Automatismes : calcul numérique, calcul littéral et géométrie

Calculer sans calculatrice. Donne une fraction irréductible (exemple : 2/5) ou un nombre.

1. ${\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{10}}=$
   ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{4}{10}}$, donc ${\displaystyle \frac{4}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{10}}={\displaystyle \frac{5}{10}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
2. ${\displaystyle \frac{7}{6}}-{\displaystyle \frac{2}{9}}=$
   Dénominateur commun $18$ : ${\displaystyle \frac{21}{18}}-{\displaystyle \frac{4}{18}}={\displaystyle \frac{17}{18}}$, irréductible.
3. ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{10}{9}}=$
   ${\displaystyle \frac{3\times 10}{4\times 9}}={\displaystyle \frac{30}{36}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$ (on simplifie par $6$).
4. ${\displaystyle \frac{5}{8}}÷{\displaystyle \frac{15}{4}}=$
   On multiplie par l’inverse : ${\displaystyle \frac{5}{8}}\times {\displaystyle \frac{4}{15}}={\displaystyle \frac{20}{120}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$.
5. Les ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de $45$ € valent €
   ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times 45={\displaystyle \frac{90}{3}}=30$ €.

Écritures d’un nombre et puissances. Pour un exposant, écris un entier relatif (exemple : −3).

1. ${\displaystyle \frac{7}{20}}$ en écriture décimale :
   ${\displaystyle \frac{7}{20}}={\displaystyle \frac{35}{100}}=0,35$.
2. $0,045=$ %
   $0,045={\displaystyle \frac{4,5}{100}}$, soit $4,5\%$.
3. $5^4\times 5^{-6}=5^n$ avec $n=$
   Même base : on ajoute les exposants, $4+(-6)=-2$.
4. ${\displaystyle \frac{{10}^3}{{10}^{-2}}}={10}^n$ avec $n=$
   On soustrait les exposants : $3-(-2)=5$.
5. $(7^2{)}^{-3}=7^n$ avec $n=$
   Puissance d’une puissance : on multiplie les exposants, $2\times (-3)=-6$.
6. $2^{-3}$ en écriture décimale :
   $2^{-3}={\displaystyle \frac{1}{2^3}}={\displaystyle \frac{1}{8}}=0,125$.

Écriture scientifique et conversions. Écris un nombre.

1. $38500000=3,85\times {10}^n$ avec $n=$
   On déplace la virgule de $7$ rangs vers la gauche : $38500000=3,85\times 10000000$, et $10000000={10}^7$.
2. $(6\times {10}^5)\times (5\times {10}^{-8})=3\times {10}^n$ avec $n=$
   $6\times 5=30$ et ${10}^5\times {10}^{-8}={10}^{-3}$ : le produit vaut $30\times {10}^{-3}$. Or $30=3\times 10$, donc le produit s’écrit $3\times {10}^{-2}$.
3. $3,2$ m² $=$ cm²
   $1$ m² $=10000$ cm², donc $3,2$ m² $=3,2\times 10000$ cm², soit $32000$ cm².
4. $1,75$ h $=1$ h min
   $0,75$ h $=0,75\times 60$ min, soit $45$ min.
5. $90$ km/h $=$ m/s
   $1$ m/s $=3,6$ km/h, donc on divise par $3,6$ : $90÷3,6=25$ m/s. Contrôle : en $3600$ s, on parcourt $90000$ m, et $90000÷3600=25$.
6. $2450$ g $=$ kg
   $1$ kg $=1000$ g, donc on divise par $1000$ : $2450$ g $=2,45$ kg.

Comparer, simplifier, contrôler. Pour une fraction, écris a/b.

