Qu'est-ce qu'une homothétie en 3e ?

Une homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un point fixe appelé centre $O$ et d'un nombre appelé rapport $k$. L'image d'un point $M$ est le point $M'$ tel que $OM' = |k| \times OM$, situé sur la droite $(OM)$. Si $k > 1$ on agrandit, si $0 < k < 1$ on réduit, et si $k$ est négatif l'image est de l'autre côté du centre.

Comment l'homothétie agit-elle sur les longueurs, les aires et les volumes ?

Pour une homothétie de rapport $k$, toutes les longueurs sont multipliées par $|k|$, les aires par $k^2$ et les volumes par $|k|^3$. Par exemple, avec $k = 3$, une longueur est multipliée par $3$, une aire par $9$ et un volume par $27$.

Quelle est la différence entre agrandissement et réduction ?

Dans un agrandissement, le rapport $k$ est supérieur à $1$ : la figure devient plus grande. Dans une réduction, le rapport $k$ est compris entre $0$ et $1$ : la figure devient plus petite. Dans les deux cas, la figure obtenue garde la même forme : les angles sont conservés et les longueurs sont toutes multipliées par le même nombre.

L'homothétie conserve-t-elle les angles ?

Oui. Une homothétie conserve les angles, le parallélisme et l'alignement des points. Elle modifie seulement les longueurs (multipliées par $|k|$). L'image d'une figure est donc une figure de même forme : c'est une figure semblable à la figure de départ.

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Homothétie & agrandissement-réduction

Q: Comment l'homothétie agit-elle sur les longueurs, les aires et les volumes ?

Pour une homothétie de rapport $k$, toutes les longueurs sont multipliées par $|k|$, les aires par $k^2$ et les volumes par $|k|^3$. Par exemple, avec $k = 3$, une longueur est multipliée par $3$, une aire par $9$ et un volume par $27$.

Q: Quelle est la différence entre agrandissement et réduction ?

Dans un agrandissement, le rapport $k$ est supérieur à $1$ : la figure devient plus grande. Dans une réduction, le rapport $k$ est compris entre $0$ et $1$ : la figure devient plus petite. Dans les deux cas, la figure obtenue garde la même forme : les angles sont conservés et les longueurs sont toutes multipliées par le même nombre.

Q: L'homothétie conserve-t-elle les angles ?

Oui. Une homothétie conserve les angles, le parallélisme et l'alignement des points. Elle modifie seulement les longueurs (multipliées par $|k|$). L'image d'une figure est donc une figure de même forme : c'est une figure semblable à la figure de départ.

Centre, rapport k, image d'une figure, effet sur les longueurs, les aires et les volumes (programme de 3e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en troisième sur « Homothétie & agrandissement-réduction » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Agrandir ou réduire : la même forme, L'homothétie : centre et rapport, Construire l'image d'une figure, Propriétés conservées par l'homothétie. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.

Agrandir ou réduire : la même forme

Une photo agrandie, une maquette, un plan : la figure garde la même forme mais change de taille. C'est l'idée d'agrandissement et de réduction.

Définition. Un agrandissement ou une réduction de rapport $k \gt 0$ transforme une figure en une figure de même forme dont toutes les longueurs sont multipliées par $k$.
• $k \gt 1$ : agrandissement ; • $0 \lt k \lt 1$ : réduction ; • $k = 1$ : la figure est reproduite à l'identique.

Exemple. Un rectangle de $4$ cm sur $6{,}5$ cm réduit avec $k = 0{,}6$ devient un rectangle de $2{,}4$ cm sur $3{,}9$ cm. Les deux rectangles ont les mêmes proportions : $\dfrac{6{,}5}{4} = \dfrac{3{,}9}{2{,}4} = 1{,}625$.

Lien avec Thalès. Dans une configuration de Thalès, le petit triangle $AMN$ est une réduction du grand triangle $ABC$ de rapport $k = \dfrac{AM}{AB}$. L'homothétie est la transformation qui réalise ce passage.

L'homothétie : centre et rapport

Définition. L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ (nombre non nul) associe à tout point $M$ le point $M'$ tel que :
• $M'$ est sur la droite $(OM)$ ;
• $OM' = |k| \times OM$ ;
• si $k \gt 0$, $M'$ est du même côté de $O$ que $M$ ; si $k \lt 0$, $M'$ est de l'autre côté de $O$.

Le centre $O$ est le seul point qui ne bouge pas : son image est lui-même. Les points $O$, $M$ et $M'$ sont toujours alignés.

Exemple. Homothétie de centre $O$ et de rapport $2{,}5$ : si $OA = 3{,}2$ cm, alors $A'$ est sur la demi-droite $[OA)$ avec $OA' = 2{,}5 \times 3{,}2 = 8$ cm. Avec le rapport $-2{,}5$, $A'$ serait à $8$ cm de $O$ mais de l'autre côté.

Attention ! Le rapport multiplie la distance au centre $OM$, pas la distance $MM'$. Avec $k = 2{,}5$ et $OA = 3{,}2$ cm, on a $AA' = 8 - 3{,}2 = 4{,}8$ cm.

Construire l'image d'une figure

On construit l'image de chaque sommet, puis on relie les images dans le même ordre.

