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Homothétie : agrandissement et réduction

Agrandissement et réduction de rapport k (rappels de 4e : longueurs, angles, échelle, configuration de Thalès), homothétie de centre O et de rapport positif ou négatif, image d’un point et d’une figure, propriétés conservées, lien avec le théorème de Thalès, effet sur les longueurs, les aires (k²) et les volumes (k³), retrouver le rapport.

À propos de cette page
Un QCM sur l’homothétie en trois niveaux de douze questions : vocabulaire et image d’un point, rapport négatif, propriétés conservées, échelles, longueurs et périmètres, aires multipliées par k², volumes multipliés par k³, rapport retrouvé à partir d’aires ou de volumes. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Dans une homothétie de centre O, l’image M′ d’un point M est toujours…

    • A. sur le cercle de centre O passant par M
    • B. sur la droite (OM)
    • C. sur la perpendiculaire à (OM) en O
    • D. à la même distance de O que M
    Réponse

    B. sur la droite (OM) — Les points O, M et M′ sont alignés : M′ est sur la droite (OM). Il n’est à la même distance de O que M que si k = 1 ou k = −1.

  2. Un agrandissement ou une réduction de rapport 0,8 est…

    • A. une réduction
    • B. un agrandissement
    • C. une figure de même taille
    • D. impossible, car il faut k > 1
    Réponse

    A. une réduction — 0 < 0,8 < 1 : toutes les longueurs sont multipliées par 0,8, elles diminuent : c’est une réduction.

  3. Un rapport k = 9/5 correspond à…

    • A. une réduction de rapport 5/9
    • B. une figure de même taille
    • C. une réduction de rapport 4/5
    • D. un agrandissement
    Réponse

    D. un agrandissement — 9/5 = 1,8, plus grand que 1 : les longueurs augmentent, c’est un agrandissement.

  4. Par une homothétie de rapport 3, le seul point qui est sa propre image est…

    • A. le milieu de la figure
    • B. l’origine du repère
    • C. le centre de l’homothétie
    • D. le sommet le plus proche
    Réponse

    C. le centre de l’homothétie — Le centre O vérifie OO′ = 3 × 0 = 0 : il ne bouge pas. Tout autre point s’éloigne de O.

  5. Une homothétie de rapport 2 ne conserve pas…

    • A. les angles
    • B. les longueurs
    • C. le parallélisme
    • D. l’alignement
    Réponse

    B. les longueurs — Les longueurs sont multipliées par 2 ; les angles, le parallélisme et l’alignement sont conservés.

  6. L’image d’un carré par une homothétie est…

    • A. un carré
    • B. un rectangle quelconque
    • C. un losange quelconque
    • D. un parallélogramme quelconque
    Réponse

    A. un carré — L’homothétie conserve les angles (quatre angles droits) et multiplie tous les côtés par le même nombre (quatre côtés égaux) : l’image est un carré.

  7. Homothétie de centre O, de rapport 1,5, avec OM = 6 cm. Alors OM′ = …

    • A. 7,5 cm
    • B. 4 cm
    • C. 6 cm
    • D. 9 cm
    Réponse

    D. 9 cm — OM′ = 1,5 × 6 = 9 cm. 7,5 cm viendrait d’une addition (6 + 1,5), 4 cm d’une division par 1,5.

  8. Homothétie de centre O, de rapport 0,25, avec OA = 12 cm. Alors OA′ = …

    • A. 48 cm
    • B. 4 cm
    • C. 3 cm
    • D. 11,75 cm
    Réponse

    C. 3 cm — OA′ = 0,25 × 12 = 3 cm. 48 cm serait une division par 0,25, et 11,75 cm une soustraction.

  9. L’image d’une droite qui ne passe pas par le centre est une droite…

    • A. perpendiculaire à la première
    • B. parallèle à la première
    • C. qui passe par le centre
    • D. sécante à la première
    Réponse

    B. parallèle à la première — Une homothétie transforme une droite en une droite parallèle (elle-même seulement si elle passe par le centre).

  10. Avec une homothétie de rapport négatif, l’image d’un point M est…

    • A. toujours plus proche du centre que M
    • B. sur la perpendiculaire à (OM)
    • C. du même côté du centre que M
    • D. de l’autre côté du centre par rapport à M
    Réponse

    D. de l’autre côté du centre par rapport à M — Le signe négatif place M′ de l’autre côté de O ; la distance OM′ = |k| × OM peut être plus grande ou plus petite que OM.

