Homothétie : agrandissement et réduction

Agrandissement ou réduction ? Écris « agrandissement », « réduction » ou « même taille ».

1. Rapport $k=2,5$ :
   $k>1$ : toutes les longueurs sont multipliées par $2,5$, c’est un agrandissement.
2. Rapport $k=0,4$ :
   $0<k<1$ : les longueurs sont multipliées par $0,4$, elles diminuent : c’est une réduction.
3. Rapport $k={\displaystyle \frac{7}{4}}$ :
   ${\displaystyle \frac{7}{4}}=1,75$, plus grand que $1$ : agrandissement.
4. Rapport $k=0,97$ :
   Même très proche de $1$, un rapport plus petit que $1$ donne une réduction.
5. Rapport $k={\displaystyle \frac{13}{13}}$ :
   ${\displaystyle \frac{13}{13}}=1$ : les longueurs ne changent pas, la figure obtenue a la même taille.

Calcule la longueur ou le rapport demandé (longueurs en cm).

1. Un segment de $6,4$ cm, rapport $k=1,25$. Longueur obtenue :
   $6,4\times 1,25=8$ cm.
2. Un côté de $15$ cm, rapport $k=0,8$. Longueur obtenue :
   $15\times 0,8=12$ cm.
3. Un triangle de périmètre $27$ cm, rapport $k={\displaystyle \frac{2}{3}}$. Périmètre obtenu :
   Le périmètre est une somme de longueurs, il est multiplié par $k$ : $27\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=18$ cm.
4. Une longueur de $4,5$ cm devient $11,25$ cm. Rapport $k=$
   $k={\displaystyle \frac{11,25}{4,5}}=2,5$.
5. Après une réduction de rapport $0,9$, un segment mesure $7,2$ cm. Longueur de départ :
   On remonte en divisant : $7,2÷0,9=8$ cm.

Échelles : convertis dans la même unité avant de calculer.

1. Carte au ${\displaystyle \frac{1}{20000}}$ : $6,5$ cm sur la carte représentent km.
   $6,5\times 20000=130000$ cm, soit $1,3$ km.
2. Plan au ${\displaystyle \frac{1}{75}}$ : un mur de $6$ m mesure cm sur le plan.
   $6$ m $=600$ cm et $600÷75=8$ cm.
3. Une maquette au ${\displaystyle \frac{1}{40}}$ mesure $30$ cm de haut. Hauteur réelle : m.
   $30\times 40=1200$ cm, soit $12$ m.
4. Un mur de $2,7$ m est dessiné par un trait de $1,8$ cm. L’échelle est ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ avec $n=$
   $2,7$ m $=270$ cm et $270÷1,8=150$ : $1$ cm représente $150$ cm, l’échelle est ${\displaystyle \frac{1}{150}}$.

Homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ : calcule la longueur demandée, en cm.

1. $k=2,5$ et $OM=4,2$ : $OM\prime =$
   $OM\prime =2,5\times 4,2=10,5$ cm.
2. $k={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $OA=7,2$ : $OA\prime =$
   $OA\prime =7,2÷3=2,4$ cm.
3. $k=0,75$ et $OB=3,6$ : $OB\prime =$
   $OB\prime =0,75\times 3,6=2,7$ cm.
4. $k=1,5$ et $OC\prime =9$ : $OC=$
   On remonte en divisant : $OC=9÷1,5=6$ cm.
5. $k=-2$ et $OD=2,5$ : $OD\prime =$
   $|-2|=2$, donc $OD\prime =2\times 2,5=5$ cm ; le signe indique seulement que $D\prime$ est de l’autre côté de $O$.

Calcule la distance $MM\prime$ entre le point $M$ et son image $M\prime$, en cm. Fais un petit schéma : $O$ est-il entre $M$ et $M\prime$ ?

