Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Logique, raisonnement et vocabulaire ensembliste
Quantificateurs, connecteurs logiques, ensembles et méthodes de raisonnement — outils transversaux de la Spé Maths 1re
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Logique, raisonnement et vocabulaire ensembliste » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Propositions et valeurs de vérité, Connecteurs logiques, Implication et équivalence, Quantificateurs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.
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Propositions et valeurs de vérité
En mathématiques, on travaille avec des propositions, c'est-à-dire des énoncés qui peuvent être déclarés vrais ou faux.
Définition. Une proposition (ou assertion) est un énoncé mathématique auquel on peut associer une valeur de vérité : Vrai (V) ou Faux (F).
Exemples de propositions.
- «$2 + 2 = 4$» — proposition vraie.
- «$7$ est un nombre pair» — proposition fausse.
- «$\sqrt{2}$ est irrationnel» — proposition vraie.
- «$3 \gt 5$» — proposition fausse.
Attention ! Une question, un ordre ou une exclamation ne sont pas des propositions. «Est-ce que $x \gt 0$ ?» n'est pas une proposition car $x$ est une variable libre : la valeur de vérité dépend de $x$. On parle alors de prédicat $P(x)$, qui devient une proposition dès qu'on fixe la valeur de $x$ ou qu'on le fait précéder d'un quantificateur.
On note souvent $P$, $Q$, $R$… les propositions, et on utilise les symboles $\top$ (vrai) et $\bot$ (faux), ou simplement V et F.
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Connecteurs logiques
On combine des propositions à l'aide de connecteurs logiques pour former de nouvelles propositions.
Définition. Les principaux connecteurs sont :
- Négation $\neg P$ (ou «non $P$») : vraie si $P$ est fausse, fausse si $P$ est vraie.
- Conjonction $P \land Q$ (ou «$P$ et $Q$») : vraie si $P$ et $Q$ sont toutes deux vraies.
- Disjonction $P \lor Q$ (ou «$P$ ou $Q$») : vraie si au moins une des deux est vraie.
On résume les valeurs de vérité dans une table de vérité :
| $P$ | $Q$ | $\neg P$ | $P \land Q$ | $P \lor Q$ |
|---|---|---|---|---|
| V | V | F | V | V |
| V | F | F | F | V |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | F | F |
Astuce. En français courant, «ou» est inclusif : «$P$ ou $Q$» est vrai même si les deux sont vrais. C'est toujours le cas en mathématiques (sauf mention explicite du «ou exclusif»).
Exemple. Soit $P$ : «$n$ est pair» et $Q$ : «$n$ est multiple de 3».
Pour $n = 6$ : $P$ est vraie, $Q$ est vraie, donc $P \land Q$ est vraie.
Pour $n = 4$ : $P$ est vraie, $Q$ est fausse, donc $P \land Q$ est fausse mais $P \lor Q$ est vraie.
$\neg P$ : «$n$ est impair».
Pour $n = 6$ : $P$ est vraie, $Q$ est vraie, donc $P \land Q$ est vraie.
Pour $n = 4$ : $P$ est vraie, $Q$ est fausse, donc $P \land Q$ est fausse mais $P \lor Q$ est vraie.
$\neg P$ : «$n$ est impair».
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Implication et équivalence
Les connecteurs les plus importants en démonstration sont l'implication et l'équivalence.
Définition — Implication. La proposition $P \Rightarrow Q$ (lire «$P$ implique $Q$», ou «si $P$ alors $Q$») est fausse uniquement quand $P$ est vraie et $Q$ est fausse. Dans tous les autres cas, elle est vraie.
| $P$ | $Q$ | $P \Rightarrow Q$ | $Q \Rightarrow P$ (réciproque) | $\neg Q \Rightarrow \neg P$ (contraposée) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | F |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | V | V |
Propriété fondamentale. $P \Rightarrow Q$ est logiquement équivalente à sa contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$. En revanche, elle n'est pas équivalente à sa réciproque $Q \Rightarrow P$.
Définition — Équivalence. $P \Leftrightarrow Q$ (lire «$P$ est équivalent à $Q$») est vraie quand $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité. On a $$P \Leftrightarrow Q \quad \text{si et seulement si} \quad (P \Rightarrow Q) \text{ et } (Q \Rightarrow P).$$
Exemple. Soit $P$ : «$n^2$ est pair» et $Q$ : «$n$ est pair».
On peut démontrer que $P \Leftrightarrow Q$, c'est-à-dire que $n^2$ est pair si et seulement si $n$ est pair.
On peut démontrer que $P \Leftrightarrow Q$, c'est-à-dire que $n^2$ est pair si et seulement si $n$ est pair.