1	Tracer la droite $(OM)$ pour chaque sommet $M$.
2	Mesurer $OM$ et placer $M'$ à la distance $\|k\| \times OM$ de $O$ : du même côté si $k \gt 0$, de l'autre côté si $k \lt 0$.
3	Relier $A'$, $B'$, $C'$… L'image est une figure de même forme, aux côtés parallèles à ceux de la figure de départ.

Exemple. Triangle $ABC$ avec $OA = 2$ cm, $OB = 3{,}5$ cm, $OC = 2{,}8$ cm, homothétie de centre $O$ et de rapport $1{,}5$. On place $A'$ à $3$ cm, $B'$ à $5{,}25$ cm et $C'$ à $4{,}2$ cm de $O$ sur les demi-droites $[OA)$, $[OB)$, $[OC)$.

Contrôle. Après construction, vérifie que $(A'B')\,//\,(AB)$ : si ce n'est pas le cas, un point est mal placé.

Propriétés conservées par l'homothétie

Règle. Une homothétie de rapport $k$ :
• conserve les angles, l'alignement, le parallélisme et les milieux ;
• multiplie toutes les longueurs par $|k|$ ;
• transforme une droite en une droite parallèle, un cercle en un cercle, un segment en un segment $|k|$ fois plus long.

Élément	Effet
Angles	conservés
Parallélisme, alignement	conservés
Longueurs	× $\|k\|$
Périmètres	× $\|k\|$ (somme de longueurs)
Formes (nature des figures)	conservées : un carré reste un carré

Attention ! Contrairement aux symétries, translations et rotations, l'homothétie ne conserve pas les longueurs (sauf si $k = 1$ ou $k = -1$). Elle conserve la forme, pas la taille.

Effet sur les longueurs et les aires

C'est le point le plus piégeux du chapitre : longueurs et aires ne sont pas multipliées par le même nombre.

Règle. Pour un agrandissement-réduction de rapport $k$ : les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^2$.

Exemple. Un rectangle de $5$ cm sur $3$ cm a une aire de $15$ cm². Avec $k = 1{,}5$ : côtés $7{,}5$ cm et $4{,}5$ cm, aire $7{,}5 \times 4{,}5 = 33{,}75$ cm², soit bien $15 \times 1{,}5^2 = 15 \times 2{,}25$.

Réduction. Avec $k = \dfrac{1}{3}$, une aire de $36$ cm² devient $36 \times \dfrac{1}{9} = 4$ cm².

Pourquoi $k^2$ ? Une aire est un produit de deux longueurs (longueur × largeur, base × hauteur…). Chacune est multipliée par $k$, donc le produit l'est par $k \times k = k^2$.

Effet sur les volumes

Règle. Pour un agrandissement-réduction de rapport $k$ : longueurs × $k$, aires × $k^2$, volumes × $k^3$.

Exemple. Un pavé de $2$ cm × $3$ cm × $4$ cm a un volume de $24$ cm³. Avec $k = 1{,}5$ : $3 \times 4{,}5 \times 6 = 81$ cm³, soit $24 \times 1{,}5^3 = 24 \times 3{,}375 = 81$ cm³.

Attention aux réductions ! Avec $k = \dfrac{1}{2}$, un volume est divisé par $8$, pas par $2$. Un verre conique rempli à mi-hauteur ne contient qu'un huitième de sa capacité.

Méthode : retrouver le rapport, lire une échelle

Donnée	Rapport $k$
Deux longueurs correspondantes	$k = \dfrac{\text{longueur image}}{\text{longueur de départ}}$
Deux aires correspondantes	$k^2 = \dfrac{\text{aire image}}{\text{aire de départ}}$, puis racine carrée
Deux volumes correspondants	$k^3 = \dfrac{\text{volume image}}{\text{volume de départ}}$, puis racine cubique

Exemple. Deux solides semblables ont des volumes de $12$ cm³ et $40{,}5$ cm³ : $k^3 = \dfrac{40{,}5}{12} = 3{,}375 = 1{,}5^3$, donc $k = 1{,}5$ et les aires sont dans le rapport $1{,}5^2 = 2{,}25$.

Échelle d'un plan ou d'une carte. Une échelle $\dfrac{1}{n}$ signifie que $1$ cm sur le plan représente $n$ cm dans la réalité : c'est une réduction de rapport $k = \dfrac{1}{n}$. Les aires réelles sont $n^2$ fois plus grandes que sur le plan.

Exemple. Carte au $\dfrac{1}{25\,000}$ : $4{,}8$ cm représentent $4{,}8 \times 25\,000 = 120\,000$ cm $= 1{,}2$ km.

Attention ! Le rapport se calcule toujours image ÷ départ, dans la même unité. Convertis avant de diviser : $7$ m et $3{,}5$ cm donnent $k = \dfrac{3{,}5}{700} = \dfrac{1}{200}$.

En bref

Homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ : $M'$ sur $(OM)$, $OM' = |k| \times OM$ ; même côté si $k \gt 0$, autre côté si $k \lt 0$.
$k \gt 1$ : agrandissement ; $0 \lt k \lt 1$ : réduction ; le centre est le seul point fixe.
Conservés : angles, alignement, parallélisme, formes. Pas conservées : les longueurs.
Longueurs × $k$, aires × $k^2$, volumes × $k^3$.
Retrouver $k$ : image ÷ départ pour des longueurs ; racine carrée du rapport des aires ; racine cubique du rapport des volumes.
Échelle $\dfrac{1}{n}$ : réduction de rapport $\dfrac{1}{n}$, même unité avant de calculer.

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