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Calcul littéral : factoriser
Factoriser une somme : facteur commun (nombre, lettre, les deux) et factorisation au maximum en rappel de 4ᵉ, facteur commun entre parenthèses ou caché, différence de deux carrés a² − b² = (a + b)(a − b), et choix entre forme développée et forme factorisée selon le calcul demandé.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Factoriser une expression, c’est…
- A. supprimer toutes les parenthèses
- B. transformer un produit en une somme
- C. regrouper les termes semblables
- D. transformer une somme en un produit
Réponse
D. transformer une somme en un produit — Factoriser est l’inverse de développer : ka + kb devient k(a + b), qui est un produit.
Dans 7x² + 3x, le plus grand facteur commun est…
- A. 3x
- B. 7x
- C. 7
- D. x
Réponse
D. x — 7x² = x × 7x et 3x = x × 3 : seule la lettre x est commune, car 7 et 3 n’ont que 1 comme diviseur commun. Donc 7x² + 3x = x(7x + 3).
La forme factorisée de 5x − 30 est…
- A. 5(x − 30)
- B. x(5 − 30)
- C. 5x(1 − 6)
- D. 5(x − 6)
Réponse
D. 5(x − 6) — 30 = 5 × 6 : 5x − 30 = 5 × x − 5 × 6 = 5(x − 6). Chaque terme est divisé par 5.
12x + 18 factorisé au maximum donne…
- A. 2(6x + 9)
- B. 6(2x + 18)
- C. 6(2x + 3)
- D. 3(4x + 6)
Réponse
C. 6(2x + 3) — Le plus grand nombre qui divise 12 et 18 est 6 : 12x + 18 = 6(2x + 3). Les écritures 3(4x + 6) et 2(6x + 9) sont justes mais pas au maximum.
Dans (x + 2)(x − 9) + (x + 2)(3x + 1), le facteur commun est…
- A. x + 2
- B. x
- C. 3x + 1
- D. x − 9
Réponse
A. x + 2 — La parenthèse (x + 2) est dans les deux produits : (x + 2)[(x − 9) + (3x + 1)] = (x + 2)(4x − 8).
x² − 49 est égal à…
- A. (x + 7)(x − 7)
- B. (x + 7)²
- C. (x + 49)(x − 49)
- D. (x − 7)²
Réponse
A. (x + 7)(x − 7) — 49 = 7² : x² − 7² = (x + 7)(x − 7), une différence de deux carrés.
Pour factoriser 49x² − 9 avec a² − b², on prend…
- A. a = 49x et b = 9
- B. a = 7x et b = 3
- C. a = 7x et b = 9
- D. a = 49 et b = 3
Réponse
B. a = 7x et b = 3 — 49x² = (7x)² et 9 = 3² : a = 7x et b = 3, donc 49x² − 9 = (7x + 3)(7x − 3).
L’expression (x − 4)(2x + 5) est…
- A. une somme
- B. un produit
- C. une différence
- D. un quotient
Réponse
B. un produit — La dernière opération effectuée est la multiplication des deux parenthèses : c’est un produit, une forme factorisée.
Pour vérifier une factorisation, on…
- A. développe le produit obtenu
- B. remplace x par 0 seulement
- C. réduit l’expression de départ
- D. factorise une seconde fois
Réponse
A. développe le produit obtenu — En développant le produit obtenu, on doit retrouver l’expression de départ. Un seul essai avec x = 0 ne prouve rien.
Complète : 9x² − 1 = (3x + 1)(…)
- A. 9x − 1
- B. 1 − 3x
- C. 3x − 1
- D. 3x + 1
Réponse
C. 3x − 1 — 9x² = (3x)² et 1 = 1² : 9x² − 1 = (3x + 1)(3x − 1).
A = x² − 7x − 8 = (x + 1)(x − 8). Pour calculer A quand x = 8, on utilise…
- A. la forme développée
- B. une valeur approchée de A
- C. la forme factorisée
- D. les deux formes à la fois
Réponse
C. la forme factorisée — Pour x = 8, le facteur x − 8 vaut 0 : A = 9 × 0 = 0, sans autre calcul.
2x(x + 5) − 3(x + 5) se factorise en…
- A. (x + 5)(x − 3)
- B. (x + 5)(2x − 3)
- C. (2x − 3)(x − 5)
- D. (x + 5)(2x + 3)
Réponse
B. (x + 5)(2x − 3) — Facteur commun (x + 5) : il reste 2x dans le premier produit et −3 dans le second, donc (x + 5)(2x − 3).
