Fiche de révision : factoriser une expression et a² − b²

Factoriser une somme : facteur commun (nombre, lettre, les deux) et factorisation au maximum en rappel de 4ᵉ, facteur commun entre parenthèses ou caché, différence de deux carrés a² − b² = (a + b)(a − b), et choix entre forme développée et forme factorisée selon le calcul demandé.

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benprofparticulier.frMathématiques · 3ᵉ

Calcul littéral : factoriser

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Nombres et calculs · Calcul littéral)

La démarche pour factoriser une expression

1. Je cherche un facteur commun à tous les termes : un nombre, une lettre, une parenthèse. Je pense aux facteurs cachés : $A^{2} = A \times A$ et $A = A \times 1$ .

2. Sinon, je cherche une différence de deux carrés $a^{2} - b^{2}$ , et j’écris $(a + b) (a - b)$ .

3. Je réduis chaque facteur, je regarde s’il reste un facteur commun, puis je vérifie en développant.

Le réflexe — factoriser, c’est obtenir un produit : le facteur commun d’abord, puis

a^{2} - b^{2}

; le développement de contrôle doit redonner l’expression de départ.

Cas 1 · Factoriser par un facteur commun (rappels de 4ᵉ)

Réflexe — je cherche le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, puis la lettre présente dans tous les termes ; je vérifie en développant.

Exemple. Factoriser au maximum $21 x^{2} + 28 x$ .

$21 = 7 \times 3$ et $28 = 7 \times 4$ , et $x$ est dans les deux termes : le plus grand facteur commun est $7 x$ .

$21 x^{2} + 28 x = 7 x \times 3 x + 7 x \times 4$ $= 7 x (3 x + 4)$ .

Attention — le $1$ ne disparaît pas : $13 x - 13 = 13 (x - 1)$ .

Cas 2 · Factoriser par une parenthèse commune

Réflexe — j’écris la parenthèse commune devant, le reste de chaque terme entre crochets, puis je réduis.

Exemple. Factoriser $(2 x + 5) (x - 1) - (2 x + 5) (4 x - 3)$ .

$= (2 x + 5) [(x - 1) - (4 x - 3)]$

$= (2 x + 5) (x - 1 - 4 x + 3)$ $= (2 x + 5) (- 3 x + 2)$ .

Attention — devant le signe $-$ , le reste $(4 x - 3)$ devient $- 4 x + 3$ : tous ses signes changent.

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Cas 3 · Factoriser une différence de deux carrés

Réflexe — j’écris chaque terme comme un carré, $a^{2}$ et $b^{2}$ , puis $(a + b) (a - b)$ .

Exemple. Factoriser $25 x^{2} - 4$ et $(x - 1)^{2} - 16$ .

$25 x^{2} - 4 = (5 x)^{2} - 2^{2}$ $= (5 x + 2) (5 x - 2)$ .

$(x - 1)^{2} - 16 = (x - 1)^{2} - 4^{2}$ $= (x - 1 + 4) (x - 1 - 4)$ $= (x + 3) (x - 5)$ .

Attention — je garde $x - 1$ en bloc dans les deux parenthèses ; et une somme comme $x^{2} + 64$ ne se factorise pas avec $a^{2} - b^{2}$ .

Cas 4 · Développer ou factoriser : choisir la forme

Réflexe — valeur pour $x = 0$ : forme développée ; valeur qui annule un facteur, équation « $\dots = 0$ » : forme factorisée ; preuve : la transformation qui fait apparaître le résultat.

Exemple. $E = (x - 4)^{2} - 1 = x^{2} - 8 x + 15$ $= (x - 3) (x - 5)$ . Calculer $E$ pour $x = 0$ , puis pour $x = 5$ .

Pour $x = 0$ , avec la forme développée : $E = 0 - 0 + 15 = 15$ .

Pour $x = 5$ , avec la forme factorisée : $E = 2 \times 0 = 0$ .

Attention — les formes sont égales : si deux calculs donnent des résultats différents, il y a une erreur.

Les pièges

Oublier le $1$ : $8 x + 8 = 8 (x + 1)$ , et non $8 x$ ou $8 (x + 0)$ .
S’arrêter avant le maximum : $10 x^{2} + 6 x = x (10 x + 6)$ est juste, mais au maximum c’est $2 x (5 x + 3)$ .
Ne pas changer les signes après un « − » : $(x + 1) (x + 2) - (x + 1) (x - 4)$ $= (x + 1) (x + 2 - x + 4) = 6 (x + 1)$ .
Confondre $x^{2} - 400$ et $(x - 20)^{2}$ : la bonne factorisation est $(x + 20) (x - 20)$ .
Vouloir factoriser une somme de carrés : $x^{2} + 49$ n’est pas une différence.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour factoriser une expression : chercher un facteur commun, sinon une différence de deux carrés, puis vérifier en développant. Elle propose un exemple corrigé par cas (21x² + 28x, une parenthèse commune précédée d’un signe moins, 25x² − 4, le choix de la forme pour calculer une valeur) et les pièges classiques.

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