Fiche de révision : homothétie & agrandissement-réduction

Agrandissement et réduction de rapport k (rappels de 4e : longueurs, angles, échelle, configuration de Thalès), homothétie de centre O et de rapport positif ou négatif, image d’un point et d’une figure, propriétés conservées, lien avec le théorème de Thalès, effet sur les longueurs, les aires (k²) et les volumes (k³), retrouver le rapport.

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Homothétie : agrandissement et réduction

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Espace et géométrie · Transformations)

La démarche pour un agrandissement, une réduction ou une homothétie

1. Je trouve le rapport. Longueur obtenue ÷ longueur de départ, dans la même unité ; pour une homothétie, le signe dit le côté : même côté du centre, $k > 0$ ; de l’autre côté, $k < 0$ .

2. Je choisis le coefficient selon ce que je calcule. Une longueur : × $| k |$ ; une aire : × $k^{2}$ ; un volume, une contenance, une masse : × $k^{3}$ ; un angle : il ne change pas.

3. Je calcule et je conclus avec l’unité, en vérifiant le sens : un agrandissement donne un résultat plus grand.

Le réflexe — le rapport multiplie les longueurs ; son carré multiplie les aires, son cube les volumes ; son signe ne dit que le côté du centre.

Cas 1 · Agrandissement, réduction, échelle

Réflexe — je divise une longueur obtenue par la longueur correspondante de départ, dans la même unité ; échelle $\frac{1}{n}$ : réel $=$ plan $\times n$ .

Exemple 1. Un rectangle de $6$ cm sur $2, 5$ cm est agrandi : sa longueur devient $9$ cm. Quelle est sa largeur ?

$k = \frac{9}{6} = 1, 5$ . Largeur : $2, 5 \times 1, 5 = 3, 75$ cm.

Exemple 2. Sur un plan au $\frac{1}{300}$ , une allée mesure $4$ cm. Quelle est sa longueur réelle ?

$4 \times 300 = 1 200$ cm, soit $12$ m.

Attention — agrandir, c’est multiplier, pas ajouter ; et on convertit avant de diviser.

Cas 2 · Image d’un point par une homothétie

Réflexe — $O M' = | k | \times O M$ , sur la droite $(O M)$ : du côté de $M$ si $k > 0$ , de l’autre côté de $O$ si $k < 0$ .

Exemple 1. Homothétie de centre $O$ et de rapport $- 0, 8$ , avec $O M = 5$ cm. Où est $M'$ ? Combien mesure $M M'$ ?

$O M' = 0, 8 \times 5 = 4$ cm, de l’autre côté de $O$ . $O$ est entre $M$ et $M'$ : $M M' = 5 + 4 = 9$ cm.

Exemple 2. $O A = 3$ cm, $O A' = 10, 5$ cm, $A'$ du même côté de $O$ que $A$ . Quel est le rapport ?

$| k | = \frac{10, 5}{3} = 3, 5$ et $k > 0$ : $k = 3, 5$ .

Attention — le rapport multiplie la distance au centre, pas $M M'$ ; un rapport $- 2$ agrandit.

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Cas 3 · Image d’une figure, propriétés, lien avec Thalès

Réflexe — j’image chaque sommet puis je relie ; longueurs × $| k |$ , angles et parallélisme conservés.

Exemple 1. Image d’un segment $[A B]$ de $3, 8$ cm par une homothétie de rapport $- 2, 5$ ?

Un segment $[A' B']$ parallèle à $[A B]$ , de longueur $2, 5 \times 3, 8 = 9, 5$ cm.

Exemple 2. $M \in [A B]$ , $(M N) ∥ (B C)$ , $A M = 1, 8$ cm et $A B = 4, 5$ cm. Quelle homothétie transforme $A B C$ en $A M N$ ?

Celle de centre $A$ (le sommet commun) et de rapport $\frac{1, 8}{4, 5} = 0, 4$ (positif : triangles emboîtés).

Attention — une longueur n’est jamais négative : avec $k = - 3$ , $A' B' = 3 \times A B$ .

Cas 4 · Aires et volumes

Réflexe — aire × $k^{2}$ , volume × $k^{3}$ ; pour retrouver $k$ , je prends la racine carrée (aires) ou le nombre dont le cube vaut le quotient (volumes).

Exemple 1. Une figure de $24$ cm² est réduite avec $k = 0, 5$ . Quelle est son aire ?

$24 \times 0, 5^{2} = 24 \times 0, 25 = 6$ cm².

Exemple 2. Deux solides de même forme ont des volumes de $5$ cm³ et $40$ cm³. Rapport des longueurs ? des aires ?

$k^{3} = \frac{40}{5} = 8 = 2^{3}$ , donc $k = 2$ ; les aires sont multipliées par $2^{2} = 4$ .

Attention — avec $k = 3$ , une aire est multipliée par $9$ , pas par $3$ ; avec $k = \frac{1}{2}$ , un volume est divisé par $8$ .

Les pièges

Ajouter la même longueur à tous les côtés pour « agrandir » : la forme change ; il faut multiplier.
Calculer un rapport avec deux unités différentes : $8$ m et $5$ cm se comparent en cm, $\frac{5}{800} = \frac{1}{160}$ .
Confondre $O M'$ et $M M'$ : avec $k = 2, 5$ et $O M = 4$ cm, $O M' = 10$ cm mais $M M' = 6$ cm.
Croire qu’un rapport négatif réduit : $k = - 2$ double les longueurs, il place seulement l’image de l’autre côté du centre.
Multiplier une aire par $k$ ou un volume par $k^{2}$ : aires × $k^{2}$ , volumes × $k^{3}$ .

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche en trois temps : trouver le rapport, choisir le coefficient selon la grandeur (longueur, aire, volume), conclure avec l’unité. Un exemple corrigé par cas : rectangle agrandi et plan au 1/300, image d’un point avec un rapport −0,8, segment et configuration de Thalès, aire réduite et volumes de 5 et 40 cm³, puis les pièges classiques.

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