Quel est l'ensemble de définition de la fonction racine carrée ?

La fonction racine carrée est définie sur [0 ; +∞[ : on ne peut calculer √x que si x est positif ou nul, car aucun réel n'a un carré négatif. Sur cet intervalle, √x est toujours positif ou nul et (√x)² = x.

La fonction cube est-elle croissante ?

Oui : la fonction cube est strictement croissante sur ℝ tout entier, contrairement à la fonction carré. Elle conserve donc l'ordre : si a < b, alors a³ < b³, même lorsque a et b sont négatifs.

Comment comparer x, x², x³ et √x ?

Tout dépend de la position de x par rapport à 1. Pour x compris entre 0 et 1, on a x³ ≤ x² ≤ x ≤ √x ; pour x ≥ 1, l'ordre s'inverse : √x ≤ x ≤ x² ≤ x³. Les égalités n'ont lieu que pour x = 0 et x = 1.

Combien de solutions a l'équation x³ = k ?

Une seule, quel que soit le réel k, car la fonction cube est strictement croissante sur ℝ. Cette solution a le même signe que k : par exemple x³ = −8 a pour unique solution −2 ; il n'y a pas de « ± » comme pour x² = k.

Pourquoi la courbe de la fonction cube est-elle symétrique par rapport à l'origine ?

Parce que (−x)³ = −x³ pour tout réel x : la fonction cube est impaire. Si le point M(x ; x³) est sur la courbe, son symétrique M′(−x ; −x³) par rapport à l'origine y est aussi.

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Fonctions racine carrée et cube

Q: Comment comparer x, x², x³ et √x ?

Tout dépend de la position de x par rapport à 1. Pour x compris entre 0 et 1, on a x³ ≤ x² ≤ x ≤ √x ; pour x ≥ 1, l'ordre s'inverse : √x ≤ x ≤ x² ≤ x³. Les égalités n'ont lieu que pour x = 0 et x = 1.

Q: Combien de solutions a l'équation x³ = k ?

Une seule, quel que soit le réel k, car la fonction cube est strictement croissante sur ℝ. Cette solution a le même signe que k : par exemple x³ = −8 a pour unique solution −2 ; il n'y a pas de « ± » comme pour x² = k.

Q: Pourquoi la courbe de la fonction cube est-elle symétrique par rapport à l'origine ?

Parce que (−x)³ = −x³ pour tout réel x : la fonction cube est impaire. Si le point M(x ; x³) est sur la courbe, son symétrique M′(−x ; −x³) par rapport à l'origine y est aussi.

Fonction racine carrée (ensemble de définition, courbe, variations), fonction cube (courbe, variations, imparité), comparaison des fonctions de référence sur [0 ; 1] et [1 ; +∞[

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en seconde sur « Fonctions racine carrée et cube » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, La fonction racine carrée, La fonction cube, Comparer x, x², x³ et √x. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.

L'essentiel

Fonction racine carrée. Pour tout réel

x \geq 0

\sqrt{x}

est l'unique nombre positif ou nul dont le carré vaut

x

. La fonction racine carrée est définie sur

[0; + \infty [

par

x \mapsto \sqrt{x}

Fonction cube. Elle est définie sur

ℝ

par

x \mapsto x^{3} = x \times x \times x

	Racine carrée	Cube
Ensemble de définition	$[0; + \infty [$	$ℝ$
Signe	toujours positive ou nulle	même signe que $x$
Variations	strictement croissante	strictement croissante
Symétrie de la courbe	aucune	centre de symétrie : l'origine $O$
Points repères	$(0; 0)$ , $(1; 1)$ , $(4; 2)$ , $(9; 3)$	$(- 2; - 8)$ , $(- 1; - 1)$ , $(0; 0)$ , $(1; 1)$ , $(2; 8)$

Les deux fonctions sont strictement croissantes : elles conservent l'ordre. C'est l'outil central pour comparer des nombres, résoudre des inéquations et encadrer.

La fonction racine carrée

Propriétés. Pour tout

x \geq 0

\sqrt{x} \geq 0

(\sqrt{x})^{2} = x

. Pour

x < 0

\sqrt{x}

n'existe pas.

Exemples.

\sqrt{5, 29} = 2, 3

car

2, 3 \geq 0

2, 3^{2} = 5, 29

;

\sqrt{0, 0144} = 0, 12

;

\sqrt{- 5, 29}

n'existe pas.

