Calcul littéral : factoriser

Factoriser une somme : facteur commun (nombre, lettre, les deux) et factorisation au maximum en rappel de 4ᵉ, facteur commun entre parenthèses ou caché, différence de deux carrés a² − b² = (a + b)(a − b), et choix entre forme développée et forme factorisée selon le calcul demandé.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés où la factorisation sert à conclure : le périmètre d’un rectangle et le côté du carré de même périmètre, du calcul mental avec a² − b² (dont 9 991 écrit comme un produit), deux parcelles de même largeur, deux carrés découpés, un programme de calcul et un triangle rectangle où Pythagore donne une différence de deux carrés.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis l’énoncé par une expression (aire, périmètre, programme de calcul), avec des parenthèses autour des sommes.
Je choisis la transformation : factoriser pour faire apparaître un produit (un côté, un multiple, une valeur qui annule), développer pour simplifier ou calculer pour $x = 0$ .
Je factorise : le facteur commun d’abord, puis $a^{2} - b^{2}$ ; je vérifie en développant.
Je calcule avec la forme la plus simple, je contrôle avec une valeur, puis je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Le périmètre du rectangle★★★Facile

Un rectangle a pour longueur

(3 x + 5)

cm et pour largeur

(x + 1)

cm, où

x

est un nombre positif.

1. Périmètre du rectangle, développé et réduit : cm
$2 (3 x + 5) + 2 (x + 1)$ $= 6 x + 10 + 2 x + 2 = 8 x + 12$ .
2. Forme factorisée au maximum de ce périmètre :
$4$ est le plus grand nombre qui divise $8$ et $12$ : $8 x + 12 = 4 \times 2 x + 4 \times 3 = 4 (2 x + 3)$ .
3. Périmètre pour $x = 4$ : cm
$4 \times (2 \times 4 + 3) = 4 \times 11 = 44$ . Vérification : longueur $17$ cm, largeur $5$ cm, et $2 \times (17 + 5) = 44$ .
4. Un carré a le même périmètre que ce rectangle. Son côté, en fonction de $x$ : cm
Le périmètre d’un carré vaut $4 \times$ côté. La forme factorisée $4 (2 x + 3)$ montre directement que le côté vaut $2 x + 3$ .

Problème 2 · Calcul mental avec a² − b²★★★Facile

Utilise

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

pour calculer sans calculatrice.

1. $75^{2} - 25^{2} =$
$(75 + 25) (75 - 25) = 100 \times 50$ $= 5 000$ .
2. $34^{2} - 26^{2} =$
$(34 + 26) (34 - 26) = 60 \times 8$ $= 480$ .
3. $1 005^{2} - 995^{2} =$
$(1 005 + 995) (1 005 - 995)$ $= 2 000 \times 10 = 20 000$ .
4. On remarque que $9 991 = 10 000 - 9$ . Écris $9 991$ comme un produit de deux entiers : $9 991 = 103 \times$
$10 000 - 9 = 100^{2} - 3^{2}$ $= (100 + 3) (100 - 3)$ $= 103 \times 97$ .

Problème 3 · Les deux parcelles★★★Moyen

Deux parcelles rectangulaires ont la même largeur,

(x + 4)

m. La première a pour longueur

(2 x + 1)

m, la seconde

(x + 5)

1. Aire totale des deux parcelles, factorisée par la largeur commune : $(x + 4) ($ $)$
$(x + 4) (2 x + 1) + (x + 4) (x + 5)$ $= (x + 4) [(2 x + 1) + (x + 5)]$ $= (x + 4) (3 x + 6)$ .
2. Aire totale factorisée au maximum :
$3 x + 6 = 3 (x + 2)$ , donc l’aire vaut $3 (x + 4) (x + 2)$ .
3. Aire totale pour $x = 6$ : m²
$3 \times 10 \times 8 = 240$ . Vérification : $10 \times 13 + 10 \times 11 = 130 + 110$ $= 240$ .
4. On place les deux parcelles côte à côte : elles forment un rectangle de largeur $(x + 4)$ m. Sa longueur pour $x = 6$ : m
La forme $(x + 4) (3 x + 6)$ donne la longueur $3 x + 6$ , soit $3 \times 6 + 6 = 24$ m ( $13 + 11 = 24$ ).

