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Automatismes : calcul numérique, calcul littéral et géométrie

Fractions, puissances, écriture scientifique, ordres de grandeur et unités ; développer, factoriser, isoler une variable ; aires, volumes, Pythagore, Thalès et trigonométrie, sans calculatrice.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 1re (tronc commun) prépare la partie automatismes de l’épreuve anticipée en trois parties : calcul numérique (fractions, puissances, écriture scientifique, ordres de grandeur, conversions d’unités), calcul littéral (identités remarquables, développer, factoriser, isoler une variable, appliquer une formule) et géométrie (aires, volumes, Pythagore, Thalès, trigonométrie). Chaque partie se termine par un réflexe, un piège à éviter et une mission d’entraînement.

Calcul numérique : fractions, puissances, ordres de grandeur, unités

Ce qu’il faut savoir

Fractions. Pour ajouter ou soustraire, on écrit les fractions avec le même dénominateur : $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}$ . Pour multiplier : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$ . Diviser par $\frac{c}{d}$ (avec $c \neq 0$ ), c’est multiplier par son inverse $\frac{d}{c}$ : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}$ ; une fraction « à étages » $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$ se calcule de la même façon. Prendre $\frac{a}{b}$ d’une quantité $N$ , c’est calculer $\frac{a}{b} \times N$ .

Écritures utiles (dénominateurs non nuls) : $x = \frac{x}{1}$ ; $\frac{a}{- 1} = - a$ ; $\frac{x}{a} = \frac{1}{a} x$ ; $\frac{a b}{c} = a \times \frac{b}{c}$ ; $\frac{1}{\frac{1}{a}} = a$ ; $\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$ .

Comparer deux nombres $a$ et $b$ : on étudie le signe de leur différence $a - b$ (si $a - b > 0$ , alors $a > b$ ) ; s’ils sont strictement positifs, on peut aussi comparer leur quotient $\frac{a}{b}$ à $1$ .

Trois écritures d’un même nombre : décimale, fractionnaire, en pourcentage. Par exemple, $\frac{7}{25} = 0, 28 = 28 %$ .

Puissances (pour $a \neq 0$ , $b \neq 0$ , $n$ et $p$ entiers relatifs) : $a^{n} \times a^{p} = a^{n + p}$ ; $\frac{a^{n}}{a^{p}} = a^{n - p}$ ; $(a^{n})^{p} = a^{n \times p}$ ; $(a b)^{n} = a^{n} b^{n}$ ; $a^{0} = 1$ ; $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ . Écriture scientifique : $c \times 10^{n}$ avec $1 ⩽ c < 10$ et $n$ entier relatif.

Ordre de grandeur : on remplace chaque nombre par une valeur simple et proche, pour estimer un résultat ou vérifier qu’il est vraisemblable.

Conversions. Longueurs : $\times 10$ d’une unité à la suivante (km, hm, dam, m, dm, cm, mm). Aires : $\times 100$ ( $1$ m² $= 100$ dm² $= 10 000$ cm²). Volumes : $\times 1 000$ ( $1$ m³ $= 1 000$ dm³). Contenances : $1$ L $= 1$ dm³, $1$ mL $= 1$ cm³, $1$ m³ $= 1 000$ L. Durées : $1$ h $= 60$ min $= 3 600$ s. Vitesses : $1$ m/s $= 3, 6$ km/h. Masses : $1$ t $= 1 000$ kg et $1$ kg $= 1 000$ g.

Exemples

Soustraire. Dénominateur commun $12$ : $\frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12}$ .

Diviser. $\frac{4}{9} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ .

Comparer. $\frac{7}{9} - \frac{4}{5} = \frac{35}{45} - \frac{36}{45}$ , qui vaut $- \frac{1}{45}$ : la différence est négative, donc $\frac{7}{9} < \frac{4}{5}$ .

Puissances. Tout est en base $3$ : $\frac{3^{5} \times 3^{- 2}}{3^{4}} = 3^{5 + (- 2) - 4} = 3^{- 1} = \frac{1}{3}$ .

Écriture scientifique. $0, 000 72 = 7, 2 \times 10^{- 4}$ . Et $(4 \times 10^{3}) \times (5 \times 10^{- 7})$ s’écrit $20 \times 10^{- 4}$ , c’est-à-dire $2 \times 10^{- 3}$ en écriture scientifique.

Ordre de grandeur. $49, 8 \times 0, 21 \approx 50 \times 0, 2$ , soit environ $10$ (la valeur exacte est $10, 458$ ).

