Homothétie : agrandissement et réduction

Q: Qu’est-ce qu’un agrandissement ou une réduction de rapport k ?

C’est une transformation qui garde la forme d’une figure et multiplie toutes ses longueurs par le même nombre k : un agrandissement si k > 1, une réduction si 0 < k < 1. Les angles ne changent pas. Sur un plan au 1/50, un trait de 3 cm représente 3 × 50 = 150 cm, soit 1,5 m.

Q: Comment placer l’image d’un point par une homothétie ?

Pour l’homothétie de centre O et de rapport k, on trace la droite (OM), on mesure OM et on place M′ à la distance |k| × OM de O : du côté de M si k est positif, de l’autre côté de O si k est négatif. Avec k = 3 et OM = 1,4 cm, M′ est sur [OM) à 4,2 cm de O.

Q: Que change un rapport négatif ?

Seulement le côté : M′ est de l’autre côté du centre O, et la figure image est retournée comme par un demi-tour. Les longueurs sont multipliées par la distance à zéro du rapport : avec k = −0,5 et OM = 6 cm, OM′ = 3 cm. Le rapport −1 donne la symétrie de centre O.

Q: Quelles propriétés une homothétie conserve-t-elle ?

Les angles, l’alignement, le parallélisme, les milieux et la nature des figures : l’image d’un rectangle est un rectangle, l’image d’une droite est une droite parallèle. Les longueurs, elles, sont multipliées par |k| : avec k = 1,5, un côté de 3 cm devient un côté de 4,5 cm, et un angle de 40° reste un angle de 40°.

Q: Pourquoi l’aire est-elle multipliée par k² et le volume par k³ ?

Une aire est le produit de deux longueurs, toutes deux multipliées par k : elle est multipliée par k × k = k². Un volume est le produit de trois longueurs : il est multiplié par k³. Avec k = 3, les aires sont multipliées par 9 et les volumes par 27.

Agrandissement et réduction de rapport k (rappels de 4e : longueurs, angles, échelle, configuration de Thalès), homothétie de centre O et de rapport positif ou négatif, image d’un point et d’une figure, propriétés conservées, lien avec le théorème de Thalès, effet sur les longueurs, les aires (k²) et les volumes (k³), retrouver le rapport.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 3e sur l’homothétie commence par les rappels de 4e sur l’agrandissement, la réduction et l’échelle, puis définit l’homothétie de centre O et de rapport k, positif ou négatif, avec l’image d’un point sur une droite graduée. Il explique comment construire l’image d’un triangle sur quadrillage, les propriétés conservées, le lien avec le théorème de Thalès, et l’effet sur les aires (k²) et les volumes (k³).

Agrandissement et réduction : rappels de 4ᵉ

Ce chapitre reprend d’abord ce qui a été vu en 4ᵉ sur les agrandissements et les réductions (avec le théorème de Thalès, les échelles, les aires et les volumes), puis introduit une nouvelle transformation : l’homothétie, qui agrandit ou réduit une figure à partir d’un point.

Ce qu’il faut savoir Un agrandissement ou une réduction de rapport

k

(

k

positif) transforme une figure en une figure de même forme dont toutes les longueurs sont multipliées par $k$ .
•

k > 1

: agrandissement ; •

0 < k < 1

: réduction ; •

k = 1

: figure de même taille.
Les angles sont conservés, ainsi que la nature de la figure (un rectangle reste un rectangle). Le périmètre, somme de longueurs, est lui aussi multiplié par

k

.
Retrouver le rapport :

k

= longueur sur la figure obtenue ÷ longueur correspondante sur la figure de départ, les deux longueurs dans la même unité. Pour revenir à la figure de départ, on multiplie par

\frac{1}{k}

.
Échelle : un plan à l’échelle

\frac{1}{n}

est une réduction de rapport

\frac{1}{n}

1

cm sur le plan représente

n

cm en réalité.

Exemples

Un rectangle de $4$ cm sur $6, 5$ cm est réduit avec $k = 0, 6$ : $0, 6 \times 4 = 2, 4$ et $0, 6 \times 6, 5 = 3, 9$ . On obtient un rectangle de $2, 4$ cm sur $3, 9$ cm, de mêmes proportions : $\frac{6, 5}{4} = \frac{3, 9}{2, 4} = 1, 625$ .

