Calcul littéral : factoriser

Factoriser une somme : facteur commun (nombre, lettre, les deux) et factorisation au maximum en rappel de 4ᵉ, facteur commun entre parenthèses ou caché, différence de deux carrés a² − b² = (a + b)(a − b), et choix entre forme développée et forme factorisée selon le calcul demandé.

À propos de cette page

Des exercices corrigés de 3e classés par cas et par difficulté : compléter une factorisation, factoriser au maximum une somme de deux ou trois termes, factoriser par une parenthèse commune ou cachée, factoriser x² − 81 ou 16x² − 49, reconnaître une forme développée ou factorisée et démontrer avec la bonne transformation.

12 exercices, classés par cas comme le cours. Écris ta réponse, puis « Vérifier ».

Cas 1Factoriser par un facteur commun (rappels de 4ᵉ)

Réflexe — je cherche le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, puis la lettre commune ; je vérifie en développant. Revoir la méthode →

Exercice 1★★★Facile

Complète.

$9 x + 54 = 9 (x +$ $)$
$54 = 9 \times 6$ : $9 x + 54 = 9 \times x + 9 \times 6 = 9 (x + 6)$ .
$40 x - 16 =$ $(5 x - 2)$
$40 = 8 \times 5$ et $16 = 8 \times 2$ : $40 x - 16 = 8 (5 x - 2)$ .
$x^{2} + 13 x = x ($ $)$
$x^{2} = x \times x$ et $13 x = x \times 13$ : $x^{2} + 13 x = x (x + 13)$ .
$16 y - 16 = 16 (y -$ $)$
$16 = 16 \times 1$ : $16 y - 16 = 16 (y - 1)$ . Il reste $1$ , pas $0$ .

Exercice 2★★★Moyen

Factorise au maximum (écris par exemple 4x(2x − 3)).

$12 x + 30 =$
Le plus grand nombre qui divise $12$ et $30$ est $6$ : $6 \times 2 x + 6 \times 5 = 6 (2 x + 5)$ .
$18 x^{2} - 27 x =$
$18 = 9 \times 2$ , $27 = 9 \times 3$ , et $x$ est dans les deux termes : facteur commun $9 x$ , donc $9 x \times 2 x - 9 x \times 3 = 9 x (2 x - 3)$ .
$5 x^{2} - x =$
$x = x \times 1$ : $5 x^{2} - x = x \times 5 x - x \times 1 = x (5 x - 1)$ .
$24 x^{2} + 16 x =$
Le plus grand nombre qui divise $24$ et $16$ est $8$ , et $x$ est commun : $8 x \times 3 x + 8 x \times 2 = 8 x (3 x + 2)$ .

Exercice 3★★★Difficile

Factorise au maximum, ou calcule en factorisant.

$6 x^{2} + 9 x - 12 =$
Les trois coefficients $6$ , $9$ et $12$ sont dans la table de $3$ ( $9$ n’est pas dans celle de $6$ ), mais $x$ n’est pas dans $12$ : $6 x^{2} + 9 x - 12$ $= 3 \times 2 x^{2} + 3 \times 3 x - 3 \times 4$ $= 3 (2 x^{2} + 3 x - 4)$ .
$10 x^{2} + 25 x - 5 =$
$5 = 5 \times 1$ : $10 x^{2} + 25 x - 5$ $= 5 \times 2 x^{2} + 5 \times 5 x - 5 \times 1$ $= 5 (2 x^{2} + 5 x - 1)$ .
$36 \times 17 + 36 \times 83 =$
$36 \times (17 + 83) = 36 \times 100 = 3 600$ .
Pour tout entier $n$ , $14 n + 21 = 7 ($ $)$
$14 n + 21 = 7 \times 2 n + 7 \times 3$ $= 7 (2 n + 3)$ : c’est $7$ fois un nombre entier, donc un multiple de $7$ .

Cas 2Factoriser par une parenthèse commune

Réflexe — je repère la parenthèse qui revient, je l’écris devant, je mets le reste entre crochets et je réduis ; devant un −, je change les signes du reste. Revoir la méthode →

Exercice 4★★★Facile

Complète avec la parenthèse réduite (par exemple 3x − 2).