Conversions. $1, 8$ m² $= 18 000$ cm² ; $750$ cm³ $= 0, 75$ L ; $1, 2$ h $= 1$ h $+ 0, 2 \times 60$ min, soit $1$ h $12$ min ; $54$ km/h $= 54 \div 3, 6$ m/s, soit $15$ m/s.

Réflexe — Avant de calculer, j’estime l’ordre de grandeur du résultat. Fractions : même dénominateur pour ajouter, « multiplier par l’inverse » pour diviser, et je simplifie le résultat. Puissances : je ramène tout à la même base, puis j’applique les règles sur les exposants. Conversions : j’écris d’abord l’égalité de référence ( $1$ m² $= 100$ dm², $1$ L $= 1$ dm³…), puis je multiplie ou je divise.

Attention — On n’ajoute jamais les dénominateurs : $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4}$ , pas $\frac{2}{8}$ . Une somme de puissances ne se calcule pas comme un produit : $2^{3} + 2^{3} = 16$ , c’est $2^{4}$ et non $2^{6}$ . $(- 3)^{2} = 9$ mais $- 3^{2} = - 9$ . Enfin, $1, 5$ h vaut $1$ h $30$ min, pas $1$ h $50$ min.

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Calcul littéral : développer, factoriser, isoler une variable

Ce qu’il faut savoir

Signes et parenthèses. $- (a + b) = - a - b$ et $- (a - b) = b - a$ : un « − » devant une parenthèse change tous les signes à l’intérieur. Distributivité : $k (a + b) = k a + k b$ ; double distributivité : $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ .

Réduire une expression : regrouper les termes de même nature (les $x^{2}$ ensemble, les $x$ ensemble, les nombres ensemble).

Identités remarquables, à connaître dans les deux sens : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ; $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ; $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

Factoriser, c’est écrire sous forme de produit. Avec un facteur commun : $a x + b x = (a + b) x$ et $a x^{2} + b x = x (a x + b)$ ; avec une identité : $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ .

Isoler une variable dans une égalité qui en contient plusieurs : on fait la même opération des deux côtés (ajouter, soustraire, multiplier ou diviser par un nombre non nul) jusqu’à obtenir « variable $=$ … ».

Application numérique d’une formule : on remplace chaque lettre par sa valeur (entre parenthèses si elle est négative), dans les unités prévues par la formule, puis on respecte les priorités : puissances, puis produits et quotients, puis sommes et différences.

Exemples

Développer et réduire. $(3 x + 2) (x - 4) = 3 x^{2} - 12 x + 2 x - 8$ , soit $3 x^{2} - 10 x - 8$ après réduction.

Identités. $(5 x + 1)^{2} = 25 x^{2} + 10 x + 1$ ; $(x - 9)^{2} = x^{2} - 18 x + 81$ .

Parenthèse précédée d’un « − ». $4 - (2 x - 5) + 3 (x + 1)$ devient $4 - 2 x + 5 + 3 x + 3$ , soit $x + 12$ .

Factoriser. $12 x^{2} - 8 x = 4 x (3 x - 2)$ ; $x^{2} - 49 = (x - 7) (x + 7)$ ; $x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5)^{2}$ ; avec une parenthèse en facteur commun, $(x + 4) (3 x - 1) + 2 (x + 4)$ s’écrit $(x + 4) (3 x - 1 + 2)$ , soit $(x + 4) (3 x + 1)$ .

Isoler. Le périmètre d’un cercle est $C = 2 π r$ : on divise les deux membres par $2 π$ , donc $r = \frac{C}{2 π}$ . Si $y = 3 x - 6$ , alors $y + 6 = 3 x$ , donc $x = \frac{y + 6}{3}$ .

Application numérique. La puissance dissipée par une résistance est $P = R I^{2}$ . Avec $R = 20$ Ω et $I = 0, 5$ A : $P = 20 \times 0, 5^{2} = 20 \times 0, 25 = 5$ W. Pour $x = - 4$ , l’expression $x^{2} - 3 x$ vaut $(- 4)^{2} - 3 \times (- 4)$ , c’est-à-dire $16 + 12 = 28$ .

Réflexe — Pour développer, je cherche d’abord une identité remarquable ; sinon je distribue chaque terme. Pour factoriser, je cherche d’abord un facteur commun (un nombre, $x$ , ou une parenthèse entière), puis une identité. Je contrôle en remplaçant $x$ par une valeur simple (par exemple $x = 1$ ) dans les deux écritures : elles doivent donner le même nombre.