1. Justifier, par le signe de leur différence, que ${\displaystyle \frac{11}{12}}>{\displaystyle \frac{9}{10}}$. La différence ${\displaystyle \frac{11}{12}}-{\displaystyle \frac{9}{10}}$ vaut
   Rédaction attendue. On réduit au même dénominateur $60$ : ${\displaystyle \frac{11}{12}}-{\displaystyle \frac{9}{10}}={\displaystyle \frac{55}{60}}-{\displaystyle \frac{54}{60}}={\displaystyle \frac{1}{60}}$. Cette différence est strictement positive, donc ${\displaystyle \frac{11}{12}}>{\displaystyle \frac{9}{10}}$.
2. $A={\displaystyle \frac{\frac{3}{5}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}}$ ; $A=$
   Numérateur : ${\displaystyle \frac{3}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{6}{10}}-{\displaystyle \frac{5}{10}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$. Diviser par ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, c’est multiplier par $4$ : $A={\displaystyle \frac{1}{10}}\times 4={\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$.
3. Justifier que $B={\displaystyle \frac{6^3\times 2^{-2}}{3^2}}$ est un entier, puis le donner : $B=$
   Rédaction attendue. $6^3=(2\times 3{)}^3=2^3\times 3^3$. Donc $B={\displaystyle \frac{2^3\times 3^3\times 2^{-2}}{3^2}}=2^{3+(-2)}\times 3^{3-2}$, c’est-à-dire $2^1\times 3^1$. Ainsi $B=2\times 3=6$.
4. On compare les nombres positifs $A=2^{30}$ et $B=4^{14}$ à l’aide de leur quotient. Justifier que ${\displaystyle \frac{A}{B}}=2^n$ avec $n=$ , puis conclure
   Rédaction attendue. $4^{14}=(2^2{)}^{14}=2^{28}$, donc ${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{2^{30}}{2^{28}}}=2^{30-28}=2^2$, c’est-à-dire $4$. Ce quotient est strictement supérieur à $1$ et $B>0$, donc $A>B$ (et même $A=4B$).
5. Un cycliste roule $3$ h $50$ min à la vitesse moyenne de $19,6$ km/h. En arrondissant la durée à $4$ h et la vitesse à $20$ km/h, l’ordre de grandeur de la distance parcourue est km
   $20\times 4=80$ km. La distance exacte est $19,6\times {\displaystyle \frac{23}{6}}\approx 75,1$ km (car $3$ h $50$ min $={\displaystyle \frac{23}{6}}$ h) : l’estimation est du bon ordre.
6. Une piscine en forme de pavé mesure $25$ m sur $10$ m, avec $2$ m de profondeur. Quelqu’un annonce qu’elle contient $500$ L d’eau. Justifier que c’est invraisemblable en donnant son volume en litres : L
   Rédaction attendue. $V=25\times 10\times 2=500$ m³. Or $1$ m³ $=1000$ L, donc $V=500000$ L. L’annonce de $500$ L est mille fois trop petite : on a oublié de convertir les m³ en litres.

Développer et réduire, puis compléter le coefficient manquant.

1. $(x+6{)}^2=x^2+$ $x+36$
   $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=6$ : le double produit vaut $2\times x\times 6=12x$.
2. $(4x-3{)}^2=16x^2-$ $x+9$
   $(4x{)}^2-2\times 4x\times 3+3^2=16x^2-24x+9$.
3. $(2x+9)(2x-9)=4x^2-$
   $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ : $(2x{)}^2-9^2=4x^2-81$.
4. $(x+5)(3x-2)=3x^2+$ $x-10$
   Double distributivité : $3x^2-2x+15x-10=3x^2+13x-10$.
5. $-(5x-8)+2(3x-1)=$ $x+6$
   $-(5x-8)=-5x+8$ et $2(3x-1)=6x-2$. On réduit : $-5x+6x+8-2=x+6$ ; le coefficient de $x$ est $1$.

Factoriser en complétant.

1. $14x^2+21x=7x(ax+3)$ avec $a=$
   Le facteur commun est $7x$ : $14x^2=7x\times 2x$ et $21x=7x\times 3$, donc $14x^2+21x=7x(2x+3)$.
2. $x^2-64=(x-a)(x+a)$ avec $a>0$ : $a=$
   $64=8^2$ : $x^2-8^2=(x-8)(x+8)$.
3. $9x^2-25=(3x-b)(3x+b)$ avec $b>0$ : $b=$
   $9x^2=(3x{)}^2$ et $25=5^2$ : $(3x{)}^2-5^2=(3x-5)(3x+5)$.
4. $x^2-12x+36=(x-c{)}^2$ avec $c=$
   On reconnaît $a^2-2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=6$ : $2\times x\times 6=12x$ et $6^2=36$. Donc $x^2-12x+36=(x-6{)}^2$.
5. $(x-2)(4x+1)+3(x-2)=(x-2)(4x+d)$ avec $d=$
   Le facteur commun est la parenthèse $(x-2)$ : on obtient $(x-2)[(4x+1)+3]$, c’est-à-dire $(x-2)(4x+4)$.

Isoler une variable, puis faire une application numérique.

