Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Formulaire : fonction exponentielle

Définition par f′ = f et f(0) = 1, nombre e, signe, propriétés algébriques, variations, courbe, équations et inéquations, dérivée de t ↦ e^(at), croissance et décroissance exponentielles, lien avec les suites géométriques.

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benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Fonction exponentielle

Fiche tableaux : les règles à connaître

(Spécialité maths 1re)

Valeurs à connaître

$x$	$- 1$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$
$e^{x}$	$\approx 0, 368$	$1$	$\approx 1, 649$	$e \approx 2, 718$	$\approx 7, 389$

Exemple : $e^{- 2} = \frac{1}{e^{2}} \approx 0, 135$ .

Propriétés algébriques

Règle	Formule	Calcul sur les exposants
Produit	$e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$	on additionne
Inverse	$\frac{1}{e^{a}} = e^{- a}$	on prend l’opposé
Quotient	$\frac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a - b}$	on soustrait
Puissance ( $n \in ℤ$ )	${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$	on multiplie
Opposé	$e^{a} \times e^{- a} = 1$	$a + (- a) = 0$

Exemple : ${(e^{3})}^{2} \times e^{- 4} = e^{6 - 4} = e^{2}$ .

Dérivées

Fonction	Dérivée
$e^{x}$	$e^{x}$
$e^{a t}$ ( $a$ réel)	$a e^{a t}$
$e^{a x + b}$	$a e^{a x + b}$
$K e^{a x + b}$	$K a e^{a x + b}$
$u (x) e^{x}$	$(u' (x) + u (x)) e^{x}$

Exemple : ${(5 e^{- 2 x + 1})}^{'} = - 10 e^{- 2 x + 1}$ .

Équations et inéquations

Écriture	Équivaut à
$e^{A} = e^{B}$	$A = B$
$e^{A} < e^{B}$	$A < B$
$e^{x} = 1$	$x = 0$
$e^{x} > 1$	$x > 0$
$e^{x} = c$ avec $c ⩽ 0$	aucune solution

Exemple : $e^{4 - x} < 1 ⟺ 4 - x < 0$ $⟺ x > 4$ .

Signe et variations

Fonction ( $k > 0$ )	Signe	Dérivée	Variations
$e^{x}$	$> 0$	$e^{x}$	strictement croissante
$e^{k t}$	$> 0$	$k e^{k t}$	strictement croissante
$e^{- k t}$	$> 0$	$- k e^{- k t}$	strictement décroissante

Tangente à la courbe de $\exp$ en $0$ : $y = x + 1$ . Exemple : $t \mapsto 3 e^{- 1, 5 t}$ a pour dérivée $- 4, 5 e^{- 1, 5 t} < 0$ : elle est strictement décroissante.

Lien avec les suites géométriques

Suite	Raison	Premier terme	Taux d’évolution
$u_{n} = e^{n a}$	$e^{a}$	$1$	$(e^{a} - 1) \times 100 %$
$v_{n} = K e^{n a}$	$e^{a}$	$K$	$(e^{a} - 1) \times 100 %$

Exemple : $10 e^{0, 5 n}$ a pour raison $e^{0, 5} \approx 1, 649$ : hausse d’environ $64, 9 %$ par terme.

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À propos de cette page

La fiche de révision de la fonction exponentielle en tableaux, pour la spécialité maths de 1re : valeurs à connaître (e ≈ 2,718), propriétés algébriques, dérivées de eˣ, e^(at) et e^(ax + b), équations et inéquations, signe et variations de e^(kt) et e^(−kt), lien avec les suites géométriques. La fiche se télécharge en PDF.

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