Attention — $(a + b)^{2}$ n’est pas $a^{2} + b^{2}$ : il manque le double produit $2 a b$ . Pour isoler une variable, on divise tous les termes : $3 x = y + 6$ donne $x = \frac{y + 6}{3}$ , et non $x = \frac{y}{3} + 6$ . Et pour $x = - 5$ , $- x^{2}$ vaut $- (- 5)^{2}$ , c’est-à-dire $- 25$ , pas $25$ .

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Géométrie : périmètres, aires, volumes, Pythagore, Thalès, trigonométrie

Ce qu’il faut savoir

Périmètres. Polygone : somme des longueurs des côtés. Cercle de rayon $r$ (diamètre $d = 2 r$ ) : $𝒫 = 2 π r = π d$ .

Aires. Rectangle : $L \times ℓ$ . Triangle : $\frac{base \times hauteur}{2}$ . Disque : $π r^{2}$ .

Volumes. Pavé droit : $L \times ℓ \times h$ . Prisme droit et cylindre : aire de la base $\times$ hauteur (cylindre : $π r^{2} h$ ). Pyramide et cône : $\frac{1}{3} \times$ aire de la base $\times$ hauteur (cône : $\frac{1}{3} π r^{2} h$ ). Boule : $\frac{4}{3} π r^{3}$ .

Théorème de Pythagore. Si le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , alors $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ ; $[B C]$ , opposé à l’angle droit, est l’hypoténuse (le plus long côté). Réciproque : si $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , alors le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ .

Théorème de Thalès. Les droites $(B M)$ et $(C N)$ se coupent en $A$ . Si les droites $(M N)$ et $(B C)$ sont parallèles, alors $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ .

Trigonométrie dans le triangle $A B C$ rectangle en $A$ , pour l’angle $A B C$ : $\cos A B C = \frac{côté adjacent}{hypoténuse} = \frac{A B}{B C}$ ; $\sin A B C = \frac{côté opposé}{hypoténuse} = \frac{A C}{B C}$ ; $\tan A B C = \frac{côté opposé}{côté adjacent} = \frac{A C}{A B}$ . Sans calculatrice, l’énoncé donne la valeur utile (par exemple $\cos 60^{\circ} = 0, 5$ ).

Exemples

Pythagore. $E F G$ est rectangle en $E$ avec $E F = 2, 4$ cm et $E G = 3, 2$ cm. D’après le théorème de Pythagore, $F G^{2} = E F^{2} + E G^{2} = 5, 76 + 10, 24 = 16$ , donc $F G = 4$ cm.

Réciproque. Un triangle a des côtés de longueurs $11$ , $60$ et $61$ . D’une part $61^{2} = 3 721$ ; d’autre part $11^{2} + 60^{2} = 121 + 3 600 = 3 721$ . L’égalité de Pythagore est vérifiée : le triangle est rectangle, et l’angle droit est opposé au côté de longueur $61$ .

Thalès. $M \in [A B]$ , $N \in [A C]$ et $(M N) ∥ (B C)$ , avec $A M = 3$ , $A B = 7, 5$ et $B C = 10$ . D’après le théorème de Thalès, $\frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}$ , donc $M N = \frac{3 \times 10}{7, 5} = 4$ .

Trigonométrie. $K L M$ est rectangle en $L$ , $K M = 18$ cm et $L K M = 60^{\circ}$ . Pour l’angle $L K M$ , $[K L]$ est le côté adjacent et $[K M]$ l’hypoténuse : $\cos L K M = \frac{K L}{K M}$ , donc $K L = 18 \times 0, 5 = 9$ cm.

Volumes et aires. Cône de rayon $6$ cm et de hauteur $5$ cm : $V = \frac{1}{3} \times π \times 6^{2} \times 5 = 60 π$ cm³. Cylindre de rayon $4$ cm et de hauteur $7$ cm : $V = π \times 4^{2} \times 7 = 112 π$ cm³. Disque de diamètre $16$ cm : rayon $8$ cm, aire $π \times 8^{2} = 64 π$ cm².

Réflexe — Je fais une figure à main levée en codant l’angle droit et les parallèles. Deux côtés d’un triangle rectangle connus : Pythagore. Un angle et un côté : trigonométrie (cosinus, sinus ou tangente selon les côtés en jeu). Deux parallèles coupées par deux sécantes : Thalès. Pour une aire ou un volume, j’écris la formule, puis je remplace, toutes les longueurs dans la même unité ; je garde $π$ dans la valeur exacte.

