Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Suites numériques

Modes de génération, suites arithmétiques et géométriques, sens de variation, approche intuitive de la limite — thème « Suites numériques, modèles discrets » de Spécialité Maths 1re

Les suites modélisent ce qui évolue étape par étape (capital, population) : savoir calculer un terme, reconnaître une suite arithmétique ou géométrique, sommer et étudier les variations.

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Définitions

Suite numérique $(u_{n})$ : fonction de $ℕ$ dans $ℝ$ ; $u_{n}$ est le terme d'indice $n$ .
Forme explicite : $u_{n} = f (n)$ , calcul direct de tout terme.
Récurrence : $u_{0}$ donné et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , chaque terme dépend du précédent.
Arithmétique : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ (on ajoute la raison $r$ ).
Géométrique : $v_{n + 1} = q \times v_{n}$ (on multiplie par la raison $q$ ).
Croissante : $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ ; décroissante : $u_{n + 1} \leq u_{n}$ ; monotone : l'un ou l'autre.

Formules

Arithmétique : $u_{n} = u_{0} + n r$ et $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ .
Géométrique : $v_{n} = v_{0} \times q^{n}$ et $v_{n} = v_{p} \times q^{n - p}$ .
$1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ .
Somme arithmétique : $u_{0} + \dots + u_{n} = (n + 1) \times \frac{u_{0} + u_{n}}{2}$ (nombre de termes × (premier + dernier) ÷ 2).
Somme géométrique ( $q \neq 1$ ) : $v_{0} + \dots + v_{n} = v_{0} \times \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ .
Évolution de $t$ % répétée : suite géométrique de raison $1 + \frac{t}{100}$ .

Sens de variation et limite

Signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ pour tout $n$ : positif ⇒ croissante, négatif ⇒ décroissante.
Termes strictement positifs : comparer $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ à $1$ .
Arithmétique : croissante si $r > 0$ . Géométrique ( $v_{0} > 0$ ) : croissante si $q > 1$ , décroissante si $0 < q < 1$ , non monotone si $q < 0$ .
Limite (intuitive) : $q^{n}$ tend vers $0$ si $0 < q < 1$ , vers $+ \infty$ si $q > 1$ ; $\frac{1}{n}$ tend vers $0$ .

Méthodes

Nature : calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ (constante ⇒ arithmétique) ou $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ (constante ⇒ géométrique) ; un contre-exemple suffit pour réfuter.
Somme : identifier la nature, compter les termes ( $n - p + 1$ de $u_{p}$ à $u_{n}$ ), appliquer la formule.
Variation : écrire $u_{n + 1}$ , calculer la différence, étudier son signe.
Seuil : boucle while qui recalcule le terme tant que le seuil n'est pas atteint, puis vérifier avec les deux termes encadrant le seuil.

Pièges

$u_{n + 1} \neq u_{n} + 1$ : c'est le terme suivant.
De $u_{p}$ à $u_{n}$ il y a $n - p + 1$ termes ; dans $1 + q + \dots + q^{n}$ l'exposant final de la formule est $n + 1$ .
Les pourcentages successifs se multiplient : $- 3$ % pendant 10 ans donne $0, 97^{10} \approx 0, 737$ , pas $- 30$ %.
Les premiers termes ne prouvent ni la nature ni la monotonie : raisonner pour tout $n$ .

L'essentiel

Arithmétique : on ajoute r, u_n = u₀ + nr, la somme vaut nombre de termes × (premier + dernier) ÷ 2.
Géométrique : on multiplie par q, v_n = v₀ × qⁿ, la somme vaut v₀ × (1 − q^(n+1)) ÷ (1 − q) pour q ≠ 1.
Sens de variation : signe de u_{n+1} − u_n pour tout n ; quotient comparé à 1 seulement si les termes sont strictement positifs.
Une suite géométrique de raison négative n'est jamais monotone.
Pour 0 < q < 1, qⁿ tend vers 0 ; pour q > 1, qⁿ tend vers +∞ ; un seuil se trouve avec une boucle while.

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