Homothétie : agrandissement et réduction

Agrandissement et réduction de rapport k (rappels de 4e : longueurs, angles, échelle, configuration de Thalès), homothétie de centre O et de rapport positif ou négatif, image d’un point et d’une figure, propriétés conservées, lien avec le théorème de Thalès, effet sur les longueurs, les aires (k²) et les volumes (k³), retrouver le rapport.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés d’agrandissement et de réduction : deux pizzas à comparer au prix de la surface, le plan d’un appartement, la photocopieuse qui passe de l’A4 à l’A5, une construction par homothétie avec un triangle rectangle, la réplique parisienne de la statue de la Liberté et un verre conique à moitié plein.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère la figure de départ, la figure obtenue et ce qu’on mesure : une longueur, une aire, un volume (ou une masse, une contenance).
Je calcule le rapport $k$ avec deux longueurs correspondantes, dans la même unité (ou à partir d’une échelle, d’un pourcentage, d’un quotient d’aires ou de volumes).
J’applique le bon coefficient : $k$ pour les longueurs, $k^{2}$ pour les aires, $k^{3}$ pour les volumes ; les angles ne changent pas.
Je vérifie le sens (un agrandissement donne un résultat plus grand) et l’unité, puis je réponds par une phrase.

Problème 1 · Les deux pizzas★★★Facile

Une pizzeria vend la même pizza en deux tailles :

26

cm de diamètre à

9

€, ou

33

cm de diamètre à

13

€. Les deux pizzas ont la même épaisseur. Arrondis au centième.

1. Rapport d’agrandissement $k$ de la petite pizza vers la grande :
$k = \frac{33}{26} \approx 1, 269$ , soit $1, 27$ au centième.
2. Par combien la surface de pizza est-elle multipliée ?
Les aires sont multipliées par $k^{2} = {(\frac{33}{26})}^{2} = \frac{1 089}{676} \approx 1, 611$ , soit $1, 61$ .
3. Par combien le prix est-il multiplié ?
$\frac{13}{9} \approx 1, 444$ , soit $1, 44$ .
4. Pour être exactement aussi chère au cm² que la petite, combien la grande devrait-elle coûter ? €
$9 \times \frac{1 089}{676} \approx 14, 50$ €. Elle ne coûte que $13$ € : la grande pizza est la plus avantageuse (le prix est multiplié par $1, 44$ , la surface par $1, 61$ ).

Problème 2 · Le plan de l’appartement★★★Facile

Le plan d’un appartement est à l’échelle

\frac{1}{80}

. Sur le plan, le salon est un rectangle de

6

cm sur

4, 5

cm.

1. Dimensions réelles du salon : m sur m
$6 \times 80 = 480$ cm $= 4, 8$ m et $4, 5 \times 80 = 360$ cm $= 3, 6$ m.
2. Aire réelle du salon : m²
$4, 8 \times 3, 6 = 17, 28$ m².
3. Une table rectangulaire de $1, 6$ m sur $0, 9$ m est dessinée sur le plan. Son aire sur le plan : cm²
Sur le plan : $160 \div 80 = 2$ cm et $90 \div 80 = 1, 125$ cm, soit $2 \times 1, 125 = 2, 25$ cm².
4. Par combien faut-il multiplier une aire mesurée sur le plan (en cm²) pour obtenir l’aire réelle (en cm²) ?
Les longueurs sont multipliées par $80$ , les aires par $80^{2} = 6 400$ : la table mesure $2, 25 \times 6 400 = 14 400$ cm², soit bien $1, 6 \times 0, 9 = 1, 44$ m².

Problème 3 · La photocopieuse★★★Moyen

Une feuille A4 mesure

21

cm sur

29, 7

cm. Le réglage «

71

% » d’une photocopieuse réduit toutes les longueurs avec le rapport

0, 71

: on obtient à peu près le format A5.

1. Longueur de la copie, au dixième : cm
$29, 7 \times 0, 71 = 21, 087 \approx 21, 1$ cm.
2. Par combien l’aire de la feuille est-elle multipliée ? (au centième)
$0, 71^{2} = 0, 5041 \approx 0, 50$ : l’aire est à peu près divisée par $2$ , un A5 est la moitié d’un A4.
3. Aire de la feuille A4, puis aire de la copie au cm² près : cm² et cm²
A4 : $21 \times 29, 7 = 623, 7$ cm². Copie : $623, 7 \times 0, 5041 \approx 314, 4$ , soit $314$ cm².
4. Quel réglage, en % arrondi à l’unité, faut-il choisir pour revenir de la copie au format A4 ? %
Il faut le rapport $\frac{1}{0, 71} \approx 1, 408$ , soit le réglage $141$ %.