1. On a $3x+2y=12$. En isolant $y$, on obtient $y=mx+p$ avec $m=$
   $2y=12-3x$, puis on divise tous les termes par $2$ : $y=6-1,5x$, soit $y=-1,5x+6$.
2. Avec la même égalité $3x+2y=12$ : $p=$
   $y=-1,5x+6$, donc $p=6$. Contrôle : pour $x=0$, l’égalité devient $2y=12$, d’où $y=6$.
3. L’énergie de position d’un objet est $E_p=mgh$. Pour $E_p=1800$ J, $m=15$ kg et $g=10$ N/kg : $h=$ m
   On isole $h$ en divisant par $mg$ : $h={\displaystyle \frac{E_p}{mg}}={\displaystyle \frac{1800}{15\times 10}}={\displaystyle \frac{1800}{150}}=12$ m.
4. L’indice de masse corporelle est $I={\displaystyle \frac{m}{t^2}}$ ($m$ en kg, taille $t$ en m). Pour $I=22$ et $t=1,5$ m : $m=$ kg
   On multiplie les deux membres par $t^2$ : $m=I\times t^2=22\times 1,5^2=22\times 2,25=49,5$ kg.
5. Un prix TTC s’obtient par $T=1,2\times H$, où $H$ est le prix hors taxes. Justifier la formule donnant $H$, puis calculer $H$ pour $T=54$ € : $H=$ €
   Rédaction attendue. On divise les deux membres de $T=1,2H$ par $1,2$, non nul : $H={\displaystyle \frac{T}{1,2}}$. Pour $T=54$ : $H={\displaystyle \frac{54}{1,2}}={\displaystyle \frac{540}{12}}=45$ €. Contrôle : $1,2\times 45=54$.

Démontrer une égalité, puis l’utiliser.

1. Démontrer que pour tout réel $x$, $(x+4{)}^2-(x-4{)}^2=16x$. En déduire, sans poser de multiplication, ${102}^2-{94}^2=$
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$ : $(x+4{)}^2=x^2+8x+16$ et $(x-4{)}^2=x^2-8x+16$. Donc $(x+4{)}^2-(x-4{)}^2=x^2+8x+16-x^2+8x-16=16x$. Avec $x=98$ (car $98+4=102$ et $98-4=94$) : ${102}^2-{94}^2=16\times 98=1568$.
2. $A=2x^2-5x+1$. Pour $x=-3$ : $A=$
   On remplace $x$ par $(-3)$ : $A=2\times (-3{)}^2-5\times (-3)+1$. Comme $(-3{)}^2$ vaut $9$, on obtient $A=18+15+1=34$.
3. Factoriser $E=(2x+1{)}^2-16$ sous la forme $(2x+a)(2x+b)$ avec $a<b$ : $a=$ et $b=$
   $16=4^2$, donc $E=(2x+1{)}^2-4^2=(2x+1-4)(2x+1+4)=(2x-3)(2x+5)$ : $a=-3$ et $b=5$.
4. Démontrer que pour tout réel $x$, $(x+1)(x+2)-x(x+3)=2$. Pour $x=2026$, cette expression vaut donc
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$ : $(x+1)(x+2)=x^2+2x+x+2=x^2+3x+2$ et $x(x+3)=x^2+3x$. Donc $(x+1)(x+2)-x(x+3)=x^2+3x+2-x^2-3x=2$. L’expression vaut $2$ quel que soit $x$, en particulier pour $x=2026$ : aucun calcul de $2027\times 2028$ n’est nécessaire.

Périmètres et aires. Quand le résultat contient π, écris seulement le nombre placé devant π.

1. Périmètre d’un cercle de rayon $4,5$ cm : $\pi$ cm
   $𝒫=2\pi r=2\times 4,5\times \pi =9\pi$ cm.
2. Aire d’un disque de diamètre $14$ cm : $\pi$ cm²
   Le rayon vaut $14÷2=7$ cm. Aire : $\pi \times 7^2=49\pi$ cm².
3. Aire d’un triangle de base $7,5$ cm et de hauteur $4$ cm : cm²
   ${\displaystyle \frac{7,5\times 4}{2}}={\displaystyle \frac{30}{2}}=15$ cm².
4. Aire d’un rectangle de $2,5$ m sur $80$ cm, en m² :
   Même unité d’abord : $80$ cm $=0,8$ m. Aire : $2,5\times 0,8=2$ m².

Volumes. Quand le résultat contient π, écris seulement le nombre placé devant π.