Un triangle de côtés $5$ cm, $6$ cm et $8$ cm est agrandi avec $k = 1, 5$ : ses côtés deviennent $7, 5$ cm, $9$ cm et $12$ cm, ses angles ne changent pas. Son périmètre passe de $19$ cm à $28, 5$ cm, et $19 \times 1, 5 = 28, 5$ .

Un logo de $8$ cm de large est imprimé sur un tee-shirt avec $14$ cm de large : $k = 14 \div 8 = 1, 75$ (agrandissement). Pour revenir au petit logo, on multiplie par $\frac{8}{14} = \frac{4}{7}$ .

Carte au $\frac{1}{25 000}$ : $4, 8$ cm sur la carte représentent $4, 8 \times 25 000 = 120 000$ cm, soit $1, 2$ km.

Le lien avec le théorème de Thalès (4ᵉ)

Si $M \in [A B]$ , $N \in [A C]$ et $(M N) ∥ (B C)$ , le triangle $A M N$ est une réduction du triangle $A B C$ de rapport $k = \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ .

Exemple

$A M = 4, 2$ cm, $A B = 6$ cm et $B C = 5$ cm : $k = \frac{4, 2}{6} = 0, 7$ , donc $M N = 0, 7 \times 5 = 3, 5$ cm.

Réflexe — pour trouver le rapport, je divise une longueur de la figure obtenue par la longueur correspondante de la figure de départ, dans la même unité : plus grand que 1, c’est un agrandissement ; entre 0 et 1, une réduction.

Attention — agrandir, c’est multiplier toutes les longueurs par le même nombre, pas leur ajouter la même longueur : en ajoutant $3$ cm aux côtés du rectangle de $4$ cm sur $6, 5$ cm, on obtient $7$ cm sur $9, 5$ cm, et $\frac{9, 5}{7} \approx 1, 36$ n’est pas égal à $1, 625$ : la forme a changé. Et on convertit avant de diviser : un mur de $7$ m dessiné par un trait de $3, 5$ cm donne $k = \frac{3, 5}{700} = \frac{1}{200}$ .

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Homothétie : centre et rapport (positif ou négatif)

Ce qu’il faut savoir Soit

O

un point et

k

un nombre non nul. L’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ transforme tout point

M

en un point

M'

, son image, tel que :
• les points

O

M

M'

sont alignés ;
•

O M' = | k | \times O M

, où

| k |

est la distance à zéro de

k

(son nombre sans le signe :

| - 1, 5 | = 1, 5

| 2 | = 2

) ;
• si

k > 0

M'

est du même côté de $O$ que

M

(sur la demi-droite

[O M)

) ; si

k < 0

M'

est de l’autre côté de $O$ .
Le centre

O

est sa propre image. Si

| k | > 1

, l’homothétie agrandit ; si

| k | < 1

, elle réduit.
Cas particuliers : avec

k = 1

, chaque point est sa propre image ; avec

k = - 1

M'

est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ : c’est la symétrie centrale de 5ᵉ.

Le programme de 3ᵉ demande surtout de construire des images et d’utiliser les propriétés de l’homothétie ; la description ci-dessus, point par point, est la méthode de construction.

Exemples

Sur la droite graduée, $O M = 2$ cm. Avec $k = 2$ : $O M_{1} = 2 \times 2 = 4$ cm, du même côté que $M$ . Avec $k = - 1, 5$ : $O M_{2} = 1, 5 \times 2 = 3$ cm, de l’autre côté de $O$ .

Homothétie de centre $O$ et de rapport $2, 5$ , $O A = 3, 2$ cm : $A'$ est sur la demi-droite $[O A)$ et $O A' = 2, 5 \times 3, 2 = 8$ cm. Comme $A$ est entre $O$ et $A'$ , $A A' = 8 - 3, 2 = 4, 8$ cm.

Avec le rapport $- 2, 5$ : $A'$ est encore à $8$ cm de $O$ , mais de l’autre côté ; cette fois $O$ est entre $A$ et $A'$ , et $A A' = 3, 2 + 8 = 11, 2$ cm.