$(x + 2) (3 x + 1) + (x + 2) (x + 5) = (x + 2) ($ $)$
$(x + 2) [(3 x + 1) + (x + 5)]$ $= (x + 2) (4 x + 6)$ .
$(x - 6) (2 x + 7) + (x - 6) (x - 4) = (x - 6) ($ $)$
$(x - 6) [(2 x + 7) + (x - 4)]$ $= (x - 6) (3 x + 3)$ .
$y (y + 9) + 4 (y + 9) = (y + 9) ($ $)$
Le facteur commun est $(y + 9)$ ; il reste $y$ et $4$ : $(y + 9) (y + 4)$ .

Exercice 5★★★Moyen

Factorise (écris par exemple (x + 1)(2x − 3)). Attention au signe moins.

$(x + 7) (5 x - 2) - (x + 7) (2 x + 1) =$
$(x + 7) [(5 x - 2) - (2 x + 1)]$ $= (x + 7) (5 x - 2 - 2 x - 1)$ $= (x + 7) (3 x - 3)$ , et au maximum $3 (x + 7) (x - 1)$ .
$(3 x - 4) (x + 8) - (3 x - 4) (x - 2) =$
$(3 x - 4) [(x + 8) - (x - 2)]$ $= (3 x - 4) (x + 8 - x + 2)$ $= (3 x - 4) \times 10 = 10 (3 x - 4)$ .
$2 x (x - 3) - 5 (x - 3) =$
Facteur commun $(x - 3)$ ; il reste $2 x$ et $- 5$ : $(x - 3) (2 x - 5)$ .

Exercice 6★★★Difficile

Fais d’abord apparaître le facteur commun, puis factorise.

$(x + 1)^{2} + (x + 1) (x - 6) =$
$(x + 1)^{2} = (x + 1) (x + 1)$ : $(x + 1) [(x + 1) + (x - 6)]$ $= (x + 1) (2 x - 5)$ .
$(4 x - 3) + (4 x - 3) (x + 2) =$
$(4 x - 3) = (4 x - 3) \times 1$ : $(4 x - 3) [1 + (x + 2)]$ $= (4 x - 3) (x + 3)$ .
$3 x + 12 + (x + 4) (x - 1) =$
$3 x + 12 = 3 (x + 4)$ : $3 (x + 4) + (x + 4) (x - 1)$ $= (x + 4) [3 + (x - 1)]$ $= (x + 4) (x + 2)$ .

Cas 3Factoriser une différence de deux carrés

Réflexe — deux carrés séparés par un moins : j’écris $a^{2} - b^{2}$ , puis $(a + b) (a - b)$ ; s’il y a un facteur commun, je le mets d’abord en facteur. Revoir la méthode →

Exercice 7★★★Facile

Factorise (écris par exemple (x + 3)(x − 3)).

$x^{2} - 81 =$
$81 = 9^{2}$ : $x^{2} - 9^{2} = (x + 9) (x - 9)$ .
$x^{2} - 1 =$
$1 = 1^{2}$ : $x^{2} - 1^{2} = (x + 1) (x - 1)$ .
$100 - x^{2} =$
$100 = 10^{2}$ : $10^{2} - x^{2} = (10 + x) (10 - x)$ . Ici $a = 10$ et $b = x$ .
$y^{2} - 144 =$
$144 = 12^{2}$ : $(y + 12) (y - 12)$ .

Exercice 8★★★Moyen

Écris chaque terme comme un carré, puis factorise.

$4 x^{2} - 9 =$
$4 x^{2} = (2 x)^{2}$ et $9 = 3^{2}$ : $(2 x + 3) (2 x - 3)$ .
$16 x^{2} - 49 =$
$16 x^{2} = (4 x)^{2}$ et $49 = 7^{2}$ : $(4 x + 7) (4 x - 7)$ .
$25 x^{2} - 1 =$
$25 x^{2} = (5 x)^{2}$ et $1 = 1^{2}$ : $(5 x + 1) (5 x - 1)$ .
$81 x^{2} - 100 =$
$81 x^{2} = (9 x)^{2}$ et $100 = 10^{2}$ : $(9 x + 10) (9 x - 10)$ .

