Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Logique, raisonnement et listes Python

Q: Quelle est la différence entre une condition nécessaire et une condition suffisante ?

Si l’implication P ⇒ Q est vraie, P est une condition suffisante pour Q (il suffit d’avoir P pour avoir Q) et Q est une condition nécessaire pour P (il faut Q pour avoir P). Quand les deux implications sont vraies, P ⇔ Q : la condition est nécessaire et suffisante.

Q: Comment écrire la négation d’une proposition avec « pour tout » ou « il existe » ?

On remplace chaque « pour tout » par « il existe » et chaque « il existe » par « pour tout », sans changer leur ordre ni les ensembles, puis on nie la propriété finale : « et » devient « ou », < devient ≥. La négation de « pour tout réel x, x² ≥ 0 » est « il existe un réel x tel que x² < 0 ».

Q: Quelle est la différence entre une variable, une inconnue et un paramètre ?

Une variable parcourt un ensemble (x dans f(x) = x²). Une inconnue est la valeur cherchée dans une équation. Un paramètre est un nombre fixé mais quelconque dont dépend une famille d’objets, comme m dans la droite y = mx + 1 : on discute alors selon ses valeurs.

Q: Quelle est la différence entre la contraposée et la réciproque ?

La contraposée de P ⇒ Q est non Q ⇒ non P : elle a toujours la même valeur de vérité que l’implication, et on peut la démontrer à sa place. La réciproque est Q ⇒ P : elle peut être fausse alors que l’implication est vraie, la démontrer ne prouve rien sur P ⇒ Q.

Q: Que faut-il savoir sur les listes Python en 1re spécialité ?

Créer une liste en extension, par ajouts successifs avec append ou en compréhension ; utiliser les indices (de 0 à len(L) − 1), ajouter et supprimer des éléments ; parcourir une liste avec une boucle for. La condition d’une liste en compréhension traduit la barre « tel que » d’un ensemble.

Condition nécessaire ou suffisante, quantificateurs et négation, statut des lettres, contraposée, absurde et disjonction des cas, produit cartésien, listes Python.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de 1re reprend la logique en six parties : condition nécessaire et condition suffisante, quantificateurs et négation d’une proposition quantifiée, statut des lettres (variable, inconnue, paramètre) et des égalités, raisonnements par contraposée, par l’absurde et par disjonction des cas, produit cartésien, listes en Python. Les démonstrations « √2 est irrationnel » et « n² pair entraîne n pair » y sont rédigées.

Implication, condition nécessaire, condition suffisante

Ce qu’il faut savoir

Implication. Pour deux propositions $P$ et $Q$ , l’implication $P \Rightarrow Q$ se lit « si $P$ , alors $Q$ ». Elle est fausse dans un seul cas : $P$ vraie et $Q$ fausse. Le plus souvent, elle contient une variable et un « pour tout » sous-entendu : « si $x > 4$ , alors $x^{2} > 16$ » signifie « pour tout réel $x$ , si $x > 4$ , alors $x^{2} > 16$ ».

Réciproque, équivalence. La réciproque de $P \Rightarrow Q$ est $Q \Rightarrow P$ ; elle peut être fausse alors que l’implication est vraie. Quand les deux sont vraies, $P$ et $Q$ sont équivalentes : $P \Leftrightarrow Q$ (« $P$ si et seulement si $Q$ »).

Condition nécessaire, condition suffisante. Quand $P \Rightarrow Q$ est vraie :

$P$ est une condition suffisante pour $Q$ : pour avoir $Q$ , il suffit d’avoir $P$ ;
$Q$ est une condition nécessaire pour $P$ : pour avoir $P$ , il faut avoir $Q$ (sans $Q$ , pas de $P$ ).

Quand $P \Leftrightarrow Q$ est vraie, $P$ est une condition nécessaire et suffisante pour $Q$ (et $Q$ pour $P$ ).

Montrer qu’une implication est fausse. La négation de $P \Rightarrow Q$ est « $P$ et non $Q$ » : on exhibe un cas où $P$ est vraie et $Q$ fausse, c’est un contre-exemple.

