires $\times k^2$, volumes $\times |k|^3$.
• Pour retrouver le rapport : $k = \dfrac{\text{long. image}}{\text{long. départ}}$, ou $k = \sqrt{\dfrac{\text{aire image}}{\text{aire départ}}}$.