Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Homothétie & agrandissement-réduction
Centre, rapport k, image d'une figure, effet sur les longueurs, les aires et les volumes (programme de 3e)
Transformer une figure en une figure de même forme, plus grande ou plus petite, et prévoir l'effet sur les longueurs, les aires et les volumes.
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Définitions
- Homothétie de centre O et de rapport k : M' est sur (OM), $OM' = |k| \times OM$ ; même côté que M si k > 0, de l'autre côté si k < 0.
- Agrandissement : k > 1. Réduction : 0 < k < 1. k = 1 : figure identique.
- Le centre O est le seul point fixe ; O, M, M' sont alignés.
- Échelle 1/n : réduction de rapport 1/n (1 cm sur le plan = n cm en vrai).
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Propriétés
- Conservés : angles, alignement, parallélisme, milieux, nature des figures.
- Pas conservées : les longueurs (sauf |k| = 1).
- L'image d'une droite est une droite parallèle ; l'image d'un cercle est un cercle.
- Lien Thalès : AMN est l'image de ABC par l'homothétie de centre A et de rapport AM/AB.
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Les trois coefficients
| Grandeur | Multipliée par |
|---|---|
| Longueur, périmètre | k |
| Aire | k² |
| Volume, masse (même matériau) | k³ |
Exemple k = 2 : longueurs × 2, aires × 4, volumes × 8. Avec k = 1/2 : volumes ÷ 8.
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Méthode : retrouver k
- Deux longueurs : k = image ÷ départ (même unité).
- Deux aires : k² = rapport des aires, puis racine carrée.
- Deux volumes : k³ = rapport des volumes, puis chercher le nombre dont le cube vaut ce rapport (8 → 2 ; 27 → 3 ; 3,375 → 1,5).
- Puis en déduire les autres grandeurs avec k, k², k³.
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Pièges à éviter
- Multiplier une aire par k au lieu de k² (avec k = 3, l'aire est × 9).
- Diviser un volume par 2 avec k = 1/2 : il est divisé par 8.
- Confondre OM' = k × OM et MM' (MM' = OM' − OM si k > 1).
- Calculer une échelle avec des unités différentes (7 m et 3,5 cm → 700 et 3,5).
- Oublier que k < 0 retourne la figure mais garde |k| pour les longueurs.
L'essentiel
- Homothétie : centre O, rapport k, OM' = |k| × OM, points O, M, M' alignés.
- Agrandissement si k > 1, réduction si 0 < k < 1 ; angles et forme conservés, longueurs non.
- Longueurs × k, aires × k², volumes × k³.
- Pour retrouver k : longueurs (quotient), aires (racine carrée), volumes (racine cubique).
- Échelle 1/n = réduction de rapport 1/n ; même unité avant tout calcul.
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