Fiche de révision : puissances et notation scientifique

Puissances d’exposant entier relatif et règles de calcul, puissances de 10 et notation scientifique, chiffres significatifs et arrondis, ordres de grandeur et comparaisons.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Puissances et notation scientifique

Fiche méthode

(Maths 2nde · Nombres et calculs)

La démarche pour un calcul avec des puissances

1. Je regarde les bases : même base, même exposant, ou puissances de 10 ? Si les bases diffèrent, je les écris comme puissances d’une même base.

2. J’applique une règle à la fois : parenthèses d’abord ( $(a^{n})^{p}$ ), puis produit, puis quotient, en écrivant chaque étape.

3. Avec des puissances de 10, je sépare décimaux et puissances de 10, puis je réajuste en notation scientifique.

4. Je contrôle : signe, ordre de grandeur, nombre de chiffres significatifs demandé.

Le réflexe — une égalité sans étape (« = 2⁸ » directement) ne prouve rien : on écrit la règle utilisée à chaque ligne.

Cas 1 · Calculer une puissance

Réflexe — a⁻ⁿ = 1/aⁿ ; une fraction à exposant négatif se renverse ; base négative : la parité de l’exposant donne le signe.

Exemple. Questions types : « Calculer sans calculatrice », « Donner l’écriture décimale ». Exemple : ${(\frac{5}{3})}^{- 2}$ et $(- 10)^{- 3}$ .

${(\frac{5}{3})}^{- 2} = {(\frac{3}{5})}^{2} = \frac{9}{25}$ .

$(- 10)^{- 3} = \frac{1}{(- 10)^{3}} = \frac{1}{- 1 000} = - 0, 001$ : base négative, exposant impair, résultat négatif.

Attention — 5⁻² = 0,04 (et non −25) ; −3⁴ = −81 mais (−3)⁴ = 81.

Cas 2 · Écrire sous la forme d’une seule puissance

Réflexe — même base d’abord (9 = 3², 27 = 3³…), puis (aⁿ)ᵖ = aⁿᵖ, aⁿ × aᵖ = aⁿ⁺ᵖ, aⁿ/aᵖ = aⁿ⁻ᵖ.

Exemple. Questions types : « Écrire sous la forme $3^{n}$ », « Montrer que ce nombre est entier ». Exemple : $C = \frac{9^{4} \times 27^{- 1}}{3^{2}}$ .

$9^{4} = (3^{2})^{4} = 3^{8}$ et $27^{- 1} = (3^{3})^{- 1} = 3^{- 3}$ .

Numérateur : $3^{8} \times 3^{- 3} = 3^{8 - 3} = 3^{5}$ .

$C = \frac{3^{5}}{3^{2}} = 3^{5 - 2} = 3^{3} = 27$ .

Attention — on ne soustrait les exposants que si les bases sont égales : 9⁴/3² n’est pas 3².

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Cas 3 · Calculer en notation scientifique

Réflexe — décimaux d’un côté, puissances de 10 de l’autre, puis réajuster pour avoir 1 ≤ a < 10.

Exemple. Questions types : « Donner le résultat en notation scientifique ». Exemple : $D = \frac{5 \times 10^{- 4} \times 6 \times 10^{9}}{1, 2 \times 10^{2}}$ .

Décimaux : $\frac{5 \times 6}{1, 2} = \frac{30}{1, 2} = 25$ .

Puissances de 10 : $\frac{10^{- 4} \times 10^{9}}{10^{2}} = 10^{- 4 + 9 - 2} = 10^{3}$ .

$D = 25 \times 10^{3} = 2, 5 \times 10^{1} \times 10^{3} = 2, 5 \times 10^{4}$ .

Attention — 25 × 10³ n’est pas une notation scientifique ; virgule vers la gauche de k rangs = exposant + k.

Cas 4 · Arrondir à k chiffres significatifs

Réflexe — je compte à partir du premier chiffre non nul, je regarde le chiffre suivant (0 à 4 : rien ; 5 à 9 : +1).

Exemple. Questions types : « Arrondir à 2 (ou 3) chiffres significatifs », « Donner le résultat avec un nombre de chiffres adapté ». Exemple : $1 \div 26 \approx 0, 038 461 5$ .

Premier chiffre non nul : $3$ . À $2$ chiffres significatifs, on garde $3$ et $8$ ; le suivant est $4$ : $0, 038$ .

À $3$ chiffres significatifs, on garde $3$ , $8$ et $4$ ; le suivant est $6$ : $0, 038 5$ .

En notation scientifique : $3, 8 \times 10^{- 2}$ et $3, 85 \times 10^{- 2}$ .

Attention — les zéros de tête ne comptent pas, un zéro final compte : 0,60 ≠ 0,6 en précision.

Cas 5 · Ordre de grandeur et comparaison

Réflexe — a × 10ⁿ : 10ⁿ si a < 5, 10ⁿ⁺¹ si a ≥ 5 ; calcul : chaque nombre à 1 chiffre significatif.

Exemple. Questions types : « Donner l’ordre de grandeur », « Estimer sans calculatrice ». Exemple : $7, 2 \times 10^{- 6}$ et $6 180 \times 0, 002 9$ .

$7, 2 ⩾ 5$ : l’ordre de grandeur de $7, 2 \times 10^{- 6}$ est $10^{- 5}$ .

$6 180 \times 0, 002 9 \approx 6 \times 10^{3} \times 3 \times 10^{- 3} = 18 = 1, 8 \times 10^{1}$ .

$1, 8 < 5$ : l’ordre de grandeur du produit est $10^{1}$ (la calculatrice donne environ $17, 9$ ).

Attention — un ordre de grandeur est une puissance de 10 : « 2 × 10⁵ » n’en est pas un.

Les pièges

aⁿ × aᵖ : on additionne les exposants (10³ × 10⁴ = 10⁷), on ne les multiplie pas.
On garde la base : 3² × 3⁵ = 3⁷, et non 9⁷.
Aucune règle pour une somme : 3² + 3² = 18, ni 3⁴ ni 6².
a⁻ⁿ est positif si a > 0 : c’est un inverse, pas un opposé.
1 cm² = 10⁻⁴ m² et 1 cm³ = 10⁻⁶ m³ : le facteur de conversion s’élève au carré ou au cube.
On arrondit à la fin du calcul, jamais au milieu.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour un calcul avec des puissances, puis un exemple corrigé pour chacun des cinq cas : calculer une puissance, écrire sous la forme d’une seule puissance, calculer en notation scientifique, arrondir à un nombre de chiffres significatifs, estimer un ordre de grandeur. Les pièges les plus fréquents des copies sont listés à la fin.

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