Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : fonction exponentielle

Définition par f′ = f et f(0) = 1, nombre e, signe, propriétés algébriques, variations, courbe, équations et inéquations, dérivée de t ↦ e^(at), croissance et décroissance exponentielles, lien avec les suites géométriques.

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Fonction exponentielle

Fiche méthode

(Spécialité maths 1re · Analyse · Fonction exponentielle)

La démarche devant une exponentielle

1. Je repère ce qu’on me demande : simplifier, résoudre, dériver, étudier un signe ou des variations, passer à une suite.

2. Je regroupe en un seul exposant avec les règles (produit → somme, quotient → différence, puissance → produit).

3. J’utilise les deux propriétés clés : $e^{u} > 0$ (le signe ne change pas) et $\exp$ strictement croissante ( $e^{A} < e^{B} ⟺ A < B$ ).

4. Je conclus en citant la propriété utilisée et en donnant un ensemble de solutions, un tableau de variations ou une raison.

Le réflexe — les phrases « car

e^{x} > 0

» et « car l’exponentielle est strictement croissante » rapportent des points : sans elles, le passage aux exposants ou l’étude de signe n’est pas justifié.

Cas 1 · Signe et équation sans solution

Réflexe — une exponentielle est toujours strictement positive : e^u = c n’a pas de solution si c ≤ 0.

Exemple. Questions types : « Résoudre », « Donner le signe ». Exemple : résoudre $3 e^{x} + 7 = 0$ .

$3 e^{x} + 7 = 0$ $⟺ e^{x} = - \frac{7}{3}$ .

Or $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ : il ne peut pas valoir un nombre négatif.

L’équation n’a aucune solution : $S = \emptyset$ .

Attention — e⁻ˣ est positif : le « moins » porte sur l’exposant.

Cas 2 · Simplifier

Réflexe — puissances d’abord, puis un seul exposant, réduit avec des parenthèses autour de ce qu’on soustrait.

Exemple. Questions types : « Écrire sous la forme $e^{a x + b}$ ». Exemple : $B = \frac{e^{4 x} \times {(e^{- x})}^{2}}{e^{x - 3}}$ .

${(e^{- x})}^{2} = e^{- 2 x}$ .

$B = e^{4 x - 2 x - (x - 3)}$ .

$B = e^{x + 3}$ .

Attention — e^a + e^b ne se simplifie pas ; (eˣ)² = e²ˣ, pas e^(x²).

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Cas 3 · Équation ou inéquation

Réflexe — chaque membre sous la forme e^…, passage aux exposants (exp strictement croissante), résolution, ensemble de solutions.

Exemple. Questions types : « Résoudre dans ℝ ». Exemple : $e^{x^{2}} ⩽ e^{x + 2}$ .

L’exponentielle est strictement croissante : $e^{x^{2}} ⩽ e^{x + 2}$ $⟺ x^{2} ⩽ x + 2$ $⟺ x^{2} - x - 2 ⩽ 0$ .

Le trinôme a pour racines $- 1$ et $2$ ; il est négatif entre ses racines.

$S = [- 1; 2]$ .

Attention — après X = eˣ, une racine X ≤ 0 est écartée ; diviser par un négatif change le sens.

Cas 4 · Étudier une fonction

Réflexe — dériver, factoriser par l’exponentielle, signe du facteur restant, tableau, extremum exact.

Exemple. Questions types : « Montrer que $f' (x) = \dots$ », « Dresser le tableau de variations ». Exemple : $f (x) = (4 - x) e^{x}$ .

$f' (x)$ $= - 1 \times e^{x} + (4 - x) e^{x}$ $= (3 - x) e^{x}$ .

$e^{x} > 0$ , donc $f' (x)$ a le signe de $3 - x$ : positif avant $3$ , négatif après.

$f$ est croissante sur $] - \infty; 3]$ , décroissante sur $[3; + \infty [$ ; maximum $f (3) = e^{3}$ .

Attention — (e^(at))′ = a e^(at) : le coefficient sort devant.

Cas 5 · Passer à une suite géométrique

Réflexe — uₙ = K e^(an), uₙ₊₁ = e^a uₙ, raison e^a, taux (e^a − 1) × 100 %.

Exemple. Questions types : « Montrer que $(u_{n})$ est géométrique », « Interpréter la raison ». Exemple : $h (t) = 60 e^{- 0, 2 t}$ , avec $e^{- 0, 2} \approx 0, 819$ .

$u_{n} = h (n) = 60 e^{- 0, 2 n}$ et $u_{n + 1}$ $= 60 e^{- 0, 2 n} \times e^{- 0, 2}$ $= e^{- 0, 2} u_{n}$ .

$(u_{n})$ est géométrique de raison $e^{- 0, 2} \approx 0, 819$ , de premier terme $60$ .

Taux : $(0, 819 - 1) \times 100$ $= - 18, 1$ : baisse d’environ $18, 1 %$ par unité de temps.

Attention — le taux n’est pas le coefficient de l’exposant : −18,1 % et non −20 %.

Les pièges

eˣ n’est pas e × x : e² ≈ 7,389 alors que 2e ≈ 5,437.
e^(a+b) = eᵃ × eᵇ, jamais eᵃ + eᵇ.
eˣ = 4 a une solution (vue en Terminale), mais eˣ = −4 n’en a aucune.
Le signe de f se lit sur f, le sens de variation sur f′ : ne pas confondre.
f′ = f ne suffit pas à reconnaître exp : il faut aussi f(0) = 1.
Une décroissance exponentielle K e^(−kt) n’atteint jamais 0.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche devant une exponentielle, puis, pour chacun des cinq cas, les questions types et une réponse rédigée : équation sans solution, simplification en un seul exposant, inéquation avec un trinôme, étude de (4 − x)eˣ, passage d’un modèle continu à une suite géométrique. Les règles à connaître sont dans la fiche tableaux.

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