Variations. La fonction racine carrée est strictement croissante sur

[0; + \infty [

: si

0 \leq a < b

, alors

\sqrt{a} < \sqrt{b}

Démonstration. Soit

0 \leq a < b

. Supposons par l'absurde que

\sqrt{a} \geq \sqrt{b}

. Ces deux nombres sont positifs et la fonction carré est croissante sur

[0; + \infty [

, donc

(\sqrt{a})^{2} \geq (\sqrt{b})^{2}

, c'est-à-dire

a \geq b

: c'est contraire à l'hypothèse. Donc

\sqrt{a} < \sqrt{b}

$x$	0	1	4	9	16
$\sqrt{x}$	0	1	2	3	4

Courbe. Elle part de l'origine et monte de plus en plus lentement : il faut multiplier $x$ par 4 pour doubler $\sqrt{x}$ . C'est une demi-parabole « couchée », symétrique de la demi-parabole $y = x^{2}$ ( $x \geq 0$ ) par rapport à la droite d'équation $y = x$ .

La fonction cube

$x$	−2	−1	0	1	2
$x^{3}$	−8	−1	0	1	8

Imparité. Pour tout réel

x

(- x)^{3} = - x^{3}

. Une fonction

f

définie sur

ℝ

(ou sur un ensemble symétrique par rapport à 0) telle que

f (- x) = - f (x)

est dite impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Exemple.

2, 1^{3} = 9, 261

, donc

(- 2, 1)^{3} = - 9, 261

: les points

(2, 1; 9, 261)

(- 2, 1; - 9, 261)

de la courbe sont symétriques par rapport à

O

Variations. La fonction cube est strictement croissante sur

ℝ

: si

a < b

, alors

a^{3} < b^{3}

Démonstration. Si

0 \leq a < b

: en multipliant

a < b

par

a^{2} \geq 0

, on obtient

a^{3} \leq a^{2} b

; comme

a^{2} < b^{2}

b > 0

a^{2} b < b^{3}

. Donc

a^{3} < b^{3}

. Si

a < b \leq 0

0 \leq - b < - a

, donc

(- b)^{3} < (- a)^{3}

, soit

- b^{3} < - a^{3}

, d'où

a^{3} < b^{3}

. Si

a < 0 < b

a^{3} < 0 < b^{3}

Équation $x^{3} = k$ . Pour tout réel

k

, elle admet une unique solution, de même signe que

k

, appelée racine cubique de

k

et notée

\sqrt[3]{k}

Exemples.

x^{3} = - 9, 261

a pour unique solution

- 2, 1

x^{3} = 5

a une unique solution, comprise entre 1 et 2 car

1^{3} < 5 < 2^{3}

; la calculatrice donne

\sqrt[3]{5} \approx 1, 71

Courbe. Elle traverse l'origine en s'y aplatissant, reste sous l'axe des abscisses pour $x < 0$ et au-dessus pour $x > 0$ ; elle n'a ni minimum ni maximum sur $ℝ$ .

Comparer x, x², x³ et √x

Propriété. Pour

x \in [0; 1]

x^{3} \leq x^{2} \leq x \leq \sqrt{x}

.
Pour

x \in [1; + \infty [

\sqrt{x} \leq x \leq x^{2} \leq x^{3}

.
Les inégalités sont strictes pour

x \in] 0; 1 [

et pour

x > 1

; il y a égalité pour

x = 0

x = 1

Démonstration. Pour

x \geq 0

, on factorise les différences :

x^{2} - x = x (x - 1)

;

x^{3} - x^{2} = x^{2} (x - 1)

;

x - \sqrt{x} = \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)

.
Les facteurs

x

x^{2}

\sqrt{x}

sont positifs. Les facteurs

x - 1

\sqrt{x} - 1

ont le même signe, car

\sqrt{x} \geq 1 ⟺ x \geq 1

(croissance de la racine carrée et

\sqrt{1} = 1

). Les trois différences sont donc négatives sur

[0; 1]

et positives sur

[1; + \infty [

Exemples. Pour

0, 35 \in] 0; 1 [

0, 042875 < 0, 1225 < 0, 35 < \sqrt{0, 35} \approx 0, 592

.
Pour

1, 8 > 1

\sqrt{1, 8} \approx 1, 342 < 1, 8 < 3, 24 < 5, 832

Lecture graphique. Sur $] 0; 1 [$ , de haut en bas : la courbe de $\sqrt{x}$ , la droite $y = x$ , la parabole $y = x^{2}$ , la courbe de $x^{3}$ . L'ordre s'inverse après 1. Toutes passent par $(0; 0)$ et $(1; 1)$ .

Méthodes

Méthode 1 — Résoudre une équation ou une inéquation avec $\sqrt{x}$

Si $k < 0$ : $\sqrt{x} = k$ et $\sqrt{x} \leq k$ n'ont aucune solution ; $\sqrt{x} \geq k$ est vraie pour tout $x \geq 0$ .
Si $k \geq 0$ : les deux membres sont positifs, on élève au carré : $\sqrt{x} = k ⟺ x = k^{2}$ ; $\sqrt{x} \leq k ⟺ 0 \leq x \leq k^{2}$ ; $\sqrt{x} \geq k ⟺ x \geq k^{2}$ .
Écrire l'ensemble des solutions en tenant compte de la condition $x \geq 0$ .