1. Pavé droit de $12$ cm sur $5$ cm sur $4$ cm : cm³
   $V=L\times \ell \times h=12\times 5\times 4=240$ cm³.
2. Cylindre de rayon $5$ cm et de hauteur $8$ cm : $\pi$ cm³
   $V=\pi r^{2}h=\pi \times 25\times 8=200\pi$ cm³.
3. Pyramide de hauteur $10$ cm dont la base est un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm : cm³
   Aire de la base : $6\times 4=24$ cm². Puis $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\times 24\times 10={\displaystyle \frac{240}{3}}=80$ cm³.
4. Boule de rayon $9$ cm : $\pi$ cm³
   $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$ avec $9^3=729$ : ${\displaystyle \frac{4}{3}}\times 729=4\times 243=972$, donc $V=972\pi$ cm³.
5. Prisme droit de hauteur $10$ cm dont la base est un triangle rectangle de côtés de l’angle droit $3$ cm et $8$ cm : cm³
   Aire de la base : ${\displaystyle \frac{3\times 8}{2}}=12$ cm². Puis $V=12\times 10=120$ cm³.

Pythagore et Thalès. Les longueurs sont en cm.

1. $PQR$ est rectangle en $P$, $PQ=1,6$ et $PR=6,3$. $QR=$
   D’après le théorème de Pythagore dans $PQR$ rectangle en $P$ : $Q{R}^2=P{Q}^2+P{R}^2=2,56+39,69=42,25$. Comme $6,5^2=42,25$, on a $QR=6,5$.
2. $DEF$ est rectangle en $D$, $EF=5,3$ et $DE=2,8$. $DF=$
   L’hypoténuse est $[EF]$ : $E{F}^2=D{E}^2+D{F}^2$, donc $D{F}^2=E{F}^2-D{E}^2=28,09-7,84=20,25$. Comme $4,5^2=20,25$, on a $DF=4,5$.
3. Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A$, $N$, $C$, et $(MN)\parallel (BC)$. $AM=4$, $AB=10$ et $AN=6$. $AC=$
   D’après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, soit ${\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{6}{AC}}$. Donc $AC={\displaystyle \frac{6\times 10}{4}}=15$.
4. Même figure, avec de plus $BC=12,5$. $MN=$
   ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{4}{10}}$, donc $MN=0,4\times 12,5=5$.
5. Le triangle $UVW$ a pour côtés $UV=20$, $VW=99$ et $UW=101$. Justifier qu’il est rectangle et donner le sommet de l’angle droit :
   Rédaction attendue. Le plus long côté est $[UW]$. D’une part $U{W}^2={101}^2=10201$ ; d’autre part $U{V}^2+V{W}^2=400+9801=10201$. Comme $U{W}^2=U{V}^2+V{W}^2$, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $UVW$ est rectangle en $V$, le sommet opposé à $[UW]$.

Trigonométrie et situations. Écris un nombre décimal.

1. $XYZ$ est rectangle en $Y$, $XZ=9$ cm et $YXZ={30}^{\circ }$. On donne $\sin {30}^{\circ }=0,5$. $YZ=$ cm
   Pour l’angle $YXZ$, $[YZ]$ est le côté opposé et $[XZ]$ l’hypoténuse : $\sin YXZ={\displaystyle \frac{YZ}{XZ}}$, donc $YZ=9\times 0,5=4,5$ cm.
2. $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=7$ et $BC=25$. $\cos ABC=$
   $[AB]$ est le côté adjacent à l’angle $ABC$ et $[BC]$ l’hypoténuse : $\cos ABC={\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{7}{25}}={\displaystyle \frac{28}{100}}=0,28$.
3. La pente d’un toboggan monte de $1,8$ m de haut pour $2,4$ m au sol, et la hauteur est perpendiculaire au sol. La tangente de l’angle entre la pente et le sol vaut
   Pour l’angle au sol, la hauteur est le côté opposé et la longueur au sol le côté adjacent : $\tan ={\displaystyle \frac{1,8}{2,4}}={\displaystyle \frac{18}{24}}=0,75$.
4. Même toboggan : la longueur de la pente est m
   D’après le théorème de Pythagore, le carré de la longueur de la pente vaut $1,8^2+2,4^2=3,24+5,76=9$ : la pente mesure $\sqrt{9}=3$ m.
5. Un abreuvoir en forme de pavé mesure intérieurement $80$ cm sur $40$ cm, avec $30$ cm de profondeur. Il est rempli aux trois quarts. Justifier le volume d’eau qu’il contient, en litres : L
   Rédaction attendue. Volume de l’abreuvoir : $80\times 40\times 30=96000$ cm³. Rempli aux trois quarts : ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times 96000=72000$ cm³. Comme $1$ L $=1000$ cm³, il contient $72$ L d’eau.