Problème 4 · Construire et calculer★★★Moyen

O

A

B

sont trois points tels que

O A = 5

cm,

O B = 4

cm et

A B = 3

cm. On construit l’image

A'

A

et l’image

B'

B

par l’homothétie de centre

O

et de rapport

1, 4

1. $O A' =$ cm
$O A' = 1, 4 \times 5 = 7$ cm, sur la demi-droite $[O A)$ .
2. $A A' =$ cm
$A$ est entre $O$ et $A'$ : $A A' = 7 - 5 = 2$ cm.
3. $A' B' =$ cm
Toutes les longueurs sont multipliées par $1, 4$ : $A' B' = 1, 4 \times 3 = 4, 2$ cm.
4. Comme $O A^{2} = 25 = O B^{2} + A B^{2}$ , le triangle $O A B$ est rectangle en $B$ . Le triangle $O A' B'$ est rectangle en
L’homothétie conserve les angles : l’angle droit en $B$ a pour image un angle droit en $B'$ .
5. Aire du triangle $O A' B'$ : cm²
$O B' = 1, 4 \times 4 = 5, 6$ cm et l’angle droit est en $B'$ : aire $= \frac{5, 6 \times 4, 2}{2} = 11, 76$ cm² (c’est bien $6 \times 1, 96$ ).
6. Avec le rapport $- 1, 4$ , l’image $A_{2}$ de $A$ est à $7$ cm de $O$ , de l’autre côté. $A A_{2} =$ cm
$O$ est entre $A$ et $A_{2}$ : $A A_{2} = 5 + 7 = 12$ cm.

Problème 5 · La réplique de la statue★★★Difficile

La statue de la Liberté de New York mesure

46

m de la base au sommet de la torche. Sa réplique de l’île aux Cygnes, à Paris, de même forme, mesure environ

11, 5

1. Rapport de réduction $k$ de la statue vers la réplique :
$k = \frac{11, 5}{46} = 0, 25$ : la réplique est une réduction au quart.
2. Pour l’exercice, on prend $2 400$ m² pour la surface extérieure de la grande statue. Surface de la réplique : m²
Les aires sont multipliées par $0, 25^{2} = 0, 0625$ , c’est-à-dire divisées par $16$ : $2 400 \div 16 = 150$ m².
3. Une équipe nettoie la grande statue en $12$ jours. Au même rythme (même surface nettoyée par jour), combien de jours pour la réplique ?
Le temps est proportionnel à la surface, divisée par $16$ : $12 \div 16 = 0, 75$ jour.
4. Une statuette souvenir de même forme mesure $23$ cm. Elle est une réduction de la grande statue à l’échelle $\frac{1}{n}$ , avec $n =$
$46$ m $= 4 600$ cm et $4 600 \div 23 = 200$ : échelle $\frac{1}{200}$ .
5. Une boutique vend deux statuettes pleines, en résine, de même forme : $15$ cm et $30$ cm de haut. La petite pèse $240$ g. La grande pèse g
$k = \frac{30}{15} = 2$ ; même matière, la masse suit le volume : $240 \times 2^{3} = 240 \times 8 = 1 920$ g.

Problème 6 · Le verre conique★★★Difficile

Un verre a la forme d’un cône de

10

cm de hauteur, pointe en bas ; rempli à ras bord, il contient

25

cL. Le liquide versé forme toujours un cône, réduction du cône du verre.

1. On verse du jus jusqu’à $8$ cm de hauteur. Rapport de réduction :
$k = \frac{8}{10} = 0, 8$ .
2. Volume de jus dans le verre : cL
$0, 8^{3} = 0, 512$ et $25 \times 0, 512 = 12, 8$ cL : à peine plus de la moitié, bien que le verre soit rempli aux quatre cinquièmes de sa hauteur.
3. À quelle hauteur faut-il remplir le verre pour n’avoir que $1, 6$ cL ? cm
$k^{3} = \frac{1, 6}{25} = 0, 064 = 0, 4^{3}$ , donc $k = 0, 4$ et la hauteur vaut $0, 4 \times 10 = 4$ cm.
4. À quelle hauteur, au mm près, le verre est-il à moitié plein ( $12, 5$ cL) ? cm
Il faut $k^{3} = 0, 5$ . $0, 79^{3} \approx 0, 493$ et $0, 8^{3} = 0, 512$ ; puis $0, 793^{3} \approx 0, 4987$ et $0, 794^{3} \approx 0, 5006$ : $k \approx 0, 794$ et la hauteur vaut environ $7, 94$ cm, soit $7, 9$ cm au mm près.

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