Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : généralités sur les suites

Forme explicite et relation de récurrence, motifs et algorithmes, représentation graphique, sens de variation, limite intuitive et algorithme de seuil.

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benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Généralités sur les suites

Fiche méthode

(Spécialité maths 1re · Algèbre · Suites numériques)

La démarche pour étudier une suite

1. Je repère le mode de génération : forme explicite $u_{n} = f (n)$ , relation de récurrence, motif ou situation à traduire, programme.

2. Je calcule les premiers termes pour me faire une idée (et je les place dans un repère si c’est demandé).

3. Je démontre le sens de variation par une méthode valable pour tout $n$ : différence, quotient ou fonction associée.

4. Je conjecture la limite avec des valeurs de $n$ de plus en plus grandes, et je cherche un seuil par une inéquation ou un programme.

Le réflexe — un sens de variation se démontre pour tout n : calculer trois termes ne suffit pas, il faut un argument général (signe, quotient comparé à 1, fonction monotone) et une phrase de conclusion.

Cas 1 · Calculer des termes

Réflexe — forme explicite : je remplace n ; récurrence : je calcule de proche en proche ; uₙ₊₁ : je remplace n par (n + 1).

Exemple. Questions types : « Calculer $u_{4}$ », « Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $n$ », « Calculer $v_{3}$ ». Exemple : $u_{n} = 2 n^{2} - n$ ; $v_{0} = 3$ et $v_{n + 1} = 2 v_{n} - n$ .

$u_{4} = 2 \times 16 - 4 = 28$ .

$u_{n + 1} = 2 (n + 1)^{2} - (n + 1) = 2 n^{2} + 4 n + 2 - n - 1 = 2 n^{2} + 3 n + 1$ .

$v_{1} = 2 \times 3 - 0 = 6$ , $v_{2} = 2 \times 6 - 1 = 11$ , $v_{3} = 2 \times 11 - 2 = 20$ (on prend pour $n$ le rang du terme précédent).

Attention — uₙ₊₁ n’est pas uₙ + 1 ; avec une récurrence, pas de calcul direct de v₁₀.

Cas 2 · Traduire un motif ou une situation

Réflexe — je compte ce qui s’ajoute (ou ce qui reste) d’une étape à la suivante, puis je vérifie sur les premières valeurs.

Exemple. Questions types : « Justifier que $u_{n + 1} = \dots$ », « Combien d’éléments à l’étape 5 ? ». Exemple : un club compte $120$ membres en 2026 ; chaque année, $15 %$ des membres partent et $30$ nouveaux arrivent ; $m_{n}$ est le nombre de membres en $2026 + n$ .

Partir $15 %$ , c’est garder $85 %$ : il reste $0, 85 m_{n}$ membres, puis $30$ arrivent.

Donc $m_{0} = 120$ et, pour tout $n$ , $m_{n + 1} = 0, 85 m_{n} + 30$ .

$m_{1} = 102 + 30 = 132$ ; $m_{2} = 112, 2 + 30 = 142, 2$ , soit environ $142$ membres (le modèle donne des valeurs approchées).

Attention — « diminuer de 15 % » donne 0,85 × mₙ, pas mₙ − 0,15 ; range(n) fait n tours.

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Cas 3 · Représenter une suite

Réflexe — nuage : points (n ; uₙ) non reliés ; récurrence : escalier avec la courbe de f et la droite y = x, termes lus en abscisse.

Exemple. Questions types : « Représenter les premiers termes », « Construire $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ sur l’axe des abscisses ». Exemple : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = - 0, 5 u_{n} + 3$ .

On trace la droite de $f (x) = - 0, 5 x + 3$ et la droite $y = x$ ; elles se coupent en $x = 2$ , car $- 0, 5 \times 2 + 3 = 2$ .

De $u_{0} = 1$ on monte à la courbe : $u_{1} = 2, 5$ ; on reporte avec $y = x$ , puis $u_{2} = 1, 75$ et $u_{3} = 2, 125$ .

Les termes sont alternativement à gauche et à droite de $2$ : l’escalier tourne autour du point d’intersection.

Attention — on ne relie pas les points du nuage ; une ordonnée se reporte en abscisse par la droite y = x.

Cas 4 · Étudier le sens de variation

Réflexe — différence uₙ₊₁ − uₙ par défaut ; quotient si termes strictement positifs avec puissances ; fonction si uₙ = f(n).

Exemple. Questions types : « Étudier le sens de variation de $(w_{n})$ », « À partir de quel rang la suite est-elle croissante ? ». Exemple : $w_{n} = 2 n^{2} - 9 n + 1$ .

$w_{n + 1} - w_{n} = 2 (n + 1)^{2} - 9 (n + 1) + 1 - (2 n^{2} - 9 n + 1) = 4 n + 2 - 9 = 4 n - 7$ .

$4 n - 7 < 0$ pour $n = 0$ et $n = 1$ ; $4 n - 7 > 0$ pour $n ⩾ 2$ .

$(w_{n})$ décroît de $w_{0}$ à $w_{2}$ , puis elle est strictement croissante à partir du rang $2$ .

Attention — trois termes rangés ne prouvent rien ; le quotient exige des termes strictement positifs.

Cas 5 · Conjecturer une limite, chercher un seuil

Réflexe — valeurs de n de plus en plus grandes ; seuil : inéquation en n, puis contrôle des deux termes qui encadrent.

Exemple. Questions types : « Conjecturer la limite », « Déterminer le plus petit $n$ tel que… », « Compléter la boucle while ». Exemple : $u_{n} = 5 - \frac{8}{n + 1}$ et le seuil $4, 95$ .

$\frac{8}{n + 1}$ devient aussi petit qu’on veut : on conjecture que $(u_{n})$ tend vers $5$ .

$u_{n} > 4, 95 ⟺ \frac{8}{n + 1} < 0, 05 ⟺ n + 1 > 160 ⟺ n ⩾ 160$ .

Contrôle : $u_{159} = 4, 95$ exactement, qui ne convient pas (inégalité stricte), et $u_{160} > 4, 95$ . Le seuil est atteint pour $n = 160$ ; la boucle s’écrit while u <= 4.95.

Attention — la condition du while est la négation de la condition cherchée ; sans franchissement, la boucle ne s’arrête pas.

Les pièges

uₙ₊₁ n’est pas uₙ + 1 : on remplace n par n + 1 dans la formule.
Quelques termes ne prouvent pas un sens de variation : il faut un argument valable pour tout n.
f croissante et uₙ₊₁ = f(uₙ) ne donnent pas une suite croissante.
Le quotient uₙ₊₁ / uₙ comparé à 1 exige des termes strictement positifs.
Croissante ne veut pas dire « tend vers +∞ » : la suite peut se rapprocher d’un nombre.
Une liste des termes de u₀ à uₙ contient n + 1 éléments ; range(n) fait n tours.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour étudier une suite, puis une question type corrigée pour chacun des cinq cas : calculer des termes et exprimer uₙ₊₁, traduire un motif ou une évolution en pourcentage, représenter une suite en escalier, étudier le sens de variation à partir d’un rang, chercher un seuil. Elle se termine par les pièges classiques, comme confondre uₙ₊₁ et uₙ + 1.

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