Niveau moyen ★★ — 12 questions
18x² − 12x factorisé au maximum donne…
- A. 3x(6x − 4)
- B. 6x(3x − 2)
- C. 6(3x² − 2x)
- D. 6x(3x − 12)
Réponse
B. 6x(3x − 2) — 6 est le plus grand nombre qui divise 18 et 12, et x est dans les deux termes : 6x × 3x − 6x × 2 = 6x(3x − 2). Les écritures 6(3x² − 2x) et 3x(6x − 4) sont justes mais pas au maximum.
x² − 100 factorisé donne…
- A. (x + 10)²
- B. (x − 10)²
- C. (x − 50)(x + 50)
- D. (x + 10)(x − 10)
Réponse
D. (x + 10)(x − 10) — 100 = 10² : x² − 10² = (x + 10)(x − 10). Attention : 50 × 2 = 100, mais 50² = 2 500.
(x − 2)(x + 5) − (x − 2)(x + 1) factorisé donne…
- A. 4(x − 2)
- B. (x − 2)(2x + 6)
- C. 6(x − 2)
- D. (x − 2)(x + 6)
Réponse
A. 4(x − 2) — (x − 2)[(x + 5) − (x + 1)] = (x − 2)(x + 5 − x − 1) = (x − 2) × 4 = 4(x − 2).
25x² − 36 est égal à…
- A. (5x − 6)²
- B. (5x + 6)²
- C. (25x + 36)(25x − 36)
- D. (5x + 6)(5x − 6)
Réponse
D. (5x + 6)(5x − 6) — 25x² = (5x)² et 36 = 6² : 25x² − 36 = (5x + 6)(5x − 6).
(x + 3)² − 16 factorisé donne…
- A. (x + 19)(x − 13)
- B. (x + 7)(x + 1)
- C. (x − 1)²
- D. (x + 7)(x − 1)
Réponse
D. (x + 7)(x − 1) — 16 = 4² : (x + 3 + 4)(x + 3 − 4) = (x + 7)(x − 1). On prend b = 4, et non 16.
7x + 7 + (x + 1)(x − 4) se factorise en…
- A. (x + 1)(8x − 4)
- B. (x + 1)(x − 3)
- C. (x + 1)(x + 3)
- D. 7(x + 1)(x − 4)
Réponse
C. (x + 1)(x + 3) — 7x + 7 = 7(x + 1) fait apparaître le facteur commun : (x + 1)[7 + (x − 4)] = (x + 1)(x + 3).
64² − 36² est égal à…
- A. 10 000
- B. 28
- C. 2 800
- D. 784
Réponse
C. 2 800 — (64 + 36)(64 − 36) = 100 × 28 = 2 800. 784 est le carré de 28 et 10 000 celui de 100 : il faut multiplier la somme par la différence.
Laquelle de ces expressions ne se factorise pas avec a² − b² ?
- A. 81 − x²
- B. x² + 81
- C. x² − 81
- D. 4x² − 81
Réponse
B. x² + 81 — x² + 81 est une somme de deux carrés, pas une différence. Les trois autres sont des différences de deux carrés : par exemple 4x² − 81 = (2x + 9)(2x − 9).
3x² − 12 factorisé au maximum donne…
- A. 3(x − 2)²
- B. (3x + 6)(x − 2)
- C. 3(x + 2)(x − 2)
- D. 3(x² − 4)
Réponse
C. 3(x + 2)(x − 2) — On met d’abord 3 en facteur : 3(x² − 4), puis x² − 4 = (x + 2)(x − 2). Les écritures 3(x² − 4) et (3x + 6)(x − 2) sont justes mais pas au maximum.
Pour montrer que (x − 1)(x + 6) = x² + 5x − 6 pour tout x, on…
- A. développe (x − 1)(x + 6)
- B. teste x = 1 seulement
- C. teste x = 0 seulement
- D. factorise x² + 5x − 6 par x
Réponse
A. développe (x − 1)(x + 6) — (x − 1)(x + 6) = x² + 6x − x − 6 = x² + 5x − 6. Un essai ne prouve pas qu’une égalité est vraie pour tout x.
A = (x + 5)² − 4 = x² + 10x + 21 = (x + 3)(x + 7). Pour calculer A quand x = −5, l’écriture la plus rapide est…
- A. (x + 5)² − 4
- B. x² + 10x + 21
- C. aucune, il faut développer
- D. (x + 3)(x + 7)
Réponse
A. (x + 5)² − 4 — Pour x = −5, x + 5 = 0 : A = 0² − 4 = −4, de tête.
(2x + 1)(x − 3) + (2x + 1) se factorise en…
- A. (2x + 1)(x − 4)
- B. (2x + 1)(x − 2)
- C. (2x + 1)(x − 3)
- D. (2x + 1)²(x − 3)