Exemple rédigé.

\sqrt{x} = 0, 15

: comme

0, 15 \geq 0

x = 0, 15^{2} = 0, 0225

, donc

S = {0, 0225}

\sqrt{x} < 14

: comme

14 \geq 0

14^{2} = 196

S = [0; 196 [

(et non

] - \infty; 196 [

Méthode 2 — Résoudre une équation ou une inéquation avec $x^{3}$

Trouver (ou approcher) le nombre $α$ tel que $α^{3} = k$ : c'est l'unique solution de $x^{3} = k$ .
La fonction cube étant strictement croissante sur $ℝ$ : $x^{3} < k ⟺ x < α$ et $x^{3} \geq k ⟺ x \geq α$ .
Aucune condition sur $x$ ni sur le signe de $k$ .

Exemple rédigé.

x^{3} < 0, 001

0, 1^{3} = 0, 001

et la fonction cube est strictement croissante, donc

x^{3} < 0, 1^{3} ⟺ x < 0, 1

S =] - \infty; 0, 1 [

x^{3} \geq - 9, 261 ⟺ x^{3} \geq (- 2, 1)^{3} ⟺ x \geq - 2, 1

S = [- 2, 1; + \infty [

Méthode 3 — Comparer ou ranger des nombres

Une fonction, deux nombres : comparer les nombres de départ, puis appliquer la croissance.
Un nombre $a \geq 0$ , plusieurs fonctions : situer $a$ par rapport à 1 et appliquer la propriété de comparaison.
Conclure par une phrase.

Exemple rédigé.

7, 03 < 7, 3

et la racine carrée est croissante sur

[0; + \infty [

, donc

\sqrt{7, 03} < \sqrt{7, 3}

- 4, 2 < - 4, 02

et la fonction cube est croissante sur

ℝ

, donc

(- 4, 2)^{3} < (- 4, 02)^{3}

0, 72 \in] 0; 1 [

, donc

0, 72^{3} < 0, 72^{2} < 0, 72 < \sqrt{0, 72}

Méthode 4 — Encadrer l'image d'un intervalle

Vérifier que l'intervalle est inclus dans l'ensemble de définition.
Calculer les images des deux bornes : la fonction étant croissante, l'ordre est conservé.

Exemple rédigé. Si

2, 89 \leq x \leq 4, 84

, alors

\sqrt{2, 89} \leq \sqrt{x} \leq \sqrt{4, 84}

, soit

1, 7 \leq \sqrt{x} \leq 2, 2

.
Si

- 0, 7 \leq x \leq 2, 4

, alors

- 0, 343 \leq x^{3} \leq 13, 824

(ici, aucune précaution : le cube est croissant sur tout

ℝ

Pièges et erreurs classiques

Racine d'un négatif.

\sqrt{x}

n'existe que pour

x \geq 0

et vaut toujours au moins 0 : l'équation

\sqrt{x} = - 3

n'a aucune solution (et non

x = 9

Pas de « ± » avec le cube.

x^{3} = k

a une seule solution. Écrire «

x = 2

x = - 2

» pour

x^{3} = 8

est faux :

(- 2)^{3} = - 8

Le cube d'un négatif est négatif.

(- 4)^{3} = - 64

, à ne pas confondre avec

3 \times (- 4) = - 12

ni avec

4^{3} = 64

« La racine rend plus petit » est faux sur $] 0; 1 [$ . Entre 0 et 1,

\sqrt{x} > x

x^{3} < x^{2}

: l'ordre s'inverse de part et d'autre de 1.

Oublier la borne 0. L'ensemble des solutions de

\sqrt{x} \leq k

(

k \geq 0

) est

[0; k^{2}]

, jamais

] - \infty; k^{2}]

Le cube n'est pas le carré. Sa courbe n'est pas symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, elle ne change pas de sens de variation en 0 et n'a pas de minimum sur

ℝ

En bref

Racine carrée : définie sur $[0; + \infty [$ , positive ou nulle, strictement croissante ; $\sqrt{x} = k$ n'a de solution que si $k \geq 0$ , et alors $x = k^{2}$ .
Cube : définie sur $ℝ$ , strictement croissante, impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine) ; $x^{3} = k$ a une unique solution pour tout réel $k$ .
Sur $[0; 1]$ : $x^{3} \leq x^{2} \leq x \leq \sqrt{x}$ ; sur $[1; + \infty [$ : $\sqrt{x} \leq x \leq x^{2} \leq x^{3}$ .
Une fonction croissante conserve l'ordre : on s'en sert pour comparer, résoudre des inéquations et encadrer.

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