  11. Une réduction « aux deux tiers » a pour rapport…

    • A. 2/3
    • B. 3/2
    • C. 1/3
    • D. 2,3
    Réponse

    A. 2/3 — Les longueurs sont multipliées par 2/3 ≈ 0,67. 3/2 serait un agrandissement et 1/3 une réduction au tiers.

  12. Sur une carte au 1/50 000, 1 cm représente…

    • A. 50 m
    • B. 5 km
    • C. 500 m
    • D. 50 km
    Réponse

    C. 500 m — 1 cm représente 50 000 cm = 500 m.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Un segment de 4,8 cm est transformé par une homothétie de rapport 2,5. Sa longueur devient…

    • A. 7,3 cm
    • B. 12 cm
    • C. 1,92 cm
    • D. 30 cm
    Réponse

    B. 12 cm — 4,8 × 2,5 = 12 cm. 7,3 cm viendrait d’une addition et 1,92 cm d’une division.

  2. Dans une réduction, une longueur de 9 cm devient 5,4 cm. Le rapport est…

    • A. 1,67
    • B. 3,6
    • C. 0,4
    • D. 0,6
    Réponse

    D. 0,6 — k = 5,4 ÷ 9 = 0,6 (longueur obtenue ÷ longueur de départ). 1,67 serait le rapport inverse, 3,6 la différence.

  3. Avec un rapport 7, une aire est multipliée par…

    • A. 14
    • B. 7
    • C. 49
    • D. 343
    Réponse

    C. 49 — Les aires sont multipliées par k² = 7 × 7 = 49 ; 343 = 7³ multiplierait les volumes.

  4. Une aire de 7 cm², transformée avec un rapport 3, devient…

    • A. 63 cm²
    • B. 21 cm²
    • C. 49 cm²
    • D. 189 cm²
    Réponse

    A. 63 cm² — 7 × 3² = 7 × 9 = 63 cm². 21 cm² oublie le carré, 189 cm² utilise le cube.

  5. Un périmètre de 35 cm, transformé avec un rapport 0,4, devient…

    • A. 5,6 cm
    • B. 14 cm
    • C. 87,5 cm
    • D. 34,6 cm
    Réponse

    B. 14 cm — Le périmètre est une longueur : 35 × 0,4 = 14 cm. 5,6 cm utiliserait 0,4², qui sert pour les aires.

  6. Une aire de 45 cm² devient 5 cm². Le rapport k vaut…

    • A. 9
    • B. 3
    • C. 1/9
    • D. 1/3
    Réponse

    D. 1/3 — k² = 5/45 = 1/9, donc k = 1/3 (une réduction). 1/9 est le rapport des aires, pas celui des longueurs.

  7. À l’échelle 1/250 000, une distance réelle de 3,6 km devient sur la carte…

    • A. 1,44 cm
    • B. 14,4 cm
    • C. 9 cm
    • D. 0,9 cm
    Réponse

    A. 1,44 cm — 3,6 km = 360 000 cm et 360 000 ÷ 250 000 = 1,44 cm.

  8. Une homothétie de rapport −1,2 multiplie une aire par…

    • A. −1,44
    • B. 2,4
    • C. 1,44
    • D. 1,728
    Réponse

    C. 1,44 — Aire × k² = (−1,2)² = 1,44 : un carré est positif. 1,728 = 1,2³ concernerait les volumes.

  9. Un plan est au 1/250. Une pièce de 5 m de long y mesure…

    • A. 5 cm
    • B. 1,25 cm
    • C. 2 cm
    • D. 20 cm
    Réponse

    C. 2 cm — 5 m = 500 cm et 500 ÷ 250 = 2 cm.

  10. Une aire de 20 cm² devient 180 cm². Le rapport k vaut…

    • A. 9
    • B. 3
    • C. 4,5
    • D. 160
    Réponse

    B. 3 — k² = 180 ÷ 20 = 9, donc k = 3. 9 est le rapport des aires.

  11. Homothétie de centre O, de rapport 3, avec OM = 2,4 cm. La distance MM′ vaut…

    • A. 2,4 cm
    • B. 7,2 cm
    • C. 9,6 cm
    • D. 4,8 cm
    Réponse

    D. 4,8 cm — OM′ = 3 × 2,4 = 7,2 cm, au-delà de M : MM′ = 7,2 − 2,4 = 4,8 cm. 7,2 cm est OM′, pas MM′.

  12. (MN) // (BC), M ∈ [AB], N ∈ [AC], AM = 2 cm et AB = 5 cm. L’homothétie de centre A qui transforme ABC en AMN a pour rapport…

    • A. 0,4
    • B. 2,5
    • C. −0,4
    • D. 3
    Réponse

    A. 0,4 — Triangles emboîtés : M est du côté de B, le rapport est positif et vaut AM ÷ AB = 2 ÷ 5 = 0,4. Le rapport −0,4 correspondrait à une configuration papillon.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Avec un rapport 1,5, un volume est multiplié par…

