Construire l'image, longueurs, aires, volumes et échelles
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Homothétie & agrandissement-réduction » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Agrandissement et réduction : l'idée de départ, Trouver le rapport k, L'homothétie : la transformation, Construire l'image d'un point. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Agrandissement et réduction : l'idée de départ
2 · Trouver le rapport k
3 · L'homothétie : centre et rapport
4 · Construire l'image d'un point
5 · Construire l'image d'une figure
6 · Effet sur les longueurs, aires et volumes
7 · Utiliser les trois règles dans les deux sens
8 · Problèmes d'échelle
1Agrandissement et réduction : l'idée de départ
Quand on photocopie une figure en réglant la machine sur « 200 % » ou « 50 % », on obtient une nouvelle figure qui a exactement la même forme que l'originale, mais une taille différente. C'est tout le sujet du chapitre.
Définition. Deux figures sont liées par un agrandissement-réduction de rapport k (un nombre strictement positif) lorsque toutes les longueurs de la seconde s'obtiennent en multipliant par k les longueurs correspondantes de la première.
nouvelle longueur = k × ancienne longueur
si k > 1 : la figure grandit → c'est un agrandissement (ex. k = 2 : tout est doublé) ;
si 0 < k < 1 : la figure rétrécit → c'est une réduction (ex. k = 12 : tout est divisé par 2) ;
si k = 1 : la figure ne change pas de taille (cas particulier).
Propriété essentielle. Dans un agrandissement-réduction, la figure conserve sa forme : les angles sont inchangés, le parallélisme et l'alignement sont conservés. Seules les longueurs changent (toutes dans la même proportion k).
💡 Le pourcentage d'une photocopieuse, c'est k : « 150 % » signifie k = 1,5 ; « 75 % » signifie k = 0,75.
2Trouver le rapport k
Le rapport k est le quotient d'une longueur de la figure image par la longueur correspondante de la figure de départ :
k = longueur sur l'imagelongueur correspondante sur le départ
Exemple. Un segment mesure 3 cm sur l'original et 7,5 cm sur l'agrandissement. k = 7,53 = 2,5. C'est un agrandissement (k > 1) : toutes les autres longueurs sont aussi multipliées par 2,5.
⚠️ Il faut diviser deux longueurs qui se correspondent (le même côté, le même segment). On ne mélange pas la largeur de l'un avec la longueur de l'autre.
💡 Pour vérifier qu'une figure est bien un agrandissement-réduction d'une autre, on calcule k pour plusieurs couples de longueurs : si on trouve toujours le même k, c'est gagné. Sinon, ce n'est pas un agrandissement-réduction.
3L'homothétie : la transformation
L'homothétie est la transformation géométrique qui réalise un agrandissement ou une réduction à partir d'un point fixe appelé centre.
Définition. Une homothétie est définie par deux données :
un point O, son centre (le point qui ne bouge pas) ;
un nombre k, son rapport (ici en 3e, k est positif).
L'image d'un point M est le point M' situé sur la demi-droite [OM) tel que OM' = k × OM.
Sur ce schéma, k = 2 : le point M' est sur la demi-droite [OM) et il est deux fois plus loin de O que M.
💡 On note l'image avec un « prime » : l'image de A est A', l'image de B est B', etc. L'homothétie de centre O et de rapport k est souvent notée h(O ; k).
4Construire l'image d'un point
Pour construire l'image M' d'un point M par l'homothétie de centre O et de rapport k :
Méthode pas à pas.
1. Tracer la demi-droite [OM) (de O vers M, et au-delà).
2. Mesurer la longueur OM.
3. Calculer OM' = k × OM.
4. Reporter cette longueur OM' sur la demi-droite [OM), à partir de O : on obtient M'.
Exemple. O et M sont tels que OM = 4 cm, et k = 1,5. OM' = 1,5 × 4 = 6 cm. On place M' sur [OM) à 6 cm de O.
💡 Astuce du quadrillage. Si O et M sont sur un quadrillage, on lit le déplacement de O à M (par ex. « 2 carreaux à droite, 1 carreau en haut »). Pour M', on multiplie ce déplacement par k : avec k = 2, on fait « 4 carreaux à droite, 2 carreaux en haut » depuis O. Pas besoin de règle graduée !
⚠️ Quand k > 1, M' est plus loin de O que M. Quand 0 < k < 1, M' est entre O et M (plus proche de O). Dans les deux cas, O, M et M' sont alignés.
