Formulaire : fonctions de référence

Fonctions carré, inverse et valeur absolue : définitions, courbes, signe, variations démontrées, position des courbes y = x et y = x² sur [0 ; +∞[, résolution de f(x) = k et f(x) < k.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Fonctions de référence : carré, inverse et valeur absolue

Fiche tableaux : ce qu’il faut connaître

(Mathématiques 2nde)

Les trois fonctions de référence

	carré $x^{2}$	inverse $\frac{1}{x}$	valeur absolue $\| x \|$
Définie sur	$ℝ$	$ℝ^{*}$	$ℝ$
Courbe	parabole de sommet $O$	hyperbole (deux branches)	deux demi-droites en V
Symétrie	axe des ordonnées	origine $O$	axe des ordonnées
Signe	$⩾ 0$ , nul en $0$	signe de $x$ , jamais nul	$⩾ 0$ , nul en $0$
Sur $] - \infty; 0]$	décroissante	décroissante (sur $] - \infty; 0 [$ )	décroissante
Sur $[0; + \infty [$	croissante	décroissante (sur $] 0; + \infty [$ )	croissante
Minimum	$0$ en $0$	aucun	$0$ en $0$

Exemple : $| - 0, 03 | = 0, 03$ et $\frac{1}{- 0, 03} < 0$ .

Équations f(x) = k

	$k > 0$	$k = 0$	$k < 0$
$x^{2} = k$	$- \sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$	$0$	aucune
$\| x \| = k$	$- k$ et $k$	$0$	aucune
$\frac{1}{x} = k$	$\frac{1}{k}$	aucune	$\frac{1}{k}$

Exemple : $| x | = 0, 9$ a deux solutions, $- 0, 9$ et $0, 9$ .

Inéquations f(x) < k et f(x) > k (k > 0)

Inéquation	Solutions
$x^{2} < k$	$] - \sqrt{k}; \sqrt{k} [$
$x^{2} > k$	$] - \infty; - \sqrt{k} [\cup] \sqrt{k}; + \infty [$
$\| x \| < k$	$] - k; k [$
$\| x \| > k$	$] - \infty; - k [\cup] k; + \infty [$
$\frac{1}{x} < k$	$] - \infty; 0 [\cup] \frac{1}{k}; + \infty [$
$\frac{1}{x} > k$	$] 0; \frac{1}{k} [$

Avec $⩽$ ou $⩾$ , les bornes $\pm \sqrt{k}$ , $\pm k$ ou $\frac{1}{k}$ sont incluses. Si $k ⩽ 0$ : $x^{2} < k$ et $| x | < k$ n’ont aucune solution. Exemple : $| x | > 0, 9$ donne $] - \infty; - 0, 9 [\cup] 0, 9; + \infty [$ .

Ranger x, x² et 1/x (x > 0)

$x$	Rangement	Courbes
$0 < x < 1$	$x^{2} < x < \frac{1}{x}$	parabole sous la droite $y = x$
$x = 1$	$x^{2} = x = \frac{1}{x} = 1$	point commun $(1; 1)$
$x > 1$	$\frac{1}{x} < x < x^{2}$	parabole au-dessus de la droite

Démonstration : $x^{2} - x = x (x - 1)$ et $x - \frac{1}{x} = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x}$ ont le signe de $x - 1$ quand $x > 0$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision en tableaux des fonctions carré, inverse et valeur absolue : ensemble de définition, courbe, symétrie, signe, variations et minimum de chaque fonction, solutions de x² = k, |x| = k et 1/x = k selon le signe de k, inéquations x² < k, |x| > k, 1/x < k, et rangement de x, x² et 1/x. Elle se télécharge en PDF pour réviser avant un devoir.

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