Fiche de révision : fonctions de référence

Fonctions carré, inverse et valeur absolue : définitions, courbes, signe, variations démontrées, position des courbes y = x et y = x² sur [0 ; +∞[, résolution de f(x) = k et f(x) < k.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Fonctions de référence : carré, inverse et valeur absolue

Fiche méthode

(Mathématiques 2nde · Fonctions · Fonctions de référence)

La démarche face à une fonction de référence

1. Je reconnais la fonction et son ensemble de définition : $x^{2}$ et $| x |$ sur $ℝ$ , $\frac{1}{x}$ sur $ℝ^{*}$ .

2. Je place les nombres par rapport à $0$ : même signe ? intervalle qui contient $0$ ? C’est ce qui décide de la règle à utiliser.

3. J’applique la propriété : sens de variation sur un intervalle où la fonction est monotone, ou tableau des solutions de $f (x) = k$ , $f (x) < k$ .

4. Je conclus en citant la propriété (« la fonction carré est croissante sur $[0; + \infty [$ , donc… ») et j’écris l’ensemble $S$ avec des intervalles.

Le réflexe — la propriété citée doit porter sur un intervalle qui contient les deux nombres : sans cette vérification, la comparaison ne rapporte pas tous les points.

Cas 1 · Comparer ou encadrer avec la fonction carré

Réflexe — nombres positifs : même ordre pour les carrés ; négatifs : ordre inversé ; intervalle contenant 0 : je coupe en 0.

Exemple. Questions types : « Comparer sans calculer », « Encadrer $x^{2}$ ». Exemple : on sait que $- 2, 5 ⩽ x ⩽ - 0, 2$ ; encadrer $x^{2}$ .

Les deux bornes sont négatives : on travaille sur $] - \infty; 0]$ .

La fonction carré y est décroissante : elle inverse l’ordre, donc $(- 0, 2)^{2} ⩽ x^{2} ⩽ (- 2, 5)^{2}$ .

Conclusion : $0, 04 ⩽ x^{2} ⩽ 6, 25$ .

Attention — −3 < 2 ne permet pas de comparer (−3)² et 2² par les variations : signes contraires.

Cas 2 · Comparer ou encadrer avec la fonction inverse

Réflexe — même signe obligatoire ; la fonction inverse inverse l’ordre sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

Exemple. Questions types : « Ranger des inverses », « Encadrer $\frac{1}{x}$ ». Exemple : on sait que $- 6, 25 ⩽ x ⩽ - 2$ ; encadrer $\frac{1}{x}$ .

Les bornes sont strictement négatives : $x$ est dans $] - \infty; 0 [$ .

La fonction inverse y est décroissante : $\frac{1}{- 2} ⩽ \frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{- 6, 25}$ .

Conclusion : $- 0, 5 ⩽ \frac{1}{x} ⩽ - 0, 16$ .

Attention — la fonction inverse n’est pas décroissante sur ℝ* : un négatif a toujours un inverse plus petit qu’un positif.

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Cas 3 · Utiliser la fonction valeur absolue

Réflexe — je cherche le signe de ce qui est entre les barres : positif, je recopie ; négatif, je prends l’opposé.

Exemple. Questions types : « Écrire sans valeur absolue », « Tracer la courbe ». Exemple : $m (x) = 2 | x | - 3$ .

Si $x ⩾ 0$ : $| x | = x$ , donc $m (x) = 2 x - 3$ .

Si $x < 0$ : $| x | = - x$ , donc $m (x) = - 2 x - 3$ .

La courbe est formée de deux demi-droites qui se rejoignent au point $(0; - 3)$ ; contrôle : $m (- 1, 5) = 2 \times 1, 5 - 3 = 0$ .

Attention — pour x < 0, |x| = −x est positif : ce n’est pas un nombre négatif.

Cas 4 · Comparer x, x² et 1/x

Réflexe — x > 0 : je compare x à 1 ; pour démontrer, j’étudie le signe de x² − x = x(x − 1).

Exemple. Questions types : « Ranger sans calculatrice », « Démontrer que $x^{2} ⩽ x$ sur $[0; 1]$ ». Exemple : ranger $0, 4$ , $0, 4^{2}$ et $\frac{1}{0, 4}$ .

$0 < 0, 4 < 1$ : sur $] 0; 1 [$ , $x^{2} < x < \frac{1}{x}$ .

Donc $0, 4^{2} < 0, 4 < \frac{1}{0, 4}$ , c’est-à-dire $0, 16 < 0, 4 < 2, 5$ .

Attention — entre 0 et 1, le carré rend plus petit : x² > x n’est vrai que pour x > 1 (ou x < 0).

Cas 5 · Résoudre f(x) = k ou f(x) < k

Réflexe — j’isole f(x), je regarde le signe de k ; pour 1/x, je sépare x < 0 et x > 0.

Exemple. Questions types : « Résoudre $x^{2} ⩾ k$ , $| x | < k$ , $\frac{1}{x} > k$ ». Exemple : résoudre $\frac{1}{x} > 0, 25$ .

Si $x < 0$ : $\frac{1}{x} < 0$ , aucune solution.

Si $x > 0$ : $0, 25 = \frac{1}{4}$ et la fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ , donc $\frac{1}{x} > \frac{1}{4} ⟺ x < 4$ .

Conclusion : $S =] 0; 4 [$ .

Attention — x² = k a deux solutions si k > 0 : ne pas oublier −√k.

Les pièges

−x² et (−x)² sont différents : le premier est négatif ou nul, le second positif ou nul.
De a < b on ne déduit a² < b² que si a et b sont positifs.
Encadrement contenant 0 : le minimum de x² (ou de |x|) vaut 0, pas le carré d’une borne.
x² < k (k > 0) donne −√k < x < √k, pas seulement x < √k.
1/x < k : ne jamais multiplier par x sans connaître son signe.
0 n’a pas d’image par la fonction inverse : la double barre du tableau le rappelle.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une fonction de référence, puis un exemple corrigé pour chacun des cinq cas : encadrer un carré, encadrer un inverse, écrire une expression sans valeur absolue, ranger x, x² et 1/x, résoudre 1/x > k. Les pièges classiques (oublier −√k, multiplier par x) sont listés à la fin.

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