Attention ! L'implication $P \Rightarrow Q$ vraie ne signifie pas que $Q \Rightarrow P$ est vraie. La réciproque doit être démontrée séparément.
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Quantificateurs
Les quantificateurs permettent d'exprimer qu'une propriété est vraie pour tous les éléments d'un ensemble, ou qu'il existe au moins un élément la vérifiant.
Définition.
- Quantificateur universel $\forall$ (lire «pour tout») : $\forall x \in E,\, P(x)$ signifie que la propriété $P(x)$ est vraie pour chaque élément $x$ de $E$.
- Quantificateur existentiel $\exists$ (lire «il existe») : $\exists x \in E,\, P(x)$ signifie qu'il existe au moins un élément $x$ de $E$ pour lequel $P(x)$ est vraie.
- Existence et unicité $\exists!$ : $\exists! x \in E,\, P(x)$ signifie qu'il existe exactement un tel $x$.
Exemples.
- $\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 \geq 0$ — vrai (le carré est toujours positif ou nul).
- $\exists x \in \mathbb{R},\, x^2 = 2$ — vrai ($x = \sqrt{2}$ convient).
- $\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 = 2$ — faux (il suffit de prendre $x=0$).
Négations des quantificateurs.
- $\neg(\forall x \in E,\, P(x)) \equiv \exists x \in E,\, \neg P(x)$
- $\neg(\exists x \in E,\, P(x)) \equiv \forall x \in E,\, \neg P(x)$
Astuce mnémotechnique. Pour nier un «pour tout», chercher un contre-exemple suffit. Pour nier un «il existe», montrer que tous les éléments ne vérifient pas la propriété.
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Vocabulaire ensembliste
La théorie des ensembles fournit le langage commun à toutes les mathématiques.
Définition. Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments. On note $x \in A$ si $x$ appartient à $A$, et $x \notin A$ sinon.
Notations courantes :
| Symbole | Signification | Exemple |
|---|---|---|
| $\emptyset$ | Ensemble vide | $\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \lt 0\} = \emptyset$ |
| $A \subset B$ | $A$ inclus dans $B$ (sous-ensemble) | $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ |
| $A \cup B$ | Réunion (union) de $A$ et $B$ | $[0;1] \cup [2;3]$ |
| $A \cap B$ | Intersection de $A$ et $B$ | $[0;2] \cap [1;3] = [1;2]$ |
| $\overline{A}$ ou $\complement_E A$ | Complémentaire de $A$ dans $E$ | $\complement_{\mathbb{R}}[0;+\infty[ = ]-\infty;0[$ |
| $A \setminus B$ | Différence : éléments de $A$ non dans $B$ | $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ |
Propriétés. Pour tous ensembles $A$, $B$, $C$ :
- $A \cup B = B \cup A$ et $A \cap B = B \cap A$ (commutativité)
- $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ (associativité)
- $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ (distributivité)
- Lois de De Morgan : $\complement(A \cup B) = \complement A \cap \complement B$ et $\complement(A \cap B) = \complement A \cup \complement B$
Exemple. $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$.
$A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$, $A \cap B = \{3,4\}$, $A \setminus B = \{1,2\}$.
$A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$, $A \cap B = \{3,4\}$, $A \setminus B = \{1,2\}$.
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Méthodes de raisonnement
En mathématiques, on distingue plusieurs grandes méthodes pour démontrer qu'une proposition est vraie.
Raisonnement direct. Pour démontrer $P \Rightarrow Q$, on suppose $P$ vraie et on en déduit $Q$ par une chaîne d'implications. C'est la méthode la plus naturelle.
Exemple (raisonnement direct). Montrons que si $n$ est pair alors $n^2$ est pair.
Preuve. Supposons $n$ pair, i.e. $n = 2k$ pour un entier $k$. Alors $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$, qui est pair. $\square$
Preuve. Supposons $n$ pair, i.e. $n = 2k$ pour un entier $k$. Alors $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$, qui est pair. $\square$
Raisonnement par contraposée. Pour démontrer $P \Rightarrow Q$, on démontre à la place $\neg Q \Rightarrow \neg P$, qui est logiquement équivalente.
Exemple (contraposée). Montrons que si $n^2$ est impair alors $n$ est impair.
Preuve par contraposée. Supposons $n$ pair (négation de «$n$ impair») : $n = 2k$, donc $n^2 = 4k^2$ pair — contradiction avec «$n^2$ impair». $\square$
Preuve par contraposée. Supposons $n$ pair (négation de «$n$ impair») : $n = 2k$, donc $n^2 = 4k^2$ pair — contradiction avec «$n^2$ impair». $\square$
Raisonnement par l'absurde. Pour démontrer $P$, on suppose $\neg P$ et on en déduit une contradiction (une proposition fausse). La contradiction montre que $\neg P$ est impossible, donc $P$ est vraie.