Retrouver le rapport : $O$ , $A$ et $A'$ sont alignés, $O A = 5$ cm, $O A' = 2$ cm, et $A'$ est de l’autre côté de $O$ . Alors $| k | = \frac{2}{5} = 0, 4$ et $k$ est négatif : $k = - 0, 4$ (une réduction).

Réflexe — je multiplie la distance au centre $O M$ par $| k |$ , puis je place $M'$ sur la droite $(O M)$ : du côté de $M$ si $k$ est positif, de l’autre côté de $O$ si $k$ est négatif.

Attention — le rapport multiplie la distance au centre, pas la distance $M M'$ . Et le signe de $k$ ne change pas la distance, seulement le côté : un rapport $- 2$ double les longueurs, ce n’est pas une réduction.

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Image d’une figure, propriétés conservées et lien avec Thalès

Ce qu’il faut savoir Construire l’image d’un polygone : on construit l’image de chaque sommet, puis on relie les images dans le même ordre.
Une homothétie de rapport

k

:
• conserve les angles, l’alignement, le parallélisme, les milieux et la nature des figures (l’image d’un carré est un carré) ;
• multiplie toutes les longueurs par $| k |$ : l’image du segment

[A B]

est le segment

[A' B']

avec

A' B' = | k | \times A B

; le périmètre est multiplié par

| k |

;
• transforme une droite en une droite parallèle (la droite elle-même si elle passe par le centre), et un cercle de centre

I

et de rayon

r

en un cercle de centre

I'

et de rayon

| k | \times r

.
Les symétries, les translations et les rotations conservent les longueurs ; l’homothétie, non (sauf si

k = 1

k = - 1

) : elle garde la forme, pas la taille.
Lien avec le théorème de Thalès : si

M \in (A B)

N \in (A C)

(M N) ∥ (B C)

, le triangle

A M N

est l’image du triangle

A B C

par l’homothétie de centre

A

et de rapport

\frac{A M}{A B}

M

est du côté de

B

(triangles emboîtés),

- \frac{A M}{A B}

M

est de l’autre côté de

A

(configuration papillon).
Reconnaître une homothétie : si

A' B' C'

est l’image de

A B C

par une homothétie, les droites

(A A')

(B B')

(C C')

passent toutes par le centre.

Exemples

Sur le quadrillage, $A' B' C'$ est l’image de $A B C$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ : $A'$ est sur $(O A)$ deux fois plus loin de $O$ que $A$ , de même pour $B'$ et $C'$ . $A B$ mesure $3$ carreaux, $A' B'$ en mesure $6$ ; $(A' B') ∥ (A B)$ et les angles des deux triangles sont égaux.

Triangle $A B C$ avec $O A = 2$ cm, $O B = 3, 5$ cm et $O C = 2, 8$ cm, homothétie de centre $O$ et de rapport $1, 5$ : on place $A'$ , $B'$ et $C'$ à $3$ cm, $5, 25$ cm et $4, 2$ cm de $O$ sur les demi-droites $[O A)$ , $[O B)$ et $[O C)$ .

Un losange de côté $2, 5$ cm dont un angle mesure $70 °$ a pour image, par une homothétie de rapport $- 1, 2$ , un losange de côté $1, 2 \times 2, 5 = 3$ cm dont un angle mesure encore $70 °$ ; son périmètre passe de $10$ cm à $12$ cm.

Un cercle de rayon $1, 8$ cm a pour image, par une homothétie de rapport $- 3$ , un cercle de rayon $3 \times 1, 8 = 5, 4$ cm.

Exemples

$D' E' F'$ est l’image de $D E F$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $- 0, 5$ : chaque image est de l’autre côté de $O$ , deux fois plus près. $D E$ mesure $4$ carreaux, $D' E'$ en mesure $2$ , et le triangle image est « retourné » (comme par un demi-tour).

Configuration papillon : $M$ et $B$ de part et d’autre de $A$ , $(M N) ∥ (B C)$ , $A M = 3$ cm, $A B = 4, 5$ cm, $B C = 6$ cm. $A M N$ est l’image de $A B C$ par l’homothétie de centre $A$ et de rapport $- \frac{3}{4, 5} = - \frac{2}{3}$ , donc $M N = \frac{2}{3} \times 6 = 4$ cm.