1. $k=4$ et $OM=1,5$ : $MM\prime =$
   $OM\prime =4\times 1,5=6$ cm, du même côté, au-delà de $M$ : $MM\prime =6-1,5=4,5$ cm.
2. $k=0,5$ et $OM=6$ : $MM\prime =$
   $OM\prime =0,5\times 6=3$ cm : $M\prime$ est entre $O$ et $M$, donc $MM\prime =6-3=3$ cm.
3. $k=-3$ et $OM=1,2$ : $MM\prime =$
   $OM\prime =3\times 1,2=3,6$ cm, de l’autre côté de $O$ : $MM\prime =1,2+3,6=4,8$ cm.
4. $k=-1$ et $OM=2,7$ : $MM\prime =$
   Avec $k=-1$, $M\prime$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ : $MM\prime =2\times 2,7=5,4$ cm.

$A\prime$ est l’image de $A$ par une homothétie de centre $O$. Trouve son rapport $k$, avec son signe.

1. $OA=4$ cm, $OA\prime =10$ cm, $A\prime$ du même côté de $O$ que $A$ : $k=$
   $|k|={\displaystyle \frac{10}{4}}=2,5$ et $A\prime$ est du même côté : $k=2,5$.
2. $OA=6$ cm, $OA\prime =4,5$ cm, $A\prime$ de l’autre côté de $O$ : $k=$
   $|k|={\displaystyle \frac{4,5}{6}}=0,75$ et $A\prime$ est de l’autre côté : $k=-0,75$.
3. $OA=2$ cm, $A\prime$ est sur la demi-droite $[OA)$, au-delà de $A$, avec $AA\prime =6$ cm : $k=$
   $OA\prime =2+6=8$ cm, du même côté : $k={\displaystyle \frac{8}{2}}=4$.
4. $OA=OA\prime =3,5$ cm et $A\prime$ est distinct de $A$ : $k=$
   $|k|=1$ ; comme $A\prime \ne A$, $A\prime$ est de l’autre côté de $O$ : $k=-1$, c’est la symétrie de centre $O$.

$A\prime B\prime C\prime$ est l’image du triangle $ABC$ par une homothétie de rapport $k$.

1. $AB=4$ cm et $k=1,5$ : $A\prime B\prime =$ cm
   $A\prime B\prime =1,5\times 4=6$ cm.
2. $BAC=50°$ et $k=1,5$ : $\widehat{B\prime A\prime C\prime }=$ °
   Une homothétie conserve les angles : $\widehat{B\prime A\prime C\prime }=50°$.
3. $AC=6$ cm et $k=-0,5$ : $A\prime C\prime =$ cm
   $|-0,5|=0,5$, donc $A\prime C\prime =0,5\times 6=3$ cm.
4. Le périmètre de $ABC$ est $14$ cm et $k=-2$. Périmètre de $A\prime B\prime C\prime$ : cm
   Chaque côté est multiplié par $2$, le périmètre aussi : $14\times 2=28$ cm.
5. Un cercle de rayon $2,4$ cm a pour image, avec $k=0,5$, un cercle de rayon cm
   L’image d’un cercle est un cercle de rayon $0,5\times 2,4=1,2$ cm.

Pour construire l’image d’un triangle par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$, calcule d’abord la distance de chaque image au centre (en cm).

1. $OA=3$, $OB=4,4$, $OC=2,5$ et $k=1,5$ : $OA\prime =$ ; $OB\prime =$ ; $OC\prime =$
   $1,5\times 3=4,5$ ; $1,5\times 4,4=6,6$ ; $1,5\times 2,5=3,75$. On place les points sur les demi-droites $[OA)$, $[OB)$, $[OC)$, puis on relie.
2. $OE=6$, $OF=4,8$, $OG=7,5$ et $k=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ : $OE\prime =$ ; $OF\prime =$ ; $OG\prime =$
   $6\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=4$ ; $4,8\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=3,2$ ; $7,5\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=5$. Rapport négatif : on place chaque image de l’autre côté de $O$.

Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, $M$ est sur la droite $(AB)$ et $N$ sur la droite $(AC)$.