Exemple (absurde). Montrons que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Preuve. Supposons par l'absurde que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$, fraction irréductible. Alors $2 = \frac{p^2}{q^2}$, donc $p^2 = 2q^2$. Ainsi $p^2$ est pair, donc $p$ est pair, donc $p = 2m$. Alors $4m^2 = 2q^2$, donc $q^2 = 2m^2$, donc $q$ est pair. Or $p$ et $q$ seraient tous deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse de fraction irréductible. Contradiction. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel. $\square$
Preuve. Supposons par l'absurde que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$, fraction irréductible. Alors $2 = \frac{p^2}{q^2}$, donc $p^2 = 2q^2$. Ainsi $p^2$ est pair, donc $p$ est pair, donc $p = 2m$. Alors $4m^2 = 2q^2$, donc $q^2 = 2m^2$, donc $q$ est pair. Or $p$ et $q$ seraient tous deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse de fraction irréductible. Contradiction. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel. $\square$
Disjonction de cas. Pour démontrer une propriété, on partitionne l'ensemble en plusieurs cas (par exemple $n$ pair / $n$ impair, ou $x \gt 0$ / $x = 0$ / $x \lt 0$) et on traite chaque cas séparément.
Exemple. Montrons que pour tout entier $n$, $n(n+1)$ est pair.
— Si $n$ est pair : $n = 2k$, donc $n(n+1) = 2k(n+1)$ est pair.
— Si $n$ est impair : $n+1$ est pair, $n+1 = 2m$, donc $n(n+1) = n \cdot 2m$ est pair.
Dans les deux cas, $n(n+1)$ est pair. $\square$
— Si $n$ est pair : $n = 2k$, donc $n(n+1) = 2k(n+1)$ est pair.
— Si $n$ est impair : $n+1$ est pair, $n+1 = 2m$, donc $n(n+1) = n \cdot 2m$ est pair.
Dans les deux cas, $n(n+1)$ est pair. $\square$
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Contre-exemple et négation
Pour montrer qu'une proposition universelle est fausse, il suffit d'exhiber un contre-exemple.
Contre-exemple. Un contre-exemple à la proposition $\forall x \in E,\, P(x)$ est un élément $x_0 \in E$ tel que $P(x_0)$ est fausse. Un seul contre-exemple suffit à réfuter la proposition.
Exemples de réfutation par contre-exemple.
- «$\forall n \in \mathbb{N},\, n^2 + n + 41$ est premier» — faux : pour $n = 40$, $n^2 + n + 41 = 1681 = 41^2$, qui n'est pas premier.
- «$\forall x \in \mathbb{R},\, \sqrt{x^2} = x$» — faux : pour $x = -1$, $\sqrt{(-1)^2} = 1 \neq -1$. (On a en réalité $\sqrt{x^2} = |x|$.)
Règles de négation. Pour rédiger correctement les négations :
- $\neg(P \land Q) \equiv (\neg P) \lor (\neg Q)$
- $\neg(P \lor Q) \equiv (\neg P) \land (\neg Q)$
- $\neg(P \Rightarrow Q) \equiv P \land (\neg Q)$
- $\neg(\forall x,\, P(x)) \equiv \exists x,\, \neg P(x)$
- $\neg(\exists x,\, P(x)) \equiv \forall x,\, \neg P(x)$
Astuce de rédaction. Pour nier une phrase commençant par «pour tout», cherchez un exemple particulier qui ne satisfait pas la propriété. Pour nier «il existe», vous devez montrer que tous les éléments échouent.
Attention ! On ne peut pas réfuter une proposition existentielle par un contre-exemple : pour réfuter «$\exists x,\, P(x)$», il faut montrer que tous les $x$ vérifient $\neg P(x)$.
À retenir
- Une proposition est un énoncé mathématique ayant une valeur de vérité (V ou F).
- Connecteurs : $\neg$ (non), $\land$ (et), $\lor$ (ou).
- $P \Rightarrow Q$ est fausse seulement si $P$ vraie et $Q$ fausse ; elle équivaut à sa contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$.
- Quantificateurs : $\forall$ (pour tout) et $\exists$ (il existe) — les nier échange les quantificateurs et nie le prédicat.
- Méthodes de démonstration : directe, contraposée, par l'absurde, disjonction de cas.
- Un seul contre-exemple suffit à réfuter une propriété universelle.
- Ensembles : $A \subset B$, $A \cup B$, $A \cap B$, $\complement A$ ; lois de De Morgan.
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