Réflexe — pour une figure, je construis l’image de chaque sommet ; pour une longueur, je multiplie par $| k |$ ; pour un angle, je garde la même mesure. Contrôle : chaque côté de l’image est parallèle au côté correspondant.

Attention — une longueur n’est jamais négative : avec $k = - 3$ , $A' B' = 3 \times A B$ . Et si $(A' B')$ n’est pas parallèle à $(A B)$ , un point est mal placé.

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Effet sur les aires et les volumes

Ce qu’il faut savoir Dans un agrandissement ou une réduction de rapport

k

(ou une homothétie de rapport

k

, en prenant

| k |

) :
• les longueurs (et les périmètres) sont multipliées par

k

;
• les aires sont multipliées par

k^{2}

;
• les volumes (et les contenances) sont multipliés par

k^{3}

.
Pourquoi ? Une aire est un produit de deux longueurs (longueur × largeur, base × hauteur), chacune multipliée par

k

: l’aire est multipliée par

k \times k = k^{2}

. Un volume est un produit de trois longueurs : il est multiplié par

k \times k \times k = k^{3}

.
Retrouver le rapport : avec deux aires,

k^{2}

= aire obtenue ÷ aire de départ, puis

k

est la racine carrée de ce nombre ; avec deux volumes,

k^{3}

= volume obtenu ÷ volume de départ, puis on cherche le nombre dont le cube vaut ce quotient.
Pour un objet plein d’une même matière, la masse est proportionnelle au volume : elle est aussi multipliée par

k^{3}

Exemples

Un rectangle de $5$ cm sur $3$ cm a une aire de $15$ cm². Avec $k = 1, 5$ : $7, 5$ cm sur $4, 5$ cm, aire $7, 5 \times 4, 5 = 33, 75$ cm², soit bien $15 \times 2, 25$ , car $1, 5^{2} = 2, 25$ .

Avec $k = \frac{1}{3}$ , une aire de $36$ cm² devient $36 \times \frac{1}{9} = 4$ cm².

Une homothétie de rapport $- 2$ transforme une figure de $3, 5$ cm² en une figure de $3, 5 \times 4 = 14$ cm², car $(- 2)^{2} = 4$ : un carré n’est jamais négatif.

Un pavé de $2$ cm × $3$ cm × $4$ cm a un volume de $24$ cm³. Avec $k = 1, 5$ : $3$ cm × $4, 5$ cm × $6$ cm, volume $81$ cm³, soit $24 \times 3, 375 = 81$ cm³, car $1, 5^{3} = 3, 375$ .

Avec $k = \frac{1}{2}$ , un volume est divisé par $2^{3} = 8$ : un verre conique rempli jusqu’à la moitié de sa hauteur ne contient que le huitième de sa contenance.

Un vase de $20$ cm de haut contient $1, 6$ L. Un vase de même forme de $30$ cm de haut : $k = \frac{30}{20} = 1, 5$ , il contient $1, 6 \times 3, 375 = 5, 4$ L.

Retrouver le rapport, échelles et aires

Exemples

Deux solides de même forme ont des volumes de $12$ cm³ et $40, 5$ cm³ : $k^{3} = \frac{40, 5}{12} = 3, 375 = 1, 5^{3}$ , donc $k = 1, 5$ , et leurs aires sont dans le rapport $1, 5^{2} = 2, 25$ .

Quand le quotient n’est pas un cube connu, on encadre $k$ à la calculatrice. Pour $k^{3} = 3$ : $1, 4^{3} = 2, 744$ et $1, 5^{3} = 3, 375$ , puis $1, 44^{3} \approx 2, 986$ et $1, 45^{3} \approx 3, 049$ : $k \approx 1, 44$ .

Plan au $\frac{1}{500}$ : les longueurs réelles sont $500$ fois plus grandes, les aires $500^{2} = 250 000$ fois plus grandes. $2$ cm² sur le plan représentent $2 \times 250 000 = 500 000$ cm², soit $50$ m².

Réflexe — avant de calculer, je me demande ce que je mesure : une longueur (× $k$ ), une aire (× $k^{2}$ ) ou un volume, une contenance, une masse (× $k^{3}$ ). Les angles, eux, ne changent pas.