Réponse
B. (2x + 1)(x − 2) — (2x + 1) = (2x + 1) × 1 : (2x + 1)[(x − 3) + 1] = (2x + 1)(x − 2).
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
(x + 3)² − (x − 3)² vaut, pour tout x…
- A. 0
- B. 12x
- C. 18
- D. 2x² + 18
Réponse
B. 12x — Avec a² − b² : [(x + 3) + (x − 3)][(x + 3) − (x − 3)] = 2x × 6 = 12x.
(2n + 1)² − 1 factorisé donne…
- A. 4n(n + 1)
- B. 4n²
- C. 2n(2n + 1)
- D. (2n)² + 2
Réponse
A. 4n(n + 1) — (2n + 1 + 1)(2n + 1 − 1) = (2n + 2) × 2n = 4n(n + 1).
(x + 2)(x − 2) − (x − 2)² factorisé donne…
- A. 2(x − 2)²
- B. 2x(x − 2)
- C. 4(x − 2)
- D. 0
Réponse
C. 4(x − 2) — (x − 2)[(x + 2) − (x − 2)] = (x − 2)(x + 2 − x + 2) = 4(x − 2).
0,8² − 0,2² vaut…
- A. 0,6
- B. 0,36
- C. 6
- D. 0,06
Réponse
A. 0,6 — (0,8 + 0,2)(0,8 − 0,2) = 1 × 0,6 = 0,6. 0,36 est le carré de 0,6 : il faut multiplier la somme par la différence.
Pour x = 1,5, l’expression 4x² − 9 vaut…
- A. 4,5
- B. −9
- C. −4,5
- D. 0
Réponse
D. 0 — 4x² − 9 = (2x + 3)(2x − 3) et, pour x = 1,5, 2x − 3 = 0 : le produit vaut 0.
(x − 4)² − (2x + 1)² est égal à…
- A. (3x − 3)(−x − 3)
- B. (x − 3)(x + 5)
- C. (3x − 5)(−x − 5)
- D. (3x − 3)(−x − 5)
Réponse
D. (3x − 3)(−x − 5) — Avec a = x − 4 et b = 2x + 1 : (a + b)(a − b) = (x − 4 + 2x + 1)(x − 4 − 2x − 1) = (3x − 3)(−x − 5). Devant b, le signe − change le signe de 2x et de 1.
Pour tout entier n, (n + 5)² − n² est toujours…
- A. un multiple de 10
- B. un nombre pair
- C. un carré parfait
- D. un multiple de 5
Réponse
D. un multiple de 5 — (n + 5 + n)(n + 5 − n) = 5(2n + 5) : c’est 5 fois un entier. Comme 2n + 5 est impair, le résultat est impair : pour n = 1, on trouve 35, qui n’est ni pair, ni un multiple de 10, ni un carré.
x² − 13 se factorise en…
- A. on ne peut pas : 13 n’est pas un carré
- B. (x + √13)(x − √13)
- C. (x + 13)(x − 13)
- D. (x − √13)²
Réponse
B. (x + √13)(x − √13) — 13 = (√13)², car le carré de la racine carrée d’un nombre positif est ce nombre : x² − 13 = x² − (√13)² = (x + √13)(x − √13).
Un rectangle a pour aire (25x² − 16) cm² et pour largeur (5x − 4) cm, avec x > 1. Sa longueur est…
- A. (5x − 4) cm
- B. (25x + 4) cm
- C. (5x + 4) cm
- D. (5x + 16) cm
Réponse
C. (5x + 4) cm — 25x² − 16 = (5x)² − 4² = (5x + 4)(5x − 4). L’aire vaut largeur × longueur : la longueur est 5x + 4.
Laquelle de ces factorisations est fausse ?
- A. x² − 9x = x(x − 9)
- B. 4x² − 1 = (2x − 1)(2x + 1)
- C. x² − 4 = (x − 2)²
- D. 16 − x² = (4 − x)(4 + x)
Réponse
C. x² − 4 = (x − 2)² — (x − 2)² = x² − 4x + 4 : pour x = 0, on trouve 4 et non −4. La bonne factorisation est x² − 4 = (x + 2)(x − 2).
La forme factorisée (x + 6)(2x − 1) montre tout de suite que l’expression vaut 0 pour x = …
- A. −6
- B. 6
- C. 1
- D. −1
Réponse
A. −6 — Pour x = −6, le facteur x + 6 vaut 0, donc le produit vaut 0. Pour x = 6, on trouve 12 × 11 = 132.
B = x² − 1 + (x + 1)(x + 4). Sa forme factorisée est…
- A. (x − 1)(2x + 3)
- B. (x + 1)(2x + 3)
- C. (x + 1)(2x + 5)
- D. (x + 1)(x + 3)
Réponse
B. (x + 1)(2x + 3) — x² − 1 = (x + 1)(x − 1) fait apparaître le facteur commun (x + 1) : (x + 1)[(x − 1) + (x + 4)] = (x + 1)(2x + 3).
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