    • A. 1,5
    • B. 2,25
    • C. 4,5
    • D. 3,375
    Réponse

    D. 3,375 — Volume × k³ = 1,5 × 1,5 × 1,5 = 3,375. 2,25 = 1,5² multiplierait les aires.

  2. Un volume de 81 cm³, transformé avec un rapport 1/3, devient…

    • A. 27 cm³
    • B. 3 cm³
    • C. 9 cm³
    • D. 54 cm³
    Réponse

    B. 3 cm³ — 81 × (1/3)³ = 81 ÷ 27 = 3 cm³. 27 cm³ divise seulement par 3, 9 cm³ par 9.

  3. Deux solides de même forme ont des volumes de 16 cm³ et 250 cm³. Le rapport de leurs longueurs est…

    • A. 2,5
    • B. 15,625
    • C. 3,95
    • D. 5
    Réponse

    A. 2,5 — k³ = 250 ÷ 16 = 15,625 et 2,5³ = 15,625 : k = 2,5. 15,625 est le rapport des volumes.

  4. Un ballon a un rayon de 11 cm. Un ballon de rayon 22 cm a un volume…

    • A. 2 fois plus grand
    • B. 4 fois plus grand
    • C. 16 fois plus grand
    • D. 8 fois plus grand
    Réponse

    D. 8 fois plus grand — k = 22 ÷ 11 = 2, donc le volume est multiplié par 2³ = 8 (et la surface par 4).

  5. Un verre conique, pointe en bas, est rempli jusqu’aux trois cinquièmes de sa hauteur. Il contient…

    • A. 21,6 % de sa contenance
    • B. 36 % de sa contenance
    • C. 60 % de sa contenance
    • D. 40 % de sa contenance
    Réponse

    A. 21,6 % de sa contenance — Le liquide forme un cône réduit de rapport 0,6 : 0,6³ = 0,216, soit 21,6 %. 36 % utiliserait le carré.

  6. Une figure de 32 cm² est agrandie en une figure de même forme de 50 cm². Son périmètre est multiplié par…

    • A. 1,5625
    • B. 18
    • C. 1,25
    • D. 0,64
    Réponse

    C. 1,25 — k² = 50 ÷ 32 = 1,5625, donc k = 1,25 ; le périmètre, une longueur, est multiplié par k. 1,5625 est le coefficient des aires.

  7. Une maquette au 1/20 a une surface peinte de 0,5 m². La surface réelle correspondante est de…

    • A. 10 m²
    • B. 20 m²
    • C. 200 m²
    • D. 4 000 m²
    Réponse

    C. 200 m² — Les aires réelles sont 20² = 400 fois plus grandes : 0,5 × 400 = 200 m². 10 m² oublie le carré.

  8. Homothétie de centre O, de rapport −0,5, avec OM = 8 cm. La distance MM′ vaut…

    • A. 4 cm
    • B. 12 cm
    • C. 16 cm
    • D. 8 cm
    Réponse

    B. 12 cm — OM′ = 0,5 × 8 = 4 cm, de l’autre côté de O : MM′ = 8 + 4 = 12 cm.

  9. Un cube d’arête a est remplacé par un cube de volume double. Sa nouvelle arête vaut environ…

    • A. 2 a
    • B. 1,41 a
    • C. 8 a
    • D. 1,26 a
    Réponse

    D. 1,26 a — Il faut k³ = 2 : 1,26³ ≈ 2,0004, donc k ≈ 1,26. 1,41 conviendrait pour une aire double (1,41² ≈ 1,99).

  10. Une homothétie transforme un triangle d’aire 6 cm² en un triangle d’aire 37,5 cm². Les longueurs sont multipliées par…

    • A. 2,5
    • B. 31,5
    • C. 6,25
    • D. 5,6
    Réponse

    A. 2,5 — k² = 37,5 ÷ 6 = 6,25, donc k = 2,5 (ou −2,5 : les longueurs sont multipliées par 2,5). 6,25 est le rapport des aires.

  11. Un élève affirme : « avec k = 2, le volume double ». Son erreur est d’oublier que…

    • A. les aires sont multipliées par k³
    • B. le volume est multiplié par k³ = 8
    • C. k = 2 est une réduction de moitié
    • D. le centre doit être précisé
    Réponse

    B. le volume est multiplié par k³ = 8 — Un volume est le produit de trois longueurs, chacune doublée : 2 × 2 × 2 = 8.

  12. Une boule de rayon 3 cm a un volume d’environ 113 cm³. Une boule de rayon 4,5 cm a un volume d’environ…

    • A. 170 cm³
    • B. 254 cm³
    • C. 381 cm³
    • D. 339 cm³
    Réponse

    C. 381 cm³ — k = 4,5 ÷ 3 = 1,5 et 113 × 1,5³ = 113 × 3,375 ≈ 381 cm³. 170 cm³ multiplie par k, 254 cm³ par k².

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