Attention — avec $k = 3$ , l’aire n’est pas triplée : elle est multipliée par $9$ , et le volume par $27$ . Avec $k = \frac{1}{2}$ , un volume est divisé par $8$ , pas par $2$ . Et on convertit avec les bonnes unités : $1$ m² $= 10 000$ cm², $1$ m³ $= 1 000 000$ cm³.

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Pour aller plus loin

Pour aller plus loin — un triangle et son image par une homothétie ont les mêmes angles et des côtés proportionnels : ce sont des triangles semblables, voir Triangles semblables. Les configurations emboîtée et papillon, la réciproque et la contraposée : voir Théorème de Thalès : configuration papillon et réciproque.

Les autres transformations — symétries, translations et rotations déplacent une figure sans changer ses longueurs ; en enchaînant une homothétie, une rotation et une translation, on passe d’un triangle à n’importe quel triangle semblable de même sens : voir Rotation : construire et propriétés.

Dans l’espace — la section d’une pyramide ou d’un cône par un plan parallèle à la base est une réduction de la base ; la petite pyramide obtenue est une réduction de la grande, son volume est multiplié par $k^{3}$ : voir Espace : boule, sections et sphère terrestre.

À retenir

Agrandissement ou réduction de rapport k : toutes les longueurs sont multipliées par k (k > 1 agrandit, 0 < k < 1 réduit) ; les angles et la forme sont conservés. Rapport = longueur obtenue ÷ longueur de départ, dans la même unité ; échelle 1/n = réduction de rapport 1/n.
Homothétie de centre O et de rapport k (k non nul) : O, M et M′ sont alignés, OM′ = |k| × OM ; M′ est du même côté de O que M si k > 0, de l’autre côté si k < 0. Avec k = −1, c’est la symétrie de centre O.
Une homothétie conserve les angles, l’alignement, le parallélisme, les milieux et la nature des figures ; elle multiplie les longueurs par |k| et transforme une droite en une droite parallèle.
Dans une configuration de Thalès, le petit triangle est l’image du grand par l’homothétie de centre le sommet commun : rapport positif pour des triangles emboîtés, négatif en papillon.
Longueurs × k, aires × k², volumes, contenances et masses × k³. Pour retrouver k : quotient de deux longueurs, racine carrée du quotient de deux aires, nombre dont le cube est le quotient de deux volumes.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’un agrandissement ou une réduction de rapport k ?

C’est une transformation qui garde la forme d’une figure et multiplie toutes ses longueurs par le même nombre k : un agrandissement si k > 1, une réduction si 0 < k < 1. Les angles ne changent pas. Sur un plan au 1/50, un trait de 3 cm représente 3 × 50 = 150 cm, soit 1,5 m.

Comment placer l’image d’un point par une homothétie ?

Pour l’homothétie de centre O et de rapport k, on trace la droite (OM), on mesure OM et on place M′ à la distance |k| × OM de O : du côté de M si k est positif, de l’autre côté de O si k est négatif. Avec k = 3 et OM = 1,4 cm, M′ est sur [OM) à 4,2 cm de O.

Que change un rapport négatif ?

Seulement le côté : M′ est de l’autre côté du centre O, et la figure image est retournée comme par un demi-tour. Les longueurs sont multipliées par la distance à zéro du rapport : avec k = −0,5 et OM = 6 cm, OM′ = 3 cm. Le rapport −1 donne la symétrie de centre O.

Quelles propriétés une homothétie conserve-t-elle ?

Les angles, l’alignement, le parallélisme, les milieux et la nature des figures : l’image d’un rectangle est un rectangle, l’image d’une droite est une droite parallèle. Les longueurs, elles, sont multipliées par |k| : avec k = 1,5, un côté de 3 cm devient un côté de 4,5 cm, et un angle de 40° reste un angle de 40°.

Pourquoi l’aire est-elle multipliée par k² et le volume par k³ ?

Une aire est le produit de deux longueurs, toutes deux multipliées par k : elle est multipliée par k × k = k². Un volume est le produit de trois longueurs : il est multiplié par k³. Avec k = 3, les aires sont multipliées par 9 et les volumes par 27.

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