Problème 4 · Les deux carrés★★★Moyen

Dans un carré de côté

a

, on découpe un carré de côté

b

(

a > b

). On sait que

a + b = 25

a - b = 7

1. Aire restante en fonction de $a$ et $b$ , sous forme factorisée :
Aire restante : $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ .
2. Aire restante, sans calculer $a$ ni $b$ :
$(a + b) (a - b) = 25 \times 7 = 175$ .
3. Valeur de $a$ :
En ajoutant les deux égalités : $(a + b) + (a - b) = 2 a = 25 + 7 = 32$ , donc $a = 16$ , et $b = 25 - 16 = 9$ .
4. Que vaut $b^{2}$ ?
$b = 9$ , donc $b^{2} = 81$ . Vérification : $16^{2} - 9^{2} = 256 - 81 = 175$ , on retrouve l’aire restante.

Problème 5 · Le programme de calcul de Noa★★★Difficile

« Choisir un nombre ; lui soustraire

2

; élever le résultat au carré ; soustraire

9

. » On note

x

le nombre choisi et

A

le résultat.

1. Résultat quand on choisit $7$ :
$7 - 2 = 5$ , $5^{2} = 25$ , $25 - 9 = 16$ .
2. Écris $A$ en fonction de $x$ , puis factorise : $A =$
$A = (x - 2)^{2} - 9 = (x - 2)^{2} - 3^{2}$ $= (x - 2 + 3) (x - 2 - 3)$ $= (x + 1) (x - 5)$ .
3. Grâce à la forme factorisée, trouve un nombre négatif qui donne $0$ :
Pour $x = - 1$ , le facteur $x + 1$ vaut $0$ , donc $A = 0 \times (- 6) = 0$ . Vérification avec la forme de départ : $(- 1 - 2)^{2} = 9$ et $9 - 9 = 0$ .
4. Forme développée et réduite de $A$ : coefficient de $x$ : ; nombre seul :
$(x + 1) (x - 5) = x^{2} - 5 x + x - 5$ $= x^{2} - 4 x - 5$ : le coefficient de $x$ est $- 4$ et le nombre seul $- 5$ .
5. Avec la forme la plus adaptée, résultat quand on choisit $0$ :
Forme développée : $0 - 0 - 5 = - 5$ . Vérification : $(0 - 2)^{2} = 4$ et $4 - 9 = - 5$ .

Problème 6 · Le triangle rectangle★★★Difficile

Le triangle

A B C

est rectangle en

A

, avec

B C = (x + 2)

cm et

A B = x

cm, où

x

est un nombre positif.

1. D’après le théorème de Pythagore, $A C^{2} = B C^{2} - A B^{2}$ . Écris $A C^{2}$ en fonction de $x$ , comme une différence de deux carrés : $A C^{2} =$
L’hypoténuse est $[B C]$ : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , donc $A C^{2} = B C^{2} - A B^{2}$ $= (x + 2)^{2} - x^{2}$ .
2. Factorise $A C^{2}$ au maximum :
$(x + 2 + x) (x + 2 - x)$ $= (2 x + 2) \times 2 = 4 x + 4$ $= 4 (x + 1)$ .
3. Pour $x = 63$ , longueur $A C$ : cm
$A C^{2} = 4 \times 64 = 256$ , donc $A C = 16$ cm. Vérification : $16^{2} + 63^{2} = 256 + 3 969$ $= 4 225 = 65^{2}$ .
4. On veut $A C = 18$ cm. Valeur de $x$ :
$A C^{2} = 324$ : $4 (x + 1) = 324$ donne $x + 1 = 81$ (car $324 \div 4 = 81$ ), donc $x = 80$ . Vérification : $18^{2} + 80^{2} = 324 + 6 400$ $= 6 724 = 82^{2}$ .

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