Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : calcul de dérivées

Fonction dérivée, démonstrations des dérivées de x² et 1/x, dérivées usuelles et puissances xⁿ (n ∈ ℤ), somme, produit, inverse et quotient, valeur absolue non dérivable en 0.

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Calcul de dérivées

Fiche méthode

(Spécialité maths 1re · Analyse · Dérivation)

La démarche pour calculer une dérivée

1. J’écris l’intervalle où la fonction est dérivable : racine carrée → contenu strictement positif ; dénominateur → non nul.

2. Je repère l’opération principale : somme, produit, inverse ou quotient. Je prépare l’écriture si besoin ( $\frac{k}{x^{n}} = k x^{- n}$ ).

3. J’écris $u$ , $u'$ , $v$ , $v'$ à part, puis j’applique la formule.

4. Je simplifie (numérateur réduit, même dénominateur) et je contrôle sur une valeur ou en développant.

Le réflexe — une dérivée de quotient sans la phrase « le dénominateur ne s’annule pas sur l’intervalle » est incomplète : c’est la condition de la formule.

Cas 1 · À partir de la définition

Réflexe — f(a + h) − f(a), je développe, je simplifie le taux par h, puis je fais tendre h vers 0.

Exemple. Questions types : « Calculer le taux de variation entre $a$ et $a + h$ », « Démontrer que $f$ est dérivable et donner $f' (a)$ ». Exemple : $f (x) = - x^{2} + 2 x$ .

$f (a + h) - f (a) = - (a + h)^{2} + 2 (a + h) + a^{2} - 2 a$ $= - 2 a h - h^{2} + 2 h$ .

Pour $h \neq 0$ , le taux vaut $- 2 a + 2 - h$ .

Quand $h$ tend vers $0$ , il tend vers $- 2 a + 2$ : $f$ est dérivable en tout $a$ et $f' (a) = - 2 a + 2$ .

Attention — pour |x| en 0, le taux vaut 1 si h > 0 et −1 si h < 0 : pas de limite, pas de dérivabilité.

Cas 2 · Somme de fonctions usuelles

Réflexe — je réécris k/xⁿ = k x⁻ⁿ, je sors les constantes, je dérive terme à terme.

Exemple. Questions types : « Calculer $f' (x)$ ». Exemple : $f (x) = 3 x^{4} - \frac{2}{x} + 5 \sqrt{x}$ sur $] 0; + \infty [$ .

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{- 1} + 5 \sqrt{x}$ , somme de fonctions dérivables sur $] 0; + \infty [$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 2 \times (- x^{- 2}) + \frac{5}{2 \sqrt{x}}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{5}{2 \sqrt{x}}$ .

Attention — l’exposant baisse de 1 : (x⁻²)′ = −2x⁻³ ; une constante (π², √5) a une dérivée nulle.

1 / 2

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Cas 3 · Produit

Réflexe — u, u′, v, v′ à part ; (uv)′ = u′v + uv′ ; même dénominateur s’il y a une racine.

Exemple. Questions types : « Montrer que $f' (x) = \dots$ ». Exemple : $f (x) = (x^{2} - 1) \sqrt{x}$ sur $] 0; + \infty [$ .

$u (x) = x^{2} - 1$ , $u' (x) = 2 x$ ; $v (x) = \sqrt{x}$ , $v' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$f' (x) = 2 x \sqrt{x} + \frac{x^{2} - 1}{2 \sqrt{x}}$ .

Comme $2 x \sqrt{x} = \frac{4 x^{2}}{2 \sqrt{x}}$ : $f' (x) = \frac{5 x^{2} - 1}{2 \sqrt{x}}$ .

Attention — (uv)′ n’est pas u′v′ : x × x a pour dérivée 2x, pas 1.

Cas 4 · Quotient

Réflexe — je justifie v ≠ 0, puis (u′v − uv′)/v², numérateur développé et réduit.

Exemple. Questions types : « Justifier que $f$ est dérivable sur $ℝ$ et calculer $f' (x)$ ». Exemple : $f (x) = \frac{2 x - 1}{x^{2} + 2}$ .

$x^{2} + 2 ⩾ 2$ ne s’annule pas. $u' (x) = 2$ , $v' (x) = 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 2) - (2 x - 1) \times 2 x}{(x^{2} + 2)^{2}}$ $= \frac{2 x^{2} + 4 - 4 x^{2} + 2 x}{(x^{2} + 2)^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 x + 4}{(x^{2} + 2)^{2}}$ .

Attention — numérateur u′v − uv′ dans cet ordre ; parenthèses autour de u avant de soustraire.

Cas 5 · Formules combinées, ensemble de dérivabilité

Réflexe — je cherche les valeurs interdites (dénominateur nul, x ≤ 0 sous la racine), puis l’opération principale, et je dérive chaque morceau à part.

Exemple. Questions types : « Déterminer l’ensemble sur lequel $f$ est dérivable, puis calculer $f' (x)$ ». Exemple : $f (x) = \frac{x - 2}{x^{2} - 1}$ .

$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ s’annule en $- 1$ et en $1$ : $f$ est dérivable sur $] - \infty; - 1 [$ , sur $] - 1; 1 [$ et sur $] 1; + \infty [$ .

$u' (x) = 1$ , $v' (x) = 2 x$ : $f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) - (x - 2) \times 2 x}{(x^{2} - 1)^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} + 4 x}{(x^{2} - 1)^{2}} = \frac{- x^{2} + 4 x - 1}{(x^{2} - 1)^{2}}$ .

Attention — √x est définie en 0 mais pas dérivable : une fonction qui contient √x se dérive sur ]0 ; …[ seulement.

Les pièges

Définie ne veut pas dire dérivable : |x| en 0, √x en 0.
(uv)′ ≠ u′v′ et (u/v)′ ≠ u′/v′.
Pour k/x, pas de formule du quotient : (k/x)′ = −k/x².
Dans le quotient, le dénominateur est v², pas v.
On ne remplace h par 0 qu’après avoir simplifié le taux par h.
Un dénominateur du second degré : chercher ses racines (discriminant) avant d’écrire l’intervalle.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

2 / 2

À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour calculer une dérivée, puis, pour chacun des cinq cas du cours, une question type et sa réponse rédigée : taux de variation à partir de la définition, somme de fonctions usuelles, produit avec une racine carrée, quotient à dénominateur qui ne s’annule pas, formules combinées et ensemble de dérivabilité. Les formules à apprendre sont dans la fiche tableaux, juste à côté.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Soutien scolaire à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs