Automatismes : calcul numérique, calcul littéral et géométrie

1. a)Dénominateur commun $30$ : ${\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{4}{15}}={\displaystyle \frac{9}{30}}+{\displaystyle \frac{8}{30}}={\displaystyle \frac{17}{30}}$, irréductible ($17$ est premier et ne divise pas $30$). (1)
2. b)${\displaystyle \frac{9\times 7}{14\times 12}}={\displaystyle \frac{63}{168}}$, et en simplifiant par $21$ : ${\displaystyle \frac{63}{168}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$. Plus rapide : simplifier avant de multiplier, ${\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{14}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, d’où ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$. (1)
3. c)Même base $2$ : on ajoute puis on soustrait les exposants, $7+(-3)-2=2$. Le nombre vaut $2^2=4$. (1)
4. d)$0,0032=3,2\times {10}^{-3}$, donc $0,0032\times {10}^5=3,2\times {10}^{-3+5}$, soit $3,2\times {10}^2$ (c’est $320$). (1)
5. e)$1$ L $=1$ dm³ $=1000$ cm³, donc $4,5$ L $=4500$ cm³. (1)
6. f)$0,15$ h $=0,15\times 60$ min, soit $9$ min. Donc $2,15$ h $=2$ h $9$ min (et non $2$ h $15$ min). (1)

Repère — Sans calculatrice, on simplifie avant de multiplier et on ramène les puissances à la même base : les calculs restent petits.

1. a)$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=2x$ et $b=7$ : $(2x+7{)}^2=4x^2+28x+49$. (1)
2. b)Double distributivité : $(x-6)(4x+3)=4x^2+3x-24x-18=4x^2-21x-18$. (1)
3. c)$16x^2-1=(4x{)}^2-1^2=(4x-1)(4x+1)$ (identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$). (1)
4. d)Facteur commun $(x+3)$ : on obtient $(x+3)[(2x-5)-(x-1)]=(x+3)(2x-5-x+1)=(x+3)(x-4)$. (1)
5. e)On multiplie les deux membres par $2$ : $2𝒜=(b+B)h$ ; puis on divise par $b+B$, non nul : $h={\displaystyle \frac{2𝒜}{b+B}}$. Ici $h={\displaystyle \frac{2\times 30}{4+8}}={\displaystyle \frac{60}{12}}=5$ cm. (1)

Contrôle — Pour vérifier un développement ou une factorisation, on remplace x par 1 dans l’expression de départ et dans le résultat : on doit trouver le même nombre.

1. a)Le triangle $RST$ est rectangle en $R$. D’après le théorème de Pythagore, $S{T}^2=R{S}^2+R{T}^2=12,96+23,04=36$, donc $ST=6$ cm. (1)
2. b)Dans le triangle $RST$ rectangle en $R$, pour l’angle $RST$, $[RS]$ est le côté adjacent et $[ST]$ l’hypoténuse : $\cos RST={\displaystyle \frac{RS}{ST}}={\displaystyle \frac{3,6}{6}}=0,6$. (1)
3. c)Les points $S$, $U$, $R$ sont alignés, ainsi que $S$, $V$, $T$, et $(UV)\parallel (RT)$. D’après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{SU}{SR}}={\displaystyle \frac{UV}{RT}}$, soit ${\displaystyle \frac{1,2}{3,6}}={\displaystyle \frac{UV}{4,8}}$. Comme ${\displaystyle \frac{1,2}{3,6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, on obtient $UV={\displaystyle \frac{4,8}{3}}=1,6$ cm. (1)
4. d)L’angle droit est en $R$ : on prend $[RS]$ pour base et $[RT]$ pour hauteur. Aire $={\displaystyle \frac{3,6\times 4,8}{2}}={\displaystyle \frac{17,28}{2}}=8,64$ cm². (1)

Repère — Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit servent de base et de hauteur pour l’aire.

1. a)$50$ cm $=0,5$ m. $V=2,5\times 1,6\times 0,5=2$ m³. Comme $1$ m³ $=1000$ L, le bassin contient $2000$ L. (1)
2. b)${\displaystyle \frac{2000}{25}}=80$ : il faut $80$ min, soit $1$ h $20$ min. (1)
3. c)${\displaystyle \frac{3}{5}}\times 2000={\displaystyle \frac{6000}{5}}=1200$ L, soit $1,2$ m³. (1)
4. d)$2\times 4,20=8,40$ € pour les $2$ m³. (1)
5. e)La surface de l’eau mesure $2,5\times 1,6=4$ m², et $3$ mm $=0,003$ m. Volume évaporé chaque jour : $4\times 0,003=0,012$ m³, soit $12$ L. En $30$ jours : $30\times 12=360$ L, près d’un cinquième de l’eau du bassin plein. (1)

Méthode — Dans un problème de volumes, on convertit toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer, puis on passe aux litres avec 1 m³ = 1 000 L.