1. $M\in [AB]$, $AM=2,4$ cm et $AB=6$ cm. $AMN$ est l’image de $ABC$ par l’homothétie de centre $A$ et de rapport
   Triangles emboîtés : rapport positif ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{2,4}{6}}=0,4$.
2. $M$ et $B$ sont de part et d’autre de $A$, $AM=2,1$ cm et $AB=3$ cm. Rapport de l’homothétie de centre $A$ qui transforme $ABC$ en $AMN$ :
   Configuration papillon : $M$ est de l’autre côté de $A$, le rapport est négatif : $-{\displaystyle \frac{2,1}{3}}=-0,7$.
3. $M$ et $B$ sont de part et d’autre de $A$, $AM=4,5$ cm, $AB=3$ cm et $BC=5$ cm : $MN=$ cm
   Rapport $-{\displaystyle \frac{4,5}{3}}=-1,5$ : les longueurs sont multipliées par $1,5$, donc $MN=1,5\times 5=7,5$ cm.
4. $A\prime B\prime C\prime$ est l’image de $ABC$ par une homothétie. Les droites $(AA\prime )$ et $(BB\prime )$ se coupent en $P$, les droites $(AB\prime )$ et $(A\prime B)$ se coupent en $Q$. Le centre de l’homothétie est le point
   Le centre est sur chaque droite qui joint un point à son image : $(AA\prime )$, $(BB\prime )$ et $(CC\prime )$ passent toutes par le centre, c’est donc leur point commun $P$. Les droites $(AB\prime )$ et $(A\prime B)$ joignent un point à l’image d’un autre point : $Q$ n’est pas le centre.

Aires (en cm²) : pense au carré du rapport.

1. Une aire de $12,5$ cm², rapport $k=2$. Aire obtenue :
   $12,5\times 2^2=12,5\times 4=50$ cm².
2. Rapport $k=0,3$ : les aires sont multipliées par
   $0,3^2=0,3\times 0,3=0,09$ : l’aire est divisée par plus de $11$.
3. Une aire de $30$ cm², rapport $k=1,5$. Aire obtenue :
   $1,5^2=2,25$ et $30\times 2,25=67,5$ cm².
4. Une homothétie de rapport $-3$ transforme une figure de $2,5$ cm² en une figure de cm²
   $(-3{)}^2=9$ et $2,5\times 9=22,5$ cm².

Volumes et contenances : pense au cube du rapport.

1. Un volume de $16$ cm³, rapport $k=1,5$. Volume obtenu : cm³
   $1,5^3=3,375$ et $16\times 3,375=54$ cm³.
2. Un volume de $96$ cm³, rapport $k=0,5$. Volume obtenu : cm³
   $0,5^3=0,125$ et $96\times 0,125=12$ cm³ : le volume est divisé par $8$, pas par $2$.
3. Rapport $k=2,5$ : les volumes sont multipliés par
   $2,5^3=2,5\times 2,5\times 2,5=15,625$.
4. Un cône de $240$ mL est rempli jusqu’à la moitié de sa hauteur. Volume de liquide : mL
   Le liquide forme un cône réduit de rapport ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $240÷8=30$ mL.

Retrouve le rapport, ou combine rapport et unités.

1. Une aire passe de $8$ cm² à $50$ cm². Rapport $k=$
   $k^2={\displaystyle \frac{50}{8}}=6,25$ et $2,5^2=6,25$, donc $k=2,5$.
2. Un volume passe de $1,6$ cm³ à $43,2$ cm³. Rapport $k=$
   $k^3={\displaystyle \frac{43,2}{1,6}}=27=3^3$, donc $k=3$.
3. Un terrain de $3200$ m² est dessiné au ${\displaystyle \frac{1}{200}}$. Aire sur le plan : cm²
   $3200$ m² $=32000000$ cm². Les aires sont divisées par ${200}^2=40000$ : $32000000÷40000=800$ cm².
4. Une figurine pleine de $6$ cm de haut pèse $40$ g. Une figurine de même forme et de même matière mesure $9$ cm : elle pèse g
   $k={\displaystyle \frac{9}{6}}=1,5$ ; la masse suit le volume : $40\times 1,5^3=40\times 3,375=135$ g.