Exercice 9★★★Difficile

Factorise au maximum (écris par exemple 2(x + 1)(x − 4)), ou calcule sans calculatrice.

$(x + 5)^{2} - 36 =$
$36 = 6^{2}$ : $(x + 5 + 6) (x + 5 - 6)$ $= (x + 11) (x - 1)$ .
$(2 x + 1)^{2} - 9 =$
$9 = 3^{2}$ : $(2 x + 1 + 3) (2 x + 1 - 3)$ $= (2 x + 4) (2 x - 2)$ . Chaque facteur a encore $2$ en facteur : $2 (x + 2) \times 2 (x - 1)$ $= 4 (x + 2) (x - 1)$ .
$2 x^{2} - 50 =$
Facteur commun d’abord : $2 (x^{2} - 25) = 2 (x + 5) (x - 5)$ .
$73^{2} - 27^{2} =$
$(73 + 27) (73 - 27) = 100 \times 46$ $= 4 600$ .

Cas 4Développer ou factoriser : choisir la forme

Réflexe — je regarde le but : valeur pour $x = 0$ , forme développée ; valeur qui annule un facteur ou équation « … = 0 », forme factorisée ; preuve, la transformation qui fait apparaître le résultat. Revoir la méthode →

Exercice 10★★★Facile

Écris « développée » (forme développée réduite), « factorisée » ou « aucune ».

$(2 x - 3) (x + 6)$ :
La dernière opération est le produit des deux parenthèses : forme factorisée.
$5 x^{2} - 4 x + 1$ :
Une somme sans parenthèses, déjà réduite : forme développée.
$(x + 1)^{2} - 4 x$ :
La dernière opération est une soustraction, et il reste une parenthèse : aucune des deux formes. Développée réduite, c’est $x^{2} - 2 x + 1$ .
$3 x (x - 2) + 7$ :
La dernière opération est l’addition de $7$ : ce n’est pas un produit, et il reste une parenthèse. Ce n’est aucune des deux formes.
$4 (x + 1) (x - 9)$ :
Un produit de trois facteurs, $4$ , $(x + 1)$ et $(x - 9)$ : forme factorisée.

Exercice 11★★★Moyen

On donne $F = (x + 2)^{2} - 49$ . Sa forme développée est $x^{2} + 4 x - 45$ et sa forme factorisée $(x + 9) (x - 5)$ . Choisis la forme la plus pratique.

$F$ pour $x = 0$ :
Forme développée : $0 + 0 - 45 = - 45$ .
$F$ pour $x = 5$ :
Forme factorisée : $(5 + 9) (5 - 5) = 14 \times 0 = 0$ .
$F$ pour $x = - 2$ :
Forme de départ : $x + 2 = 0$ , donc $F = 0^{2} - 49 = - 49$ .
Pour résoudre $F = 0$ , on utilise la forme (écris « développée » ou « factorisée »)
On cherche quand un produit vaut $0$ : c’est la forme factorisée qui le montre (voir le chapitre sur l’équation produit nul).

Exercice 12★★★Difficile

Démontre en choisissant la bonne transformation.

Pour tout entier $n$ , $(n + 6)^{2} - n^{2} = 12 ($ $)$
Avec $a^{2} - b^{2}$ : $(n + 6 + n) (n + 6 - n)$ $= (2 n + 6) \times 6 = 12 (n + 3)$ . C’est toujours un multiple de $12$ .
Pour tout $x$ , $(x + 1) (x + 9) - (x + 1)^{2} =$ $(x + 1)$
Facteur commun $(x + 1)$ : $(x + 1) [(x + 9) - (x + 1)]$ $= (x + 1) (x + 9 - x - 1) = 8 (x + 1)$ .
Pour tout $x$ , $(x + 6) (x - 4) - x (x + 2) =$ (un nombre)
On développe : $(x + 6) (x - 4) = x^{2} - 4 x + 6 x - 24$ $= x^{2} + 2 x - 24$ et $x (x + 2) = x^{2} + 2 x$ . La différence vaut $- 24$ pour tout $x$ : le résultat ne dépend pas de $x$ .

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