5Construire l'image d'une figure
Pour transformer une figure entière (triangle, polygone…), on applique l'homothétie à chacun de ses sommets, puis on relie les images dans le même ordre.
Méthode.
1. Repérer les sommets de la figure : A, B, C…
2. Construire l'image de chaque sommet : A', B', C'…
3. Relier A'B'C'… dans le même ordre que la figure de départ.
Ici le triangle ABC (rouge) a pour image le triangle A'B'C' (bleu) par l'homothétie de centre O, rapport k = 2. Les droites (OA), (OB), (OC) passent toutes par les images : O, A, A' sont alignés, etc.
💡 L'image d'un segment est un segment parallèle à celui de départ. L'image d'un cercle de rayon r est un cercle de rayon k × r (son centre est l'image du centre).
6Effet sur les longueurs, les aires et les volumes
C'est le point le plus important pour le brevet. Quand on agrandit ou réduit de rapport k :
Les trois règles à connaître par cœur.
les longueurs sont multipliées par k (côtés, périmètres, rayons, diagonales…) ;
les aires sont multipliées par k² ;
les volumes sont multipliés par k³.
Grandeur
Multipliée par
Exemple avec k = 3
Longueur (côté, périmètre…)
k
× 3
Aire (surface)
k²
× 9
Volume
k³
× 27
Pourquoi k² pour l'aire ? L'aire d'un rectangle = longueur × largeur. Si chaque côté est multiplié par k, l'aire devient (k × longueur) × (k × largeur) = k² × (longueur × largeur). De même pour le volume : longueur × largeur × hauteur → k³ × volume.
⚠️ Erreur classique au brevet : multiplier l'aire par k au lieu de k². Si les longueurs doublent (k = 2), l'aire est multipliée par 4 (et non par 2), et le volume par 8.
7Utiliser les trois règles dans les deux sens
On peut partir d'une grandeur et calculer son image, ou bien partir de l'image pour retrouver le rapport k. Voici les calculs modèles.
Sens direct : je connais k, je calcule l'image
Exemple. Un carré d'aire 5 cm² est agrandi de rapport k = 4. Aire de l'image ? Aire' = k² × 5 = 4² × 5 = 16 × 5 = 80 cm².
Sens inverse : je connais le rapport des aires, je trouve k
Exemple. Une figure a une aire 9 fois plus grande après agrandissement. Quel est k ? On cherche k tel que k² = 9, donc k = 3 (les longueurs sont triplées).
Exemple (volume). Un solide a un volume multiplié par 8. Alors k³ = 8, donc k = 2.
💡 Repères utiles à mémoriser :
k = 2 → aires ×4, volumes ×8 ;
k = 3 → aires ×9, volumes ×27 ;
k = 12 → aires ×14, volumes ×18.
8Problèmes d'échelle
Une échelle sur une carte ou un plan est exactement un rapport de réduction (ou parfois d'agrandissement, pour un objet minuscule).
Définition. L'échelle est le rapport :
échelle = distance sur le plandistance réelle
Les deux distances doivent être dans la même unité avant de faire le quotient.
Une échelle 1/25 000 signifie : 1 cm sur la carte représente 25 000 cm en vrai (soit 250 m).
Exemple 1 — du plan vers le réel. Échelle 1/200. Sur le plan, un mur mesure 8 cm. Longueur réelle ? réelle = 8 × 200 = 1600 cm = 16 m.
Exemple 2 — du réel vers le plan. Une route de 3 km doit être dessinée à l'échelle 1/100 000. Longueur sur la carte ? 3 km = 300 000 cm ; sur la carte : 300 000 ÷ 100 000 = 3 cm.
Exemple 3 — trouver l'échelle. Un objet long de 4 m est dessiné en 2 cm. Échelle ? 4 m = 400 cm. échelle = 2400 = 1200, soit 1/200.
⚠️ Convertir avant de calculer ! 1 m = 100 cm, 1 km = 1000 m = 100 000 cm. Une échelle est un nombre sans unité.
🎓 Récap express : agrandissement-réduction de rapport k → longueurs ×k, aires ×k² (penser au « carré »), volumes ×k³ (penser au « cube ») · homothétie h(O ; k) : OM' = k × OM, points alignés avec O, angles conservés · construire = transformer chaque sommet · k > 1 agrandit, 0 < k < 1 réduit · échelle = planréel, même unité, sans dimension.