Fiche de révision : équations

Équations du premier degré et cas particuliers, mise en équation, équation produit nul, équation quotient et valeurs interdites, équation x² = a.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Équations

Fiche méthode

(Maths 2nde · Nombres et calculs · Équations)

La démarche pour résoudre une équation

1. Je reconnais le type : premier degré (après développement), produit nul, quotient, carré $x^{2} = a$ .

2. S’il y a un quotient, je donne d’abord les valeurs interdites.

3. Je transforme par équivalences : même opération sur les deux membres ; je factorise au lieu de diviser par une expression en $x$ .

4. Je vérifie et je conclus par $S = {\dots}$ , $S = \emptyset$ ou $S = ℝ$ , sans les valeurs interdites.

Le réflexe — une résolution se termine toujours par l’ensemble S des solutions : oublier une solution, ou garder une valeur interdite, coûte des points.

Cas 1 · Premier degré

Réflexe — je développe, je regroupe les x d’un côté et les nombres de l’autre, je divise par le coefficient non nul, je vérifie.

Exemple. Questions types : « Résoudre », « Mettre le problème en équation ». Exemple : résoudre $4 (x - 2) = 7 x + 13$ .

On développe : $4 x - 8 = 7 x + 13$ .

On regroupe : $4 x - 7 x = 13 + 8$ , soit $- 3 x = 21$ , donc $x = \frac{21}{- 3} = - 7$ .

Vérification : $4 \times (- 7 - 2) = - 36$ et $7 \times (- 7) + 13 = - 36$ . $S = {- 7}$ .

Attention — on divise par le coefficient de x (ici −3), on ne le retranche pas.

Cas 2 · Aucune solution ou tous les réels

Réflexe — les x disparaissent : je lis l’égalité qui reste entre deux nombres, vraie (S = ℝ) ou fausse (S = ∅).

Exemple. Questions types : « Résoudre », « Pour quelle valeur du paramètre… ». Exemple : résoudre $5 (x + 1) - 2 x = 3 (x + 2)$ .

On développe : $5 x + 5 - 2 x = 3 x + 6$ , soit $3 x + 5 = 3 x + 6$ .

On retranche $3 x$ : $5 = 6$ , égalité fausse quel que soit $x$ .

Aucun réel ne convient : $S = \emptyset$ .

Attention — « 0 = 0 » donne S = ℝ, et non S = {0}.

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Cas 3 · Produit nul

Réflexe — tout dans un membre, je factorise, puis un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Exemple. Questions types : « Résoudre en factorisant ». Exemple : résoudre $(2 x + 5)^{2} = (2 x + 5) (x - 1)$ .

Tout à gauche : $(2 x + 5)^{2} - (2 x + 5) (x - 1) = 0$ .

Facteur commun $(2 x + 5)$ : $(2 x + 5) [(2 x + 5) - (x - 1)] = 0$ , soit $(2 x + 5) (x + 6) = 0$ .

Produit nul : $2 x + 5 = 0$ ou $x + 6 = 0$ , donc $x = - \frac{5}{2}$ ou $x = - 6$ . $S = {- 6; - \frac{5}{2}}$ .

Attention — diviser par (2x + 5) ferait perdre la solution −5/2.

Cas 4 · Quotient

Réflexe — valeurs interdites d’abord ; A/B = k devient A = kB ; je retire les valeurs interdites de S.

Exemple. Questions types : « Donner les valeurs interdites, puis résoudre ». Exemple : résoudre $\frac{x + 2}{x - 4} = - 2$ .

Valeur interdite : $x - 4 = 0$ pour $x = 4$ .

Pour $x \neq 4$ : $x + 2 = - 2 (x - 4)$ , soit $x + 2 = - 2 x + 8$ , donc $3 x = 6$ et $x = 2$ .

$2 \neq 4$ : la valeur est autorisée. $S = {2}$ .

Attention — une valeur interdite n’est jamais solution, même si elle annule le numérateur.

Cas 5 · Carré égal à un nombre

Réflexe — j’isole le carré, je regarde le signe du second membre ; s’il est positif, deux solutions opposées.

Exemple. Questions types : « Résoudre $x^{2} = a$ », « Résoudre $(x + c)^{2} = a$ ». Exemple : résoudre $(x + 3)^{2} = 5$ .

$5 > 0$ : $x + 3 = - \sqrt{5}$ ou $x + 3 = \sqrt{5}$ .

Donc $x = - 3 - \sqrt{5}$ ou $x = - 3 + \sqrt{5}$ .

$S = {- 3 - \sqrt{5}; - 3 + \sqrt{5}}$ .

Attention — x² = a > 0 a deux solutions opposées ; si a < 0, aucune.

Les pièges

Diviser par x (ou par une expression en x) fait perdre des solutions : on factorise.
La règle du produit nul ne marche que si le second membre vaut 0.
Multiplier par une expression contenant x peut créer une solution parasite : on vérifie.
Pour chasser les dénominateurs, on multiplie tous les termes, nombres seuls compris.
Une racine carrée est positive : √169 = 13, mais x² = 169 a deux solutions.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour résoudre une équation en 2nde, puis un exemple entièrement rédigé pour chaque type : premier degré, équation sans solution ou vraie pour tout réel, produit nul par factorisation, quotient avec valeur interdite, carré égal à un nombre. Elle se termine par cinq pièges classiques et se télécharge en PDF.

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