Attention — $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}}$ , jamais $A B + A C$ . Ne pas confondre rayon et diamètre, ni oublier le $\frac{1}{3}$ des pyramides et des cônes. Un volume en cm³ se convertit en litres avec $1$ L $= 1 000$ cm³.

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Pour aller plus loin

Les autres automatismes de l’épreuve. La partie automatismes porte aussi sur des notions qui ont chacune leur chapitre : proportions et pourcentages (Automatismes : proportions et pourcentages) ; taux d’évolution, coefficient multiplicateur, évolutions successives et réciproques (Automatismes : taux d’évolution) ; équations ( $a x + b = c x + d$ , $x^{2} = a$ , $\frac{a}{x} = b$ , produit nul), inéquations du premier degré, signe, lectures graphiques et droites (Automatismes : fonctions et lectures graphiques) ; statistiques (Statistique à deux caractères) ; probabilités (Probabilités conditionnelles et indépendance).

Repérage. Placer un point sur une droite graduée, lire ou placer un point de coordonnées données dans un repère : ces gestes servent dans toutes les lectures graphiques du chapitre Automatismes : fonctions et lectures graphiques.

L’épreuve. L’épreuve anticipée de mathématiques de fin de première dure 2 heures, sans calculatrice. Sa première partie, consacrée aux automatismes, est notée sur 6 points : des questions courtes, sans justification (un QCM à quatre choix lors de la session de juin 2026). Les automatismes de seconde y sont aussi évalués.

À retenir

Fractions : même dénominateur pour ajouter ou soustraire ; diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.
Puissances : $a^{n} \times a^{p} = a^{n + p}$ , $\frac{a^{n}}{a^{p}} = a^{n - p}$ , $(a^{n})^{p} = a^{n p}$ , $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ ; écriture scientifique $c \times 10^{n}$ avec $1 ⩽ c < 10$ .
Conversions : aires $\times 100$ , volumes $\times 1 000$ , $1$ L $= 1$ dm³, $1$ m/s $= 3, 6$ km/h ; un ordre de grandeur contrôle chaque résultat.
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ , $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ; pour factoriser : facteur commun d’abord, identité ensuite.
Isoler une variable : la même opération des deux côtés, en divisant tous les termes.
Triangle rectangle : Pythagore (deux côtés connus) ou trigonométrie (un angle) ; parallèles : Thalès ; pyramide et cône : $\frac{1}{3} \times$ base $\times$ hauteur ; boule : $\frac{4}{3} π r^{3}$ .

Questions fréquentes

Qu’est-ce que la partie automatismes de l’épreuve anticipée de maths ?

C’est la première partie de l’épreuve anticipée de mathématiques de fin de première, qui dure 2 heures sans calculatrice : des questions courtes, sans justification, notées sur 6 points. Elle porte sur le calcul, les proportions et les évolutions, les fonctions, la géométrie, les statistiques et les probabilités ; ce chapitre traite le calcul numérique, le calcul littéral et la géométrie.

Comment calculer avec des fractions sans calculatrice ?

Pour ajouter ou soustraire, on écrit les deux fractions avec le même dénominateur. Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant si possible avant. Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse. On donne le résultat sous forme irréductible.

Quelles règles de calcul sur les puissances faut-il connaître ?

Avec une même base a non nulle : aⁿ × aᵖ = aⁿ⁺ᵖ, aⁿ ÷ aᵖ = aⁿ⁻ᵖ, (aⁿ)ᵖ = aⁿᵖ, a⁰ = 1 et a⁻ⁿ = 1/aⁿ. En écriture scientifique, un nombre s’écrit c × 10ⁿ avec c supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10.

Comment développer et factoriser avec les identités remarquables ?

(a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a + b)(a − b) = a² − b². Lues de gauche à droite, elles servent à développer ; de droite à gauche, à factoriser. Pour factoriser, on cherche d’abord un facteur commun, puis une identité.

Quand utiliser Pythagore, Thalès ou la trigonométrie ?

Dans un triangle rectangle, Pythagore donne le troisième côté quand on connaît les deux autres ; la trigonométrie (cosinus, sinus, tangente) relie un angle et deux côtés. Thalès sert quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes : les longueurs sont alors proportionnelles.

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