« Et », « ou », « non ». « $P$ et $Q$ » est vraie seulement quand $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies. « $P$ ou $Q$ » est vraie dès que l’une au moins est vraie : le « ou » mathématique est inclusif (il n’exclut pas que les deux soient vraies). « non $P$ » est vraie exactement quand $P$ est fausse. Table de vérité (V : vraie, F : fausse) :

$P$	$Q$	$P$ et $Q$	$P$ ou $Q$	$P \Rightarrow Q$
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	F	V	V
F	F	F	F	V

Exemples

Suffisante, mais pas nécessaire. Pour un réel $x$ : si $x > 4$ , alors $x > 0$ et, la fonction carré étant strictement croissante sur $[0; + \infty [$ , $x^{2} > 4^{2}$ , soit $x^{2} > 16$ . La réciproque « si $x^{2} > 16$ , alors $x > 4$ » est fausse : pour $x = - 20$ , $x^{2} = 400$ et $400 > 16$ , mais $- 20 ⩽ 4$ . La contraposée « si $x^{2} ⩽ 16$ , alors $x ⩽ 4$ » est vraie, comme l’implication. Donc « $x > 4$ » est une condition suffisante, non nécessaire, pour « $x^{2} > 16$ » ; et « $x^{2} > 16$ » est une condition nécessaire, non suffisante, pour « $x > 4$ ».

En géométrie. Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires : « $A B C D$ est un losange » est une condition suffisante pour « les diagonales de $A B C D$ sont perpendiculaires ». La réciproque est fausse : un cerf-volant dont deux côtés consécutifs mesurent $3$ cm et les deux autres $5$ cm a des diagonales perpendiculaires sans être un losange.

Nécessaire et suffisante. Pour un réel $x$ : $(x - 1) (x + 4) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ ou $x = - 4$ , car un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. « $x = 1$ ou $x = - 4$ » est une condition nécessaire et suffisante pour « $(x - 1) (x + 4) = 0$ ».

Réflexe — Pour classer une condition, j’écris les deux implications $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ et je teste chacune : une preuve si elle est vraie, un contre-exemple si elle est fausse. Dans une implication vraie, la condition de départ est suffisante, celle d’arrivée est nécessaire.

Attention — « Il faut » = nécessaire, « il suffit » = suffisante : ne les intervertis pas. Et dans une résolution, n’écris $\Leftrightarrow$ que si chaque étape se lit dans les deux sens : élever au carré n’en est pas une, car $x = 2 \Rightarrow x^{2} = 4$ , mais $x^{2} = 4$ n’entraîne pas $x = 2$ .

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Quantificateurs et négation d’une proposition quantifiée

Ce qu’il faut savoir

Les deux quantificateurs. « Pour tout $x$ de $E$ » (noté aussi $\forall x \in E$ ) : la propriété est vraie pour chaque élément de $E$ . « Il existe $x$ dans $E$ » (noté $\exists x \in E$ ) : elle est vraie pour au moins un élément. Les symboles $\forall$ et $\exists$ ne sont pas exigibles : on peut toujours écrire les mots.

Quantification implicite. « Le carré d’un réel est positif », « si $n$ est multiple de $4$ , alors $n$ est pair » : ces phrases cachent un « pour tout ». Avant de nier ou de démontrer, on l’écrit.

Vraie ou fausse ?

Un « pour tout » se démontre par un raisonnement général (des exemples ne suffisent pas) ; il est faux dès qu’on trouve un contre-exemple.
Un « il existe » est vrai dès qu’on trouve un exemple ; pour le prouver faux, il faut montrer que la propriété échoue pour tous.

Négation. On échange les quantificateurs, on garde leur ordre et les ensembles, on nie la propriété finale :

non (pour tout $x$ de $E$ , $P (x)$ ) : il existe $x$ dans $E$ tel que non $P (x)$ ;
non (il existe $x$ dans $E$ tel que $P (x)$ ) : pour tout $x$ de $E$ , non $P (x)$ .

Pour nier la propriété : non ( $A$ et $B$ ) = (non $A$ ) ou (non $B$ ) ; non ( $A$ ou $B$ ) = (non $A$ ) et (non $B$ ) ; la négation de $a < b$ est $a ⩾ b$ , celle de $a ⩽ b$ est $a > b$ .

L’ordre compte. Dans « pour tout $x$ , il existe $y$ … », $y$ peut dépendre de $x$ ; dans « il existe $y$ tel que, pour tout $x$ … », un même $y$ doit convenir pour tous les $x$ .

Exemples

Nier une phrase. La négation de « tous les élèves de la classe ont un téléphone » est « il existe un élève de la classe qui n’a pas de téléphone », et non « aucun élève n’a de téléphone ».

Un « pour tout » faux. $P$ : « pour tout réel $x$ , $x^{2} + 1 > 2 x$ ». Négation : « il existe un réel $x$ tel que $x^{2} + 1 ⩽ 2 x$ ». Or $x^{2} + 1 - 2 x = (x - 1)^{2}$ , qui s’annule en $x = 1$ : $1^{2} + 1 = 2 \times 1$ . La négation est vraie, donc $P$ est fausse ; $x = 1$ est un contre-exemple.

Deux autres contre-exemples. « Pour tout réel $x$ , $| x | = x$ » est fausse : pour $x = - 3$ , $| - 3 | = 3 \neq - 3$ . « Toute fonction croissante sur $ℝ$ ne prend que des valeurs positives » est fausse : $x \mapsto x - 10$ est croissante sur $ℝ$ (coefficient directeur $1 > 0$ ), mais elle vaut $- 10$ en $0$ .

Deux quantificateurs. « Pour tout réel $x$ , il existe un réel $y$ tel que $x + y = 5$ » est vraie : $y = 5 - x$ convient (il dépend de $x$ ). « Il existe un réel $y$ tel que, pour tout réel $x$ , $x + y = 5$ » est fausse : $x = 0$ imposerait $y = 5$ , et $x = 1$ imposerait $y = 4$ , contradiction.

Nier deux quantificateurs. Soit $I$ une partie de $ℝ$ . « Pour tout $x$ de $I$ , il existe $y$ dans $I$ tel que $y < x$ » (aucun élément de $I$ n’est le plus petit) a pour négation « il existe $x$ dans $I$ tel que, pour tout $y$ de $I$ , $y ⩾ x$ » : $I$ a un plus petit élément.

Réflexe — Je réécris la phrase avec ses quantificateurs dans l’ordre, puis je nie de gauche à droite : chaque « pour tout » devient « il existe », chaque « il existe » devient « pour tout », et seule la propriété finale est niée (inégalité retournée, « et » échangé avec « ou »).

Attention — La négation de « tous… sont… » n’est pas « aucun… n’est… ». Et la négation de $x > 0$ est $x ⩽ 0$ , pas $x < 0$ .

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Statut des lettres et des égalités

Ce qu’il faut savoir

Trois rôles pour une lettre.

Variable : elle parcourt un ensemble ; on l’utilise pour énoncer une propriété ou définir une fonction, une suite ( $x$ dans $f (x) = 3 x^{2} - 1$ , $n$ dans $u_{n} = 2 n + 5$ ).
Inconnue : le nombre que l’on cherche dans une équation ou une inéquation ( $x$ dans $5 x - 2 = 13$ ).
Paramètre : un nombre fixé mais quelconque, dont dépend toute une famille d’objets ( $a$ dans « la droite d’équation $y = a x + 1$ ») ; on raisonne « pour chaque valeur du paramètre », souvent en séparant des cas.

Deux sortes d’égalités.

Une identité est vraie pour toutes les valeurs des lettres (un « pour tout » sous-entendu) : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ . On la démontre par un calcul valable pour toutes les valeurs.
Une équation pose une question : pour quelles valeurs de l’inconnue l’égalité est-elle vraie ? Ses solutions forment un ensemble, éventuellement vide.

Pour montrer qu’une égalité n’est pas une identité, une seule valeur qui la rend fausse suffit : c’est un contre-exemple.

Exemples

Démontrer une identité. Pour tout réel $x$ , en développant : $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ $= x^{3} + x^{2} + x - x^{2} - x - 1$ $= x^{3} - 1$ .

Une égalité qui n’est pas une identité. $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$ est fausse pour $x = 1$ : $(1 + 3)^{2} = 16$ alors que $1^{2} + 9 = 10$ . C’est une équation : $x^{2} + 6 x + 9 = x^{2} + 9 \Leftrightarrow 6 x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ . Sa seule solution est $0$ .

Discuter selon un paramètre. Pour un réel $k$ , on résout l’équation d’inconnue $x$ : $k x = 6$ ( $x$ est l’inconnue, $k$ le paramètre).

Si $k \neq 0$ : on peut diviser par $k$ , une seule solution, $x = \frac{6}{k}$ .
Si $k = 0$ : l’équation devient $0 \times x = 6$ , soit $0 = 6$ , impossible : aucune solution.

Réflexe — Devant une égalité, je me demande : est-elle vraie pour tout (identité, à démontrer) ou est-ce une question (équation, à résoudre) ? Devant chaque lettre : variable, inconnue ou paramètre ? Avec un paramètre, je sépare les cas où un coefficient ou un diviseur s’annule.

Attention — Diviser par une expression qui contient le paramètre suppose qu’elle n’est pas nulle : le cas où elle vaut $0$ se traite toujours à part.

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Raisonner par contraposée, par l’absurde, par disjonction des cas

Ce qu’il faut savoir

Contraposée. La contraposée de $P \Rightarrow Q$ est (non $Q$ ) $\Rightarrow$ (non $P$ ). Une implication et sa contraposée sont toujours vraies ou fausses en même temps. Raisonner par contraposée : pour démontrer $P \Rightarrow Q$ , on démontre (non $Q$ ) $\Rightarrow$ (non $P$ ), souvent plus facile parce que « non $Q$ » donne une information concrète.

Raisonner par l’absurde. Pour démontrer une proposition $P$ , on suppose que $P$ est fausse et on en déduit une contradiction (un résultat impossible, ou contraire à une hypothèse). Donc $P$ est vraie.

Disjonction des cas. On découpe la situation en cas qui couvrent toutes les possibilités (pair ou impair, signe de $x$ , reste d’une division…) et on conclut dans chacun.

Ne pas confondre la contraposée (non $Q \Rightarrow$ non $P$ ), qui a la même valeur de vérité que l’implication, et la réciproque ( $Q \Rightarrow P$ ), qui peut être fausse quand l’implication est vraie.

Exemples

Par contraposée : pour tout entier $n$ , si $n^{2}$ est pair, alors $n$ est pair. Contraposée : « si $n$ est impair, alors $n^{2}$ est impair ». Soit $n$ impair : $n = 2 k + 1$ avec $k$ entier. Alors $n^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1$ , où $2 k^{2} + 2 k$ est un entier : $n^{2}$ est impair. La contraposée est vraie, donc l’implication l’est aussi.

Par l’absurde : $\sqrt{2}$ est irrationnel. Supposons $\sqrt{2}$ rationnel : $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls et la fraction irréductible. En élevant au carré, $p^{2} = 2 q^{2}$ : $p^{2}$ est pair, donc $p$ est pair (exemple précédent). Écrivons $p = 2 k$ : $4 k^{2} = 2 q^{2}$ , soit $q^{2} = 2 k^{2}$ , donc $q^{2}$ est pair et $q$ aussi. Alors $p$ et $q$ sont tous deux pairs : la fraction n’est pas irréductible, contradiction. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Par disjonction des cas : pour tout entier $n$ , $n^{2} + n$ est pair. On écrit $n^{2} + n = n (n + 1)$ . Si $n$ est pair, le facteur $n$ est pair, donc le produit aussi. Si $n$ est impair, $n + 1$ est pair, donc le produit aussi. Dans les deux cas, $n^{2} + n$ est pair.

Réflexe — Conclusion négative (« n’est pas », « est irrationnel », « aucun ») : je pense à l’absurde. Hypothèse peu maniable, mais conclusion qui devient concrète une fois niée : contraposée. Situations qui se traitent différemment : disjonction des cas. J’annonce la méthode dès la première ligne.

Attention — Démontrer la réciproque à la place de la contraposée est l’erreur classique : partir de « $n$ pair » pour arriver à « $n^{2}$ pair » ne prouve pas « $n^{2}$ pair $\Rightarrow$ $n$ pair ».

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Ensembles, couples et produit cartésien

Ce qu’il faut savoir

Notations à connaître. $x \in E$ : $x$ appartient à $E$ . $A \subset B$ : tout élément de $A$ est dans $B$ ( $A$ est un sous-ensemble de $B$ ). $\emptyset$ : l’ensemble vide. $A \cap B$ : éléments de $A$ et de $B$ ; $A \cup B$ : éléments de $A$ ou de $B$ (éventuellement des deux) ; $\overset{―}{A}$ ou $E ⧵ A$ : éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ . $C a r d (A)$ : nombre d’éléments d’un ensemble fini $A$ .

Couple. Un couple $(a; b)$ est formé de deux éléments dans un ordre donné : $(2; 5) \neq (5; 2)$ , alors que les ensembles ${2; 5}$ et ${5; 2}$ sont égaux.

Produit cartésien. $A \times B$ est l’ensemble des couples $(a; b)$ avec $a \in A$ et $b \in B$ . On note $A^{2} = A \times A$ : par exemple, $ℝ^{2}$ est l’ensemble des couples de réels, c’est-à-dire des coordonnées des points du plan.

Compter les couples. Si $A$ et $B$ sont finis, le tableau à double entrée (ou l’arbre) montre que, pour chaque élément de $A$ , il y a $C a r d (B)$ choix du second élément : $A \times B$ compte $C a r d (A) \times C a r d (B)$ couples. Ce principe multiplicatif sera généralisé en Terminale.

Exemples

Lister un produit cartésien. $A = {P; F}$ (pile ou face) et $B = {1; 2; 3}$ :

	$1$	$2$	$3$
$P$	$(P; 1)$	$(P; 2)$	$(P; 3)$
$F$	$(F; 1)$	$(F; 2)$	$(F; 3)$

$A \times B$ contient six couples, autant que de cases du tableau.

Compter sans tout écrire. Une tenue, c’est un haut choisi parmi $4$ et un bas choisi parmi $3$ : l’ensemble des tenues est $H \times B$ , et $C a r d (H \times B) = 4 \times 3 = 12$ .

Intersection, réunion, complémentaire. Dans $E = {1; 2; \dots; 12}$ , soit $A$ l’ensemble des nombres pairs et $B$ celui des multiples de $3$ . $A \cap B = {6; 12}$ ; $A \cup B = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 12}$ , de cardinal $8$ ; $\overset{―}{A}$ est l’ensemble des nombres impairs de $E$ . On remarque $C a r d (A \cup B) = 6 + 4 - 2 = 8$ : les éléments de $A \cap B$ sont comptés deux fois dans $6 + 4$ .

Réflexe — Pour compter des couples, je fais un arbre ou un tableau à double entrée et je multiplie : $A \times B$ compte $C a r d (A) \times C a r d (B)$ couples. Pour $\cap$ je lis « et », pour $\cup$ je lis « ou ».

Attention — Dans un couple, l’ordre compte : $(0; 4)$ et $(4; 0)$ sont deux éléments différents de $ℕ^{2}$ . Et $A \times B$ n’est pas égal à $B \times A$ en général, même s’ils ont le même cardinal.

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Listes en Python

Ce qu’il faut savoir

Une liste est une suite ordonnée de valeurs, écrite entre crochets : L = [7, 2, 9, 4]. Chaque élément est repéré par son indice, qui commence à $0$ : L[0] vaut $7$ , L[3] vaut $4$ . len(L) donne le nombre d’éléments, ici $4$ : les indices vont de $0$ à len(L) - 1.

Générer une liste.

en extension : on écrit ses éléments, [7, 2, 9, 4] ;
par ajouts successifs : on part de la liste vide [] et on ajoute à la fin avec L.append(x) ;
en compréhension : [expression for x in … if condition], l’écho de l’ensemble ${x \in E ∣ condition}$ ; la condition après if joue le rôle de la barre « tel que ».

Manipuler. L[i] = v remplace l’élément d’indice i ; L.append(v) ajoute v à la fin ; L.remove(v) supprime la première occurrence de v ; del L[i] supprime l’élément d’indice i. v in L teste l’appartenance, comme $v \in L$ .

Parcourir. Par les indices : for i in range(len(L)): puis L[i] ; directement par les éléments : for x in L:. Rappel : range(a, b) donne les entiers de a à b - 1, et range(n) ceux de $0$ à n - 1.

Listes et logique. Une condition s’écrit avec and, or, not. Une boucle sur une liste teste un « pour tout » ou un « il existe » sur un ensemble fini. Sur un ensemble infini comme $ℕ$ , un programme peut trouver un contre-exemple, jamais démontrer un « pour tout ».

Exemples

Modifier une liste. Avec L = [7, 2, 9, 4] : après L.append(5), L vaut [7, 2, 9, 4, 5] ; après L[1] = 6, elle vaut [7, 6, 9, 4, 5] ; après L.remove(9), elle vaut [7, 6, 4, 5].

Par ajouts successifs.

T = []
for k in range(4):
    T.append(3*k + 1)

k prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ , $3$ : à la fin, T vaut [1, 4, 7, 10].

En compréhension. [d for d in range(1, 31) if 30 % d == 0] renvoie [1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30] : c’est l’ensemble des diviseurs de $30$ , ${d \in ℕ ∣ 1 ⩽ d ⩽ 30 et d divise 30}$ . La borne $31$ est nécessaire pour inclure $30$ .

Tester un « pour tout ».

def tous_pairs(L):
    for x in L:
        if x % 2 != 0:
            return False
    return True

La fonction renvoie False dès qu’elle rencontre un contre-exemple, True si elle n’en trouve aucun : tous_pairs([8, 14, 3]) renvoie False à cause de $3$ .

Réflexe — Pour savoir ce que contient une liste, je fais le tableau des valeurs prises par la variable de boucle et je garde, dans l’ordre, celles qui vérifient la condition. Pour un indice, je compte à partir de $0$ .

Attention — L[1] est le deuxième élément ; L[len(L)] provoque une erreur (indice hors de la liste) ; range(1, 31) s’arrête à $30$ ; = affecte une valeur, == teste une égalité.

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Pour aller plus loin

Ensembles de nombres et intervalles. Les notations $ℕ$ , $ℤ$ , $𝔻$ , $ℚ$ , $ℝ$ , les intervalles, leurs intersections et réunions sont vus en 2nde : chapitre Ensembles de nombres et intervalles.

Variables, boucles et fonctions en Python. Affectation, instruction conditionnelle, boucles for et while, fonctions def : rappels dans le chapitre de 2nde Algorithmique et programmation.

Listes de termes d’une suite. Une liste Python sert aussi à stocker les premiers termes d’une suite : chapitre Suites numériques.

Un raisonnement de plus en Terminale. Pour démontrer une propriété pour tout entier $n$ , la Terminale ajoute le raisonnement par récurrence : chapitre Raisonnement par récurrence.

À retenir

$P \Rightarrow Q$ vraie : $P$ est une condition suffisante pour $Q$ , $Q$ une condition nécessaire pour $P$ ; $P \Leftrightarrow Q$ : condition nécessaire et suffisante.
Nier une proposition quantifiée : « pour tout » devient « il existe » et inversement, dans le même ordre, et on nie la propriété finale (« et » ↔ « ou », $<$ ↔ $⩾$ ).
Un contre-exemple suffit pour réfuter un « pour tout », un exemple suffit pour prouver un « il existe » ; des exemples ne démontrent jamais un « pour tout ».
Variable, inconnue, paramètre ; identité (vraie pour toutes les valeurs) ou équation (question posée sur l’inconnue).
Contraposée : non $Q \Rightarrow$ non $P$ , même valeur de vérité que $P \Rightarrow Q$ ; absurde : supposer le contraire et aboutir à une contradiction.
$A \times B$ compte $C a r d (A) \times C a r d (B)$ couples (tableau à double entrée) ; en Python, les indices d’une liste vont de $0$ à len(L) - 1.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une condition nécessaire et une condition suffisante ?

Si l’implication P ⇒ Q est vraie, P est une condition suffisante pour Q (il suffit d’avoir P pour avoir Q) et Q est une condition nécessaire pour P (il faut Q pour avoir P). Quand les deux implications sont vraies, P ⇔ Q : la condition est nécessaire et suffisante.

Comment écrire la négation d’une proposition avec « pour tout » ou « il existe » ?

On remplace chaque « pour tout » par « il existe » et chaque « il existe » par « pour tout », sans changer leur ordre ni les ensembles, puis on nie la propriété finale : « et » devient « ou », < devient ≥. La négation de « pour tout réel x, x² ≥ 0 » est « il existe un réel x tel que x² < 0 ».

Quelle est la différence entre une variable, une inconnue et un paramètre ?

Une variable parcourt un ensemble (x dans f(x) = x²). Une inconnue est la valeur cherchée dans une équation. Un paramètre est un nombre fixé mais quelconque dont dépend une famille d’objets, comme m dans la droite y = mx + 1 : on discute alors selon ses valeurs.

Quelle est la différence entre la contraposée et la réciproque ?

La contraposée de P ⇒ Q est non Q ⇒ non P : elle a toujours la même valeur de vérité que l’implication, et on peut la démontrer à sa place. La réciproque est Q ⇒ P : elle peut être fausse alors que l’implication est vraie, la démontrer ne prouve rien sur P ⇒ Q.

Que faut-il savoir sur les listes Python en 1re spécialité ?

Créer une liste en extension, par ajouts successifs avec append ou en compréhension ; utiliser les indices (de 0 à len(L) − 1), ajouter et supprimer des éléments ; parcourir une liste avec une boucle for. La condition d’une liste en compréhension traduit la barre